ZENON D'ÉLÉE

1. On a dit souvent que la rigueur extrême, la prudence parfois trop scrupuleuse pour des yeux modernes, qui caractérisent la méthode et les démonstrations de la géométrie hellène, ont eu historiquement une raison d'être dans la nécessité de se garantir contre les attaques des sophistes, « qui niaient des choses beaucoup plus évidentes (*) » que les propositions fondamentales des mathématiques. Il y a là, ce me semble, une erreur facile à réfuter. D'une part, en présence d'un document tel que le fragment d'Eudème sur la quadrature des lunules par Hippocrate de Ghios, il est permis d'affirmer que, dès avant l'époque des sophistes, les méthodes essentielles étaient constituées en géométrie et que les démonstrations avaient déjà revêtu la forme destinée à devenir classique. D'un autre côté, aucun témoignage de l'antiquité ne permet de soupçonner que les sophistes se soient attaqués aux géomètres; tout au contraire, Platon, par exemple, nous montre son maître, Théodore de Cyrène, comme particulièrement lié avec Protagoras et comme partageant ses idées. Hippias d'Élis fut un mathématicien remarquable, à qui l'on doit l'invention de la première courbe (la quadratrice) qui ait été considérée après le cercle. Enfin, si Antiphon ou Bryson se sont plus ou moins malheureusement essayés à la quadrature du cercle, ils ont en tout cas plutôt marché dans la vie du progrès, et ils n'ont nullement tenté de contester les vérités déjà acquises, comme ont pu le faire, bien plus tard, les épicuriens ou les sceptique?.

La rigueur logique de la géométrie grecque doit donc être consi-

» (l) Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, I, p. 8.

c2iS pour l'histoire de la science hellène.

dérée comme provenant exclusivement du caractère propre à la race hellène ; elle s'est gardée scientifiquement, non pas contre de vaines attaques, mais contre les erreurs où entraînent les raisonnements mal conduits chez un peuple qui aime à raisonner; ce fut là notamment l'objet des *I;£u2apia d'Euclide. Quant à l'emploi si fatigant de la méthode de réduction à l'absurde, il faut aussi y voir un trait particulier du génie grec, trait qui apparaît d'une façon si frappante dans la dialectique de Zenon d'Élée.

Les récents historiens de la mathématique les plus autorisés (l) ont vu très nettement qu'à la différence des sophistes proprement dits, ce dernier penseur a exercé au contraire une action très importante au point de vue de la science abstraite, et ils ont exactement reconnu quels concepts fondamentaux se sont élucidés à la suite de la polémique qu'il a ouverte; mais s'en tenant, pour spécifier la position prise par Zenon d'Élée, aux résumés courants de sa doctrine, ils n'ont pas déterminé le but véritable de son argumentation, et ils l'ont, par suite, encore estimé beaucoup audessous de sa valeur réelle.

Zenon d'Élée ne parait pas avoir été réellement mathématicien, pas plus qu'il ne fut physicien ; mais c'est un des hommes qui ont le plus fait pour les principes des mathématiques, en précisant rigoureusement les notions fondamentales du point et de l'instant et en détruisant définitivement les erreurs dont ces notions étaient entachées, je ne dis pas seulement pour le vulgaire, mais encore chez les savants de son temps. C'est ce que je me propose d'établir particulièrement dans ce chapitre, tout en restituant en même temps la véritable position philosophique de Zenon, position qui me parait avoir été méconnue jusqu'à présent.

2. Le but des Discours qu'il avait écrits a été très clairement défini par Platon, auquel il faut évidemment s'en tenir: Zenon a combattu la croyance à la pluralité comme hypothèse et en démontrant que, si cette hypothèse est admise, on arrive nécessairement à des contradictions, puisqu'on est également conduit à affirmer pour. les choses l'infinie petitesse et l'infinie grandeur, le repos et le mouvement. Ainsi il doit être bien entendu (ce qu'on oublie trop souvent de mentionner) que, quels que soient ses célèbres arguments, Zenon n'a nullement nié le mouvement (ce n'est pas un

0) Hankel, Zur Geschichte der Mathematik, p. 117 suiv. — M. Cantor, Vorlesungen ûber Geschichte der Mathematik, p. 168-170.