O0TB
Si Ton n*arrivait pas à P - > -û~> ^° ajouterait un massif de maçonnerie au pied-droit, en dehors de Tarôte c. Dans ce troisième cas de rupture de voûte, ainsi que dans le deuiième, on a, comme aa premier cas, égard k la maçonnerie et à la surcharge qui peuvent reposer sur la voûte (298).
5197. Épaisseur des voûtes à la clef. La méthode exposée dans le numéro précédent est une méthode de tâtonnement, puisque Ton part d*une hypothèse sur Tcpaisseur de la voûte. Afin de ne pas faire cette supposition tout a fait au hasard, on a recours k la formule empirique suivante, que Perronet a déduite de ses observations,
e ^Isseor de la voAte à la clef; en mètres;
d distEDce des pieds-droits, si la voûte est en plein cintre; dans les voûtes surbaisBées, d exprime le double du rayon qui a servi à tracer la directrice de l'intrados dans les voûtes en arc de cercle, et Tare supérlear de cette directrice dans les voûtes en anse de panier.
Comme, pour des valeurs de d supérieures à 30 mètres, cette formule donne des épaisseurs trop fortes , on pourra la remplacer par les suivantes, que Dejardin a déduites de ses observations {Routine de rétablissement des voûtes), et qui sont relatives aux différentes espèces de voûtes les plus usitées. Nos propres observations prouvent en faveur des résultats fournis par ces formules, qui sont, r étant le rayon de Tare d'intrados en mètres :
Pour les voûtes en plein cintre,
Pour les voûtes en arc de cercle, de 60**, 50* et 40* d'amplitude
e = 0,05 r -f- 0»,30 (6), e = 0,036 r + O-.SO (c) et c = 0,02 r + 0-,30 (dj;
Pour les voûtes en anses de panier surbaissées au tiers, r étant le rayon de courbure au sommet de Tintrados,
Enfin, e étant la hauteur de la projection verticale constante des joints dans les voûtes en ogive tiers point, et r Fouverture égale au rayon, on a
Nous n'avons pas besoin de faire observer que tout ce qui est
4tt PREMIÈRE PARTIE. — MAÇONNERIE ET TERRASSE.
relatif k Tespèce de détermination qu'on vient de considérer re#te entièrement livré k l'expérience particulière du constructeur, lequel doit, autant que possible, comparer les épaisseurs déduites des (bf* mules précédentes avec celles des voûtes existantes.
Voici quelques résultats de la comparaison de la fénnule de Pef» ronet avec celles proposées par Dejardin :
V Pour les voûtes en plein cintre, la formule («') donne des épaisseurs qui dépassent celles fournies par là formule dé Pérro^ net de
(0,10 r-f 0»,I0) — (0,0694 r -f 0»,325), soît 0,08 r — 0^,0».
S* Pour une voûte elliptique de 30 mètres d'ouverture sur 10 mètres de flèche, et dont le rayon de courbure au sommet de Tintrados est conséquemment de 22*,50, la formule (/) donne, ponre, 1",875, et celle de Perronet, i",886. *
3« Pour la voûte en arc de cercle du pont dléna, laquelle a 28 mètres d'ouverture pour 3*,30 de flèche, et, par conBéquent, 8i",35 de rayon et 53* d'amplitude, l'épaisseur k la clef devrait être comprise entre les résultats des formules (6) et (c), c'est-à-dire entre 4",867 et 4",397, en se rapprochant davantage du dernier ré^ sultat; la formule de Perronet donne 2",501 pour cette 'épaisseur; la dimension adoptée dans l'exécution a été de i",44, et elle paraît k tout le monde être parfaitement convenable.
Pour les voûtes hourdées en mortier de ciment, l'adhérçnce de celui-ci diminue sensiblement la poussée horizontale, qui peut même se trouver annulée. Ainsi, on trouve dans les Annales des ponts et chaussées^ année 1835, la description de deux voûtes en arc de cercle, maçonnées en briques et ciment hydraulique anglais, qui ont été construites comnie essais par M. Brunel; ces voûtes, quoique trèsplates, ont été construites sans cintres, et elles se sont soutenues 011 encorbellement sur toute l'étendue de leur demi-ouverture, qui ^tait, pour l'une, de 11^,20, et pour l'autre, de i5 mètres; la poussée se trouvait donc complètement annulée par l'adhérence du mortier. QuOiqu'aucune expérience de ce genre n'ait été faîte eh granàavec le mortier de ciment de Vassy, qui a la plus grande analogie avec le ciment anglais, les rcsulta|;s fournis par la moitié du Pont-aux- Doubles (218) construite au i/10, sans cintres, et l'emploi fréquent que nous avons fait de ce mortier, ne nous permettent pas de douter qu'en grand il fournirait sensiblement tes résultats du mortier de ciment anglais.
De nombreuses expériences nous ont prouvé que pour les voûtes hourdées en mortier de ciment, on obtenait des épaisseurs h, la clef suffisantes, en multipliant les épaisseurs fournies par les formules
ffée^eotes par le coefficient 0,75, quand on tenait compte de adhérence des mortiers, et par celui 0,93, quand on négligeait Mtte adhérence* Pour le Pont-aux-Doubles, Tangle d^amplitude étant de 45*,i4, l'épaisseur à la clef deyrait être comprise entre |*,7i et i*,li, et être en moyenne i*,41; multipliant cette valeur par le coefficient 0,93, elle devient 1",31, au lieu de i",30 que Ton a pris pour Texécution. Gomme, selon nous, cette épaisseur aurait pu être facilement réduite de 0-,85 ou 0",30, cela justifierait le coefficient 0,75.
Dans un travail récent (brochure publiée au Mans), M. Léveillé, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a reconnu que la formule de Perrone^ était applicable à une voûte de pont d'une forme qpelconque, d désignant, dans tous les cas, l'ouverture ou la distance des piedâHlroits; seulement, pour rendre les opérations plus faciles, M. Léveillé adopte
Ainsi cette formule, dans laquelle d désigne toujours Tonverture, est applicable aux voûtes en plein cintre, en anse de panier et en arc de cercle. D'après des comparaisons faites k un grand nombre de ponts, il résulte qu'elle est même applicable aux voûtes qui portent dee convois, et aussi à celles chargées d'une grande épaisseur de terre»
Partant de Tépaisseur trouvée an moyen des formules précédentes, oa dMennine lee joints de rupture comme il a été dit
n^ 296, et par suite la valeur de la poussée horizontale P - de chaque voussoir agissant sur son voussoir résistant. Si cette poussée s'exerçait uniformément sur toute la hauteur e du joint à la clef, il serait Cécile de cftlculer quelle devrait être la valeur de e pour y résister; mais remarquons que le voussoir agissant a6, Jig. 94, par sa tendance à tourner autour du point a, rend nulle la près- «ion au point intérieur A, tandis qu'elle est maximum au point extérieur a. tt est évident que la voûte ne résistera qu'autant que cette pression maximum au point a ne dépassera pas la limite R que comporte la pierre de la voûte. La pression étant nulle en A, et R en a, on peut supposer que chaque point de e résiste en raison inverse de sa distance au point a, d'où il résulte que la ré-
R Re
sistance moyenne est ^» et la résistance totale -y. Cette résistance
totale pe«t être représentée par la surface d'un triangle dont la kaa» est ft et la hauteur 0; son point d'application est situé au
centre de gravité du triangle, c'est-a-dire à une distance <? de la
base ou du point a, et comme le moment de cette résistance, pris par rapport au point de rotation 6, doit être égal au moment du poids du voussoir agissant ab^ pris par rapport k ce môme point 6, on doit donc avoir
fief
Dans cette formule, les longueurs étant représentées en mètres et P en kilogrammes, R exprime le nombre de kilogrammes que peut supporter avec sécurité chaque mètre carré de la pierre qui compose la voûte (401).
La formule ainsi établie donnera la valeur de &, et si cette valeur était différente de celle que Ton a supposée pour déterminer le joint de rupture (296), on le déterminerait de nouveau en adoptant cette seconde valeur de e, et la nouvelle valeur de Pz fournirait pour e une valeur plus approchée.
298. Épaisseur des pieds-^roits ou culées. Lorsque les pieds-droits font culée, c'est-à-dire doivent résister à la poussée horizontale de la voûte, il peut arriver qu'ils se renversent en tournant autour de leur arête extérieure. Ce cas ne peut avoir lieu qu'autant que l'inégalité (a) du n*" 296 ne serait pas satisfaite, et alors on augmenterait l'épaisseur du pied-droit et par suite z', de manière k y satisfaire. On opérerait d'une manière analogue pour le cas où le pied-droit pourrait tourner autour de son arête intérieure (3* 296).
Il peut arriver aussi que, par suite d'une trop faible épaisseur, le pied-droit glisse sur sa base. Ce glissement ne peut avoir lieu dès que l'inégalité du 2*, n' 296, est satisfaite.
11 peut arriver également que la voûte glisse sur ses naissances ; on vérifiera encore si cet effet est possible k l'aide de l'inégalité du 2*, n* 296, dans laquelle M ne comprendra plus le poids du pied-droit, mais seulement celui de la moitié de voûte qui le surmonte. Ce cas est évidemment celui qui exige la plus grande épaisseur de pied-droit. Cependant, comme l'épaisseur statique calculée pour le renversement est ordinairement plus que suffisante pour résister au glissement, on ne peut s'en tenir k celle calculée d'après le glissement.
Ordinairement, on augmente l'épaisseur statique trouvée d'une quantité telle, qu'en y supposant appliquée une pression égale aux 2/3 de la charge totale de la fondation, on n'ait k craindre ni le tassement du sol, ni l'écrasement des matériaux. Dans le Mémorial du gc)iie militaire^ au lieu d'opérer ainsi pour obtenir de la stabilité, on multiplie l'épaisseur statique par 1,38 ou 1,40, ce qui revient, lorsque les parements sont verticaux, k rendre le moment de stabilité du
▼00TX8. 441
pied-droit égal k 1,90 ou deux fois celui de la poussée qui tend à le renverser. Ces valeurs sont fondées sur la stabilité des constructions établies par Vauban, et qui sont regardées comme des modèles; mais si Ton examinait les admirables édifices du style sarrazin, ou seulement un grand nombre de ponts suspendus construits en France et en Angleterre, on trouverait une valeur empirique beaucoup moindre. Dejardîn adopte» dans sa Routine de rétablissement des voûtes^ 1,50 pour la valeur de ce coefficient destcUnlité^ ce qui revient à multiplier par 1,23 Fépaisseur statique du mur.
Dejardin donne le moyen graphique et les formules qui suivent pour déterminer l'épaisseur pratique des pieds-droits.
Fig. 97. Par le point B, Jlg. 97, situé sur le joint
extrême et au i/5 de sa longueur (278), à partir de Tintrados, on mène la ligne BF faisant avec rhorizontale un angle tel que Ton
ait
P poids de la demi-voûte MNDE sur runité de longueur; ]• Q poussée horiiontale minimoin (304 et 305).
Le point F ainsi déterminé est l'extrémité de la base de la culée, au niveau des naissances, et on pourra la raccorder avec Textrémité N de Textrados, soit par une droite inclinée NF, soit par une série de retraites, pour limiter extérieurement la culée entre le joint extrême UN et celui de naissance AF.
Lorsque la voûte n'aura pas un intrados circulaire, il faudra vérifier si la partie AFMN satisfait la condition de résistance à Vécrasement et de résistance au glissement^ c'estr-k-dire si Ton a k la fois
P + P'<6R et -^p<Ar.
P' poids de la portion AFMN ;
b longueur du Joint AF de naissance ;
R coeOlcient de résistance pratique de la maçonnerie à l'écrasement (101) ;
k coefficient de frottement de la voûte sur le joint AF (104 et 270).
Pour les voûtes en plein cintre^ cette vérification est inutile, et pour ce cas, le joint MN étant incliné k 30* avec Vhorizontale (278), on reconnaît facilement que Ton a, en faisant tang y = 4/3 (valeur inférieure k toutes celles que fournirait la table !• du n<> 306 pour les voûtes en plein cintre de 1 k 20 mètres de rayon ; on trouverait 4,386 pour le rayon de 1 mètre, et 1,339 pour celui de 20 mètres),
449 PREMIÈRE PARTIE. — JUÇOHMERll ET TERRASSE.
OU sensiblement,
r rayon de l'Ijitrados;
e (épaisseur de la voûte à Ja clef*
n résulte de cette fonntde que Vipaxssewr de la euUê â^um fioHe e» flein cintre^ waniveouuée la naissance, est égale au 1/4 du raytm même du centre de la voûte à Vextrémitê de son extrados^ extrémité qut 9% termine au joint incliné à 36* {%lî). Il y a cependant exception p^ur les voûtes dont le rayon est inférieur à ffSS, pour lesquelles on terminera postérieurement le profil de la culée par une perpendiculaire menée du point extrême N de rextrados» et il y aura un petit excès de stabilité.
Épaisseur des pieds^oiis proprement diis^ c^est-'àrdirè au-dessous des naissances. On a, pour Téquilibre mathématique,
QH = (P + F){\+E)H-dEAx|.
Faisant intervenir ^e coefficient de stabilité 1,50, il vient
|afl=(P + P')(AtE)+(iEA;<|;
4'oik Ton tire, pour l'épaisseur pratique des pieds*dreits.
^~ — ïâr+VV"dS"j tdûT^ dk '
E épaisseur des pleds-drolts; P poids de la demi-voûte MNDE; P' poids de la culée AFAIN, au-dessQs de la nalssanoe AP; h hauteur des pieds-droits« comptée de la fondation aux naissances AF; d poids du mètre cube de la maçonnerie des pieds-droits (10|]; Q poussée liorizontale (304) ;
H bras de levier de la poussée Q par rapport à l'arête de rotation dti pied-droit; A distance horizontale du centre de gravité de Tensemble P + P' à rareté intérieure du pied-droit.
En ne considérant qu'une unité de longueur de voûte, ce qui simplifie les calculs, désignant par S la sommé des surfaces des profils de la demi-yoûte et de la çulée sans le pied-droit, on a
et la formule précédente dt^emi
▼ODTBft. 443
'-hVl
S« 3ÛH 2SA
A*"*" dh r-
Lortqve lés pieës-droîts, au lieu d'avoir une épaisseur uniforme
B, jBont en talus sur leur face postérieure,
6< E étant leur épaisseur an sommet on la longueur du Joint des naissances, et B>E étant leur épaisseur en bas, on prendra
Lorsque bscB^ cette formule donne B=E, ce qui devait ^re, puii^ qH*alor8 on retombe dans le cas des pieds-droits d'épaisseur uniforme. Le talus total de la face postérieure est
et|l devient nul, comme cela devait être, quand & = E,
Un pîed-droit doit pouvoir résister non-seulement k la poussée horizontale qui tend k le renverser, mais aussi k la charge verticale appliquée k son sommet et k son propre poids ; ainsi, on doit avoir au moins
tJ charge verticale appliquée au sommet du pied-droit, par unité de longueur.
Pour avoir l'épaisseur k donner au pied-droit, k une hauteur quelconque A' au-dessous de son sommet, pour résister k l'écrasement, il suffît de remplacer h par h' dans la valeur précédente de B.
Dans son travail, cité page 439, M. Léveillé a donné les formules suivantes pour calculer l'épaisseur des pieds-droits ou culées :
Arc de cercle, E = (0,33 + 0,242 d) y g x
Plein cintre, E = (0,60 + 0,162 d) ^E±^IZ^^
Anse de panier, E = (0,43 + 0,154 d) y/^ + 0i54 6^0^^^
E épaisseur des culées ;
d ouverture de la voûte;
h hauteur des culées ou distance verticale entre les naissances et le dessus des
fondations; e épaisseur de la voâte à la def ;
t flèche;
6, pour les voûtes en anse de panier, la formule a été établie dans rhypothèse que l'intrados est une ellipse ayant d=2a pour grand axe, et6=/'pour demi-petit axe (/n/., 1160);
H distance verticale entre le dessus de la chaussée et le dessus des fondations* On a habltoellement H = A + /' + « + 0")60, le terme 0",60 représentant la charge et le pavage qui d'ordinaire recouvrent la voûte, et dont le poids, après tassement, peut être considéré comme sensiblement égal à celui de la maçonnerie.
Le numérateur des fractions ayant H pour dénominateur représente la hauteur du point où le joint de rupture rencontre Fintrados au-dessus des fondations. Dans les voûtes en arc de cercle, le joint de rupture étant en générai au-dessous des naissances, on Ta supposé aux naissances. Dans les voûtes en plein cintre extradossées horizontalement, le joint de rupture faisant un angle de 60* avec la verticale, on doit prendre A + 0, 25(2 pour le numérateur de H; en ce point, le rapport de la flèche à la corde est de 0,288, valeur que le rapport de la flèche èi la corde atteint rarement dans les voûtes en arc de cercle.
Pour les voûtes en anse de panier, le joint de rupture, normal à rintrados, fait avec la verticale un angle de 45"* ; et si Ton suppose que rintrados est une ellipse, il est rencontré par le joint de rupture à une hauteur 0,546 au-dessus des naissances; de sorte que le numérateur de H est A + 0,54 6.
V0UTB8.
Tabieau de ponts auxquels M. Léveilié a appliqué ses formules. Dans tons les calculs, l'épaisseur calculée de la clef a été substituée à l'épaisseur réelle, et l'on a pris 0",eo pour la hauteur de surcharge.
SiflSIUTIOll.
1" Ponts en are de cercle.
Pont snr le chemin des Fruitiers (Cliemin de fer dn Nord}.
— dePaisia
— de Méry (ch.de fer du Nord)
— d«î Mélîsey
— de GootDrette, à Âxbois.
-^ snr le Salât.
— de la me des Abattoirs, à
Paris (clieinin de fer de Strasbonrc;)
— snr la Porth, à Stirlinç. .
— Saint-lfaxenee, snr TOtse.
— du chemin de fer du Nord,
sur l*Oise
— de Lorlaston
2* Pùnts en flem cintre.
Aqueduc près d'Enghien (chemin de fer du Mord). . . .
Pont dePaty.
■ snrleThou
- des If éroisins, de Paris à Chartres
• du Crochet (chemin de fer de Paris à Chartres). . .
• de Long-Sauts (chemin de fer de Paris à Chartres).
- d'Enghien (chemin de fer du Nord)
• de Pantin (canal Saint- Martin)
• de la Bastille (canal Saint- Martin)
• des Basses-Granges (Orléans à Tours). . . .
• d'Eymoutiers
OTJlEÈf TVVt.
3* Ponts en anse de panier.
Pont de Charolles.
dn canal Saint-Denis. .
de Château-Thierry. . .
de Bôle sur le Doubs. .
de Welesley à L^rmerich. .
d'Orléans (chemin de fer
de Vienon;
de Trilport
de Mantes
de Neoilly
iPAISIBDlL
à U Clef:
vMto.
caiMM.
3,57 ♦lit
ji
■ADTSim
des
enlées.
ÉP&UflEUt
des culées:
De même que pour la clef (297), Tépaisseur des culées n'a pas besoin d'être augmentée pour la limite des hauteurs ordinaires de
grands reiùblaîs, et même les culées tendent plutôt à se verser à rintérieur de la voCite que vers les terres quand elles ont une trèsgrande hauteur; c'est ce qui motive les voCltes superposées que Ton établit dans les culées pour entretoiser les murs, suppléer à leur défaut d'épaisseur et les empêcher de boucler.
Le tableau suivant ne contient que des voûtes en plein cintre, lei autres pouvant toujours être évitées et ayant le désavantage de né« cessiter des culées plus fortes.
SdSUNATION AES POMTB.
OnTER- TCEE
Pont dn rempart (Orléans à Tours)
— de Saiat-Hylarion (Parib à
Chartr&«V
— du Tertre (Paris à Chartres).
— de la Tuilerie ^Pari» à Char-
tres)
— des Voisins
— des Basses-Granges (Orléans
à Tours)
