D'ÉPAIS

WUR.

Malgré la forme avantageuse à la liaison des briques de M. d'Olivier, Ton conçoit que les propriétés du mortitT de ciment romain, de n'éprouver aucun gonflement k la prise, d'augmenter de dureté a l'humidité, et d'avoir une force de cohésion suffisante pour relier convenablement des briques ordinaires, doivent leur faire donner la préférence sur le plâtre pour la construction des voûtes légères.

Lorsqu'on a besoin d'une grande légèreté, et que la voûte ne doit être soumise a aucune charge autre que celle due k son propre poids, on peut substituer aux briques pleines des briques ou des poteries creuses; c'est avec ces poteries que M. Laroquc a établi la voûte en

Ogive recouvrant la nef de Téglise de Bagnères-de-Luchon, dont la largeur est de i4",50.

Avant remploi du ciment, Tapplication des voûtes minces en briques et plâtre était limitée k quelques voûtes d'églises et a de petites voûtes intérieures parfaitement protégées par une toiture; mais aujourd'hui la grande adhérence du mortier de ciment permet d'exécuter des voûtes minces en briques posées k plat sur deux ou trois rangs d'épaisseur, lesquelles, sans trop fatiguer les murs piedsdroits, remplacent souvent avec avantage les planchers en charpente, et même les toitures, en les recouvrant d'une chape en ciment de 0*,03 d'épaisseur.

Nous avons fait construire plusieurs de ces voûtes minces avec le ciment Gariel, entre autres :

4* La voûte terrasse couvrant le réservoir d'eau de Mers-el-Kébir, près Oran (Algérie), qui a 25 mètres de longueur sur 16 mètres de largeur moyenne; elle est en arc de cloître, sa flèche est de i'jSO, et elle est formée de trois rangs de briques de 0*,035 posées à plat et d'une chape en ciment de 0''>025, le tout recouvert d'une couche de béton maigre de 0*,15 d'épaisseur pour préserver la voûte et sa chape des influences atmosphériques;

2* Les voûtes en dôme recouvrant les réservoirs d'eau des villes de Béziers et d'Agde (Hérault); elles ont i3",50 et 16 mètres de diamètre aux naissances, et 3",50 et 8 mètres de montée ; elles sont formées de deux rangs de briques posées k plat, et d'une chape en mortier de ciment faisant les parements extérieurs des dômes ;

3' La voûte en ogive de l'église de Barcelonne (Gers), de 13",50 d'ouverture, formée de deux et trois rangs de briques posées à plat, et recouverte d'une chape en mortier de ciment.

Nous citerons encore, parmi les belles voûtes minces en briques, celle qui reeouvre l'atelier de fabrication de ciment à Vassy, qui a 49",35 de longueur sur 18",60 de largeur. Cette voûte, en berceau, est formée de trois rangs de briques de 0",028 d'épaisseur, et son extrados est recouvert d'une chape en ciment, sur laquelle on a placé une forte couche de terre cultivée en jardin.

Enfin, les réservoirs supérieurs que la ville de Paris vient de faire consti^ire pour les eaux, à Passy, sont recouverts d'une série de voûtes d'arête, très-plates, occupant chacune un espace carré de 4 mètres de côté, et reposant sur des piliers carrés en briques et ciment de 0*,32 de côté et de 4 mètres de hauteur. Ces voûtes, qui n'ont que 0'",20 de flèche et 0"»,08 d'épaisseur, y compris une chape mince en ciment, sont ccrmposées de deux rangs de briques minces posées à plat. La chape est recouverte d'une couche de mortier de ciment très-maigre, dont le but est de préserver la construction dos effets immédiats de l'atmosphère.

45P, PKEMIÈKE PAKTIE. — HAQOS^EKIE ET TERIlÀSSB.

Lorsque ^es voûtes minces ne supportent que ^u^ propre po|c|4» sans aucune surcharge, leur poussée est excessi^YeiQ^n^ foible relativement ^ ce qu'elle ser^tit si les voûtes avaient été faites en VMfionneriçs ordinaires, et Fépaisseur ie^ p.ijç4HMroits se tçoi\y§ coasid^ rablenient ré4^ite. Hais si les vodites supportent de gKmi& poi44, comme cela arrivei pour, les pjauchers de m«^Q,ufaGtQre§ qu 4'«Q,tor pdtîH l^ wm^^ d^vieD^t considérable et par avÀV». aiuéi l'épaisseur de^ pieds-^iToits*

i% rèçistwçe des pi^s-droits doit dtre ^ hc^rmc^ii». ayeCL la ntoiftr tancç.de la yoijite, si Tca veut que cçUe-ci puisse supporter mt^ charge maximum, car il est évident qu'un défaut de résistance deft pJi«d8-4roits ^imiçui^ra la rési/stance proprement d^te de la voûte. Nous avons fait construire, a titre d'essai, 4&oa las viçux bitimeiiti du lazaret de Marseille, une voùt^ en arc ^ cercle dsi I mètre de longueur entre les têtes* de 5 métrés d9 fi(«^^ ^*M de ftèobe» e( O^^OT d'épa^isseur uniforn\ç, et (arm^e ^e deux rangs de briques dA d",03 d'épaisseur posées à plat avec mortieic d^ oisotent die Yassj. Cette voûte, qui avait pour points d'appui deui^ énormes piliers da lazaret, a supporté sans mouvement visible un poids de 45 MO kilo* grammes, obtenu avec des rails et de^ cou^siuets; eile ne s'est nfntpue que sous une charge de 55 OQO kilogrammes, soit 11 OOQ kilogrammes psu* m^t^e carré de surlÇace j^orizontale d*<eitradQs. Nu( doute qi/ie la charge d,e rupture eût encore été plus CQi^^idérablei^ ai la forte poussée sur les points ^'^ppui, U^'ayait fait reculer de 0*,MK dans l'intérieur d'un pili,er l'uue 4®^ pierre? fornoyant sommier*

500. Voûtes minces poy^r planchers incomJl^usii^le^» l<a coa<Ution d'incombustibilité, si nécessaire pour les Go;istructioU3iiHlustrieUe$« conduit à faire l'application de voûtes minces en l^riqw^ et ^ ment pour former les plauchers et les Qouvçrturei^ ^^ m^i^uJÇacUms docks, halles et magasins, ainsi que des ate^ers d^ M%^çbi&seuiis» teinturiers, etc., où l'humidité ^trui)t pron^tement les pUncbeca ou les combles en bois.

Ces dernières années, k l'imitation de cç q^ se pT^tiiue dqpujia longtemps en Angleterre, les ingénieurs français ont une tendance à rendre incombustibles les planchers des bâtiments industxiito et manufacturiers d'une grande surface, en les composaj^^ 4e Toutes minces en briques et ciment reposant sur des poutres en 1er, en lAb» ou en fonte, supportées par des piliers en briques ou par des colion-* nés en fonte. Ces voûtes ont ordinairement de S",75 a 3 métre^, efc jusqu'à 3'",50 de portée ; elles sont en arc de cercle, avec une flè^e^ de 1/10 pour les bâtiments, et de 1/8 pour les entrepôts de marçbw dises lourdes. Ces proportions varient, du reste, selon la nature et If^ grandeur des charges à supporter, et la destination des cpn^truotions. Il est important d'élever des chaînes dans les murs aux pointa

VOUTÇS.

de grande fatigue, et de disposer dans les voûtes des tirants ^ n fçç allant d'un mur à Tautre pour s'opposer a la poussée ; il convient même de faire passer un tirant par les extrémités des poutres reposant sur les murs, afin de relier entre elles toutes les parties de la maçonnerie. La section des tirants a ordinairement de 0",0i 5 kO",020 de côté pour les planchers de manufactures, et de 0^,030 à 0",03tt pour ceux d'entrepôts.

Ces voûtes doivent être en briques et mortier d'excellente qualité ; on leur donne, à partir de chaque naissance et jusqu'au tiers du développement de chaque demi-voûte, une épaisseur de 0",22, et Ton réduit cette épaisseur à O",!! pour le reste. On pose les briques de champ, en garnissant parfaitement les joints avec du mortier de ciment; on fait le remplissage des reins avec du béton maigre, que Ton rçcouvre ensuite d'une aire en plâtrç ou ^n ii^imentf si^x laquelle ou pose les dalles, les carreaux ou \(^ plancfies devant ^roier le. plancher.

501. Moyen graphique donné par Rondelet, pour déterminer approximativement la poussée sur ses piedsdroits^ d'une voûte extradossée parallèlement. On décrit, ^^. 99, une demî-cîrconférence moyenne TKG ; aux points T et G, on mène des tangentes à cette courbe ; par le point de rencontre F de ces tangentes, on mène la normale FO à la demi-^rçonféreoce, ce qui détermine le point K où se fait le plus grand effort ^ ^ Pj^j. jg point K, on mène l'horizontale VL^

que l'on prolonge jusqu'aux parallèles TF et OG.

La partie fK, multipliée par l'épaisseur de la voûte, exprime l'effort horizontal de la partie inférieure de la voûte, et KL, multipliée également par l'épaisseur de la voûte, désigne celui de la partie supérieure.

Ces deux efforts, agissant en sens contraire et étant directement opposés, se détruiront en partie; ainsi, portant iK de R en m, la différence 7nL, multipliée par l'épaisseur de la voûte, sera l'expression de la poussée.

Cette manière d'opérer donne des résultats satisfaisants pour la pratique, mais non pour la théorie.

Représentant par :

P le produit de mL par répaisseur de la voûte, X répaisseor à dooDer aux pieds^droits,

Rondelet a trouvé qu'on obtenait une stabilité suffisante au moyen

458 premièhe paktib. — maçonnerie et terrasse.

de la formule •

Cette formule, modifiée suivant les données de Rondelet, pour les diverses espèces de voûtes, devient :

Pour une voûte en arc de cloître,

a; = v/5PxO,67; Pour une voûte sphérique,

Pour une voûte d'arête supportée par quatre piliers, les parties de la voûte formant lunettes n'étant pas continuées dans Tépaisseur des pieds-droits, on a pour le cûté de chaque pilier

x=v/2Px2;

Pour la même voûte, mais les parties formant lunettes étant prolongées dans répaisseur des piliers, on a

Des développements donnés par Rondelet [Traité de Tart de bâlvr)^ il résulte :

!• Que, représentant Tépaisseur des pieds-droits d'une voûte en plein cintre par Funité, l'épaisseur relative, pour une même ouver» ture, sera :

Voûteogivale 0.70

Voûte en plein cintre 1,00

Voûte surbaissée an 1/3 1,1S

Idem au 1/6 ],3S

Idem au 1/10 1,39

Plate-bande I,i2

V Que représentant la poussée de la voûte en plein cintre par l'unité, la poussée relative des autres voûtes sera :

Voûte ogivale 0,49

Voûte en plein cintre 1,00

Voûte surbaissée au 1/3 \ 1,393

Idem au 1/6 1,82

Idem au 1/10 1,91

Plate-bande 1,95

5M. Méthode graphique donnée par M, Méry^ ingénieur des ponis et chaussées^ pour ccUculer la stabilité des voûtes.

Par ce procédé, très-pratique, on peut obtenir les divers éléments principaux nécessaires pour déterminer les épaisseurs des voûtes cylindriques de toutes les formes et de leurs pieds-droits. Lorsqu'une voûte est en équilibre, de quelque manière que, sur Fig. 100. chaque joint, la pression se répartisse entre

les différents points, l'ensemble des pressions partielles donne une résultante unique appliquée en un point du joint; ainsi, par exemple, pour le joint a6, fig. iOO, cette résultante, que nous désignerons par p, sera appliquée au point ^, et la voûte devra être tenue en équilibre par cette pression p et par la poussée horizontale P qui agit au sommet de la voûte. Sur chacun des autres joints a'6', q!'1/\ etc., il existe des points ^',/', etc., analogues à^. Tous ces points déterminent une courbe, que M. Méry appelle ctmrhe des 'pressions, qui est très-propre à éclairer sur Téquilibre de la voûte.

Si cette courbe passe au sommet C de la voûte, au point b de l'intrados et au point extérieur Â, cela indique que la voûte tend à s'ouvrir k l'intrados au joint G, à l'extrados au joint a&, et que le pieddroit tend k tourner autour de l'arête extérieure A.

La courbe des pressions n'atteignant pas les points G, b et A, mais s'en rapprochant comme l'indique la figure, elle montre encore que ces points sont les plus faibles de la voûte.

La résultante de toutes les pressions qui s'exercent sur le joint ab passant par le point g y où la courbe des pressions rencontre ce joint, la moitié des composantes de p agissent sur la portion bg^ qui doit y résister sans s'écraser; il en est de même de chacune des portions ek, b'g\ Vy, Cf.

Nous disons que bg doit être capable de supporter la moitié de la pression qui s'exerce sur le point ba; mais remarquons que la pression allant en augmentant depuis le point g jusqu'en 6, l'arête b s'é craserait si l'on s'en tenait pour bg k la limite exigée par une demipression répartie uniformément.

On n'a rien de bien positif sur la manière dont la pression se répartit sur un joint; mais l'on admet généralement qu'étant k son maximum en 6, elle décroît proportionnellement a la distance de ce point; de sorte que la pression étant moyenne en ^, elle est nulle au point h qui donne hg = %gb (la pression totale étant représentée par la surface d'un triangle dont hb est la hauteur, g le centre de gravité, et dont la base, que nous représenterons par A;, est proportionnelle k la pression maximum en 6, en tout autre point, la pression est représentée par la parallèle menée en ce point k la base du triangle) (297).

Gela posé, comme il est évident qu'au point b la pression k ne

isi

doit pas dépasser la limite que comporte la pierre, il en résulte que la partie ig aoit être capable de supporter une charge représentée par k X bg^ et tomme la pression totale sur le joint ah est

kxtihgy Ton voit que bg doit être capable de supporter les 2/3 de la

charge totale du Joint, eit non là moitié.

Là pression ^exerçant suivant là tangente a la courbe des prèssiobs, cette courbé, pair son inclinaison sur les divers joints, sert encore â faire connaître leà joints où le glissement est à craindre, a étant Tangle que fait la direction de la pression avec le joint du Voùssoir, Te^ôrt qui agit suivant la direction du joint pour produire le glissement est p cas a, TefTort normal au joint estp sin a, et 0,76 étant le coefficient dé flottement ordinairement adopté, ôh doit avoir, pourquoi y ait stabilité, pcos a <psinax 0,T6, ou cosa < sîna x 0,76. Tracé de la cçurbe des pressions. Une voûté exigeant, pour sa stabilité,, que son épaisseur et celle de ses pieds-droits soient plus considérables que ne Texige Téquilibre statique, on conçoit que la courbe des pressions peut y prendre une infinité de positions différentes, sans qu'il soit possible de préciser celle qui se Réalisera, cette position dépendant du tassement, que l'on ne peut prévoir exactement, et des surcharges accidentelles auxquelles la voûté peut être soumise.

Prenons, fig. iOi , sur le plan des naissances, le point m, paraissant, p^r ses distances aux points b et â, devoir appartenir è. la courbé des pressions (les parties bm et am doivent chacune po^ivoir.suppor,ter.sans s*écraser les î/3 de la charge du joint al?) ; prenons également, sur le joint vertical cd, le point n, paraissant, par sa distance au point c, appartenir a la courbe des pressions, et propo6oas*nous de tracer cette courbe passant par m et n, ,c'est-k- 4|Lre de trouver les pointa en lesquels elle rencontre les joints ef, id, f te.

On calcule le poids du voùssoir cct6a, et Ton détermine la position He soB centre de gravité; soit KG la verticale passant par ce centre de gravité; prolongeons 'cette verticale jusqu'à l'horizontale nX, joignons fim^ prenons KS proportionnel au poids trouvé, et terminant le parallélogramme KSRP, RP est proportionnel à la poussée horizontale, et la diagonale KR à la pression totale p sur le joint ab. Gela fait, soit kg la verticale passant par le centre de gravité dû voùssoir cdfe\ prenons ks propoi^tionnel au poids de ce voùssoir» et kp égal à la poussée horizontale KP ; construisons le parallélograni-

jà y

tt6 k$fp; la diagonale kr représente Fîntensité et la direction de la pression sur le Joint ^, et le point o, où elle rencontre ce joint, edt tin des points de la courbe des pressions. Opérant sur le voussoir vdih comme sur c<f/fe, on détenânine le point q où la courbe rencontre le joint At, et par la même marche on déterminerait tous les autres points de cehe courbe.

Si les points m et n ont été mal choisis, on ne tarde pas k s*en apercevoir ; la couTbe que Ton obtient sort des limites convenables, ou conduit k une épaisseur démesurée de pieds-droits. On fait alors nhe nouvelle hypothèse sur la position de ces points, et Ton construit une nouvelle courbe, en se servant évidemment des poids et des positions des centres de gravité de voussoirs qui ont été déterxnibés pour la première courbe.

Supposant que la voûte est construite en matériaux assez résistants ponr que la pression puisse s'exercer sur les arêtes des voussoirs sans les écraser, il est évident qu'il y aura équilibre tant que la courbe des pressions ne dépassera en aucun point la limite des voussoirs; mais qu'aussitôt cette limite dépassée, l'équilibre sera rompu si la voûte n'est pas consolidée par des armatures ou des mortiers ^'utfe résistance supérieure k l'effort qui tend a rompre l'équilibre. Avec lëà inatériaux ordinairement employés , les distances de la courbe aux extrémités de Chaque joint doiveht être telles, que charcune d'elles soit capable de supporter une charge uniformément répartie égale aux 2/3 de la charge totale qui repose sur le joint. Lorsque deux voûtes opposées s'appuient sur un même pied-droit, on peut s'en tenir k l'épaisseur statiçjue, c'est-k-dite k celle où la courbe 'des pressions passe aox extl'émités des joints de la clef, des reins et du plan des" naissances ; parce que , outre que les poussées contmires rendent tout mouvement du pied-droit impossible, la maçonnerie qui relie les deux voûtes au-dessus du plan des naissances il9nd impossible le glissement et le renversement de la partie de la v^ûte comprise eâtre lès naissances et les reins. Il est évident que le massif de maçonnerie qui reliera les deux voûtes doit être construit an moins jiisqu*aux joints de rupture des voûtes avant le décintreisient et le chargemeiit.

soi. DèterminatUm du profil â> équilibre pratique d'une voûte. La méthode indiquée au n* 296, pour déterminer les dimensions k donner k une voûte, et celle de M. Méry (302) exigent la recherche des centres de gravité des diverses portions du profil de celte voûte. Cette recherche étant presque toujours longue et ardue, Dejardin a donné, dans sa Routine de rétablissement des voûtes, une méthode ^i lut a permis, en excluant tout tâtonnement, de déterminer le profil d'une voûte satisfaisakit aux conditions de stabilité déterminées par les méthodes énoncées ci-dessos, et de calculer k l'avance des

tables qui donnent le métrage des voûtes et de leurs culées, en raisaa de leur ouverture, pour les trois systèmes les plus usités.

L'établissement de ce profil d'équilibre est basé sur le principe suivant, général a la construction des voûtes : Dans les voûtes conr struites suivant une des formes usitées^ la pression^ quelle que soit sa valeur, qui agit dans le sens du contour d0 Vinirados^ croît de" puis le sommet jusqu'aux naissances.

Tracé de la courbe dHextrados de ce proJiL L'intrados étant donné, le profil sera déterminé par le tracé de Textrados. Partant de Tèpaisseur à la clef e, donnée par les formules du

n" 297, si Ton désigne, fig. 102, par e*- Tépaisseur variable de la voûte, c*esta-dire la longueur des joints HH', LL', etc., et par a Tangle que fait avec la verticale chacun de ces joints, on a généralement

cos a

De cette relation, il résulte que la distance p du centre 0 à Textrados,' en un point correspondant k l'angle a, est, en désignant par rie rayon de l'intrados,

COS a

L'équation (2), à cause de son extrême simplicité, conduit à deux constructions géométriques tout élémentaires, et dont Tune permet de tracer la courbe d'extrados Sun jnouvement continu.

En premier lieu, les équations (1) et (2) expriment que tous les joints HH', LL', etc., doivent avoir une projection verticale constamment égale à c; si donc on mène une normale quelconque OHH', rencontrant Tintrados en H, qu'à une hauteur H' I=«, au-dessus du

point H, on mène Thori- ^^«* *^^- zontal indéfinie H'G,laren-

contre de cette ligne avec la normale OH prolongée donnera le point H' de l'extrados correspondant au point H.

En second lieu, ^^. 103, si à une hauteur 00' = 0, au-dessus de la ligne de naissance OA, on mène l'horiaontaleO'A', et que l'on trace la ligne de joint quelconque OM, faisant un angle a avec la verticale, et

VOIJTES. 457

coupant en B Thorizontale 0'A\ il suffira de porter sur la ligne OM prolongée la distance BM' = r, pour avoir le point W de Textrados correspondant au point M. On a, en effet,

0B=— =-^, d'où OM' = OB+BM'= -^ +r=p.

cos « cos a' ^ cos « *^

Voici maintenant comment la dernière construction peut conduire à un tracé de la courbe par mouvement continu. On remplace Thorizontale O'Â' par une règle fixe, et la ligi^e de joint OM par une règle mobile qui est traversée au point B, à une distance r de son extrémité M', par un style; on fait mouvoir la seconde règle de manière que son prolongement inférieur passe toujours par le centre 0, et qu'en même temps le style s'appuie toujours contre la règle fixe O'A'. Dans ce mouvement, l'extrémité M' décrit évidemment la courbe d'extrados. On réalise très-facilement ce mode de tracé sur les épures de voûtes, en pratiquant dans la règle O'A' une rigole ou rainure continue, dans laquelle glisse le style de le règle mobile, et en pratiquant de même dans cette dernière, et de B vers 0, une semblable rigole, qui glisse a son tour sur un style fixe planté au centre Q.

La solution pratique précédente peut être étendue au tracé de la courbe d'extrados d'une voûte dont l'intrados est quelconque, pourvu cependant que, pour chaque inclinaison de la normale k l'Intrados, on connaisse la longueur du rayon de courbure, et l'on saura toujours déterminer cette donnée dans les courbes d'intrados qui peuvent être adoptées.

Pour les courbes d'intrados quelconques, désignant toujours par :

e' la longueur variable des joints;

r' un rayon de coarbore quelconque de Tlntrados, faisant Tangle a avec la verticale; r le rayon de courbure ao sommet de l'Intrados; e rëpaisseur à la elef,

On a ^= -; X . (3)

r' cosa ^ '

Cette solution, dont l'exactitude est suffisante dans la pratique, conduit à une construction géométrique complètement générale, et d'ailleurs très-élémentaire, qui pourra être faite sur l'épure même de la voûte.

On portera, >î^. 104, sur une verticale, OA=r, OB=e, et Ton mènera l'horizontale indéfinie BD. Pour obtenir la longueur ^ d'un joint quelconque faisant l'angle a avec la verticale, on mènera OK parallèle au joint e', c'est-à-dire faisant l'angle « avec la verticale,

Fig. 104.

tni torertdyaOk^r', et par le pôîm ï, où Ofc rencontre Yhàrtiontàte BD; on tnètiera IL parallèle à AR; OL sera la longueur e* cherchéie. En eflel, les triangles semblables âOK, LOI donnent

OK y COS a

Dansrâp|)lîcali6n,nntrâdôs est ordînàîrement tracé par rayons de courbure successîfe; OA se trouvé tout porté su^ répure, élOK, OK', etc., sont tles parallèles aul autres rayotts de courbure, qui se trouvent aussi sur répure. Lé tracé de l'eitriados n'est doiûc pliis 4u'un petit travail ajouté k Tépùrc de la véûte.

Ces courbes d^ektrados, déterminée^ par les équâtîoiis (l), ft)iBt (â), sont désignées par Dejardin sous le nom de péricydoïdes; elles présentent un caractère général. Tunique que nous indiquerons Ici, parce qu'il est le seul qui intéresse la pratique : elles ont toutes pour asymptote rectiligne FhoHzohtàle O'A' hieiiéé k une distance e au-dessus de la ligne des haissànces, j'î^r. léâ, ou, fen d'autres termes, le voussoît k là naissance aurait une longueur infiiiîe. tette contradiction montre que, dans la condition donnée, il h'ést point possible d'extradossef complètement taïie voûte:

De là il résulte que la courbe précédente d'extrados doit s'arrêter à une certaine bauteur au-dessus des naissances. D'après ce qui a été dit, n* 278, on supposera, dans ce qui va suivre, que la courbe d'extrados s'arrête au joint extrême» c'estr4-<Ure eh joint incliné à 30* sur l'horizontale. Dans les voûtes à intrados elliptique, on peat énoncer d'une manière générale que, selon que la montée est égale k 1/2, 1/3 ou 1/4 de l'ouverture, l'origine des joints extrêmes est déterminée par une horizontale menée k 1/2, 1/3 ou 1/4 de la hauteur sous clef k partir des naissances.

Pour une courbe d'intrados quelconque, la surface du profil de la voûte peut être déterminée k l'aide du procédé graphique indiqué an n' 295; mais lorsque cette courbe est un arc de cercle, la surface d'une portion du profil, comprise entre la verticale menée par Taxe de la voûte et un joint faisant un angle a avec la verticale, a pour expression généhile

élr L*

1 H- sin g 1 — sin a

-he* taûgd^.

VODTSS. 459

r niTon de Tlntradoi ;

L. luaice des logarithmes nélDërtent {Introduction à la science de ^ingénieur. n«405); Les autres lettres ont les mêmes significations que ci-dessas.

Les deux ternies variables qui entrent dans la valeur de W étant donnés dé degré en degré dans ie tableau suivant, il sera donc de la plus grande facilité d'obtenir la surfacd voulue jusqu'à un joint quelconque, pour lequel a est égal à un nombre entier de degrés.

Pour les voûtes a intrados en arc de cercle, la formule suivante donne approximativement la longueur au développement de la courbe dextrados, depuis le sommet jusqu'à un joint quelconque, longueur qui n'a, du reste, d'importance que pour l'évaluation de la chape,

V longueur de l'arc d'intrados dans les Ihnites correspondant i L'; S' surface dû profil dans les mâmes limites.

Cette formule donne des résultats qui ne diffèrent de la vérité que de i/5 de l'épaisseur e à la clef, erreur parfaitement négligeable dsÂs l'espèce;

Le tableau suivant donne les valeurs numériques des coefficients r*écessaires au calcul des profils des voûies à intrados circulaire.

(O t» r^ ce no»

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cTcTo'crcrcrGrGrGrcrcrcrcro cTcTo'cr o o «To cTcTo cTcTo o gTo ^ '

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§o»t^«o©c>9*9«MO»w«c«»©r«<9»iOOkco«DMt^9nMaoe©aA^©t»tt«aOan«*©Mce<o no*«t0'<ViAMin«0iAr«>ot»r^<N'»©-«-«9*iA(N'^»i3>m»ico>aoe — •«oiQvt^'^i^ ©o»'»r.i^c«»oo»>»«'«»«-*c»»o»»ooo»ffOO»t-ir-Oi'^«cor-'*5't^«© — ©•^««oxïOfc

©^Ok'^a»«©<4>©«n(N©-««t^(<9©*f9««<»>tf)»iot»>oc<9-Moaka3aooo©©-~c9w)oo-«

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504. Poussée hùrizoniale des voûtes (996). Dans le profil d'équilibre déterminé comme il vient d'être dit (303), la pression à la clef ou la poussée horizontale est, pour les voûtes k intrados circulaire,

Q=^(2er + e«).

Q poussée horizontale par unité de longueur de voûte; d pesanteur spëdflque de la maçonnerie (101); e épaisseur de la voûte à la clef; r rayon de l'intrados.

Ainsi cette poussée croit avec la densité de la maçonnerie, le rayon de la voûte et son épaisseur à la clef.

Pour les voûtes à intrados quelconque^ on a, en désignant par Tf le fayon de courbure au sommet de Fint^ados,

Les conditions d'équilibre des voûtes en ogive^ fig. 105, dérivent

naturellement de celles rela- ^' '^'^^ tives aux voûtes k intrados

circulaire; mais, comme on a toujours supposé que les intrados avaient une tangente borizontale au sommet* il est nécessaire de faire une remarque sur le mode particulier d'équilibre des voûtes en ogive, où cette circonstance n'existe pas.

Considérons une portion de voûte mnMN, dont Tintrados est décrit d'un rayon OA = r, et qui s*étend depuis le joint MN rendu fixe , jusqu'à un joint déterminé 7im, dont la direction fait un angle p avec la verticale. Cette portion de voûte peut être regardée comme appartenant à une demi-voûte circulaire ayant un rayon d'intrados r et une épaisseur e à la clef. Si donc on règle, comme Dejardin l'a supposé pour les voûtes circulaires, le profil de la voûte de manière qu'il exerce une pression constant^ normalement k l'intrados, il suffira, pour conserver la forme circulaire de cet intrados, d'appliquer en m une force tangentielle

i^ PREMIÈRE PARTIE. --: Q|AÇQVNER1E ET TERRASSE.

Ici on ne poiirrail; pas, oçnime dans te cas 4qs pleins ciQire§, établir réquilibre de la portion de vQ(^te m7»NI>{, eo lui accolant, suivant les joints de la clef, une autre pojcUpn de voûte symétriquement égale. En effet, la pression G qui s'exerce tangentiellement à Tintrados peut être décomposée en deux forces, dont Tune, horizontale, n'est autre chose que la poussée horizontale de la voûte, et a pour valeur

Q = Gcosp=r (aer + e*) cosp, et Fautre, verticale, est égale k

û'=: G sin p = - (2er + e') sin p.

Ainsi, au lieu d'appliquer au point m la force horizontale Q, on peut bien accoler contre le joint mn, et par Tintermédiaire du triangle matériel nmn'j une autre portion de voûte symétriquement égale à la portion mn MA ; mais il faudra, en même temps, appliquer au sommet un poids Q' pour chaque demi-voûte, ou un poids 2Q' pour la voûte entière. Ce poids 2Q', y compris celui du triangle nmn'y est indispensable pour Téquilibre.

Ce qui vient d'être dit suppose le profil de la voûte réglé de manière que la composante du poids, normale à Fintrados, soit constante. On est donc conduit, sous les mêmes réserves, et sauf les mêmes conséquences, a adopter pour profil de Fextrados le même mode de description que celui indiqué au n' 303, pour les voûtes circulaires. Il faut seulement remarquer que la constante e qui figure dans les formules (1), (2) et suivantes, ne représente point Fépaisseur & la clef pour la voûte ogivale, mais la projection verticale constante de tous les joints normaux k Fintrados. Ce qui a été dit précédemment, k propos des voûtes circulaires, sur les conséquences de la solution pratique adoptée pour le tracé de Fextrados, est évidemment applicable, et àforHori, aux voûtes en ogive. Ce tracé conduira donc encore, dans le cas présent, k un profil d'équilibre pratique aussi avantageux sous le rapport de la stabilité que sous celui de l'économie.

50^. Détermination de la valeur et de la direction de la pression ^ecthse en un point quelconque ^une voûte. Tracé de la courbe des pressions. La valeur de la poussée horizontale Q, donnée au numéro prpcédent pour les voûtes en arc de cercle ou en an^e de panier, a été déterminée en supposant implicitement qu'au sommet la pression s'exerçait sur Fintrados même. Mais cette pression pourrait évidemment s'exercer en tout autre point du joint de la clef; alors.

youT£s. iça^

1^ pression ijionnale ^tant toujours la mtai^» si Q est la po^sséç ç(ilculée pour un rayon r aboutissant s^u sommet de Vintrados, la nouvelle poussée Q' qui correspondrait à un rayon r' aboutissant à un point ((u«kjQa<|u.e de la clef serait

Gomme r* ne peut varier que de r à r + c, c étant l'épaisseur de la voûte à la clef, la plus petite et la plus grande valeur de la poussée

horizontal onf re/spectiyejoaeAt pou^ ^prasffipna ; Q, et Q, Q

ayant toujours la valeur donnée au numéro précédent.

Quand la poussée horizontale a sa moindre valeur Q, la courbe des pressions passe au sommet de Tintrados, et la voûte tend k se rompre en s'ouvrant k Textrados par soulèvement de la clef, comme l'indique la figure 96. Quand, au contraire, la poussée horizontale prend sa

plus grande valeur ---^--^ Q, la courbe des pressions passe par le

sommet de Textrados, et la voûte tend k se rompre par affaissement de la clef, comme l'indique la figure 94. Mais Tun ou l'autre cas de rupture ne peut arriver qu'après une modification notable du trajet de la courbe des pressions, c'est-k*dire après la transformation de l'équilibre stable en équilibre instable.

Entre les deux positions extrêmes que l'on vient de considérer, et qui sont, pour ainsi dire, les limites de l'équilibre stable, la courbe des pressions peut occuper une infinité de positions, k chacune desquelles correspondra une valeur de la poussée nécessairement comprise entre les deux limites précédents (302}.

La valeur de la pression effective et sa direction, en un point quelconque 4'une voûte, sont dét^roiin^ea» d'après Pe^ar^Mx, au moyen des formules i^uiyant^s :

La composante verticale Q^ de la pression, quel <^\^e so^le traj^ d^ la çourl^e des pressions, a toujours pour expression

d poids du mètre cuIm de maçoonerie (101); tes autres lettres ont les mêmes signiilcatlons qu'au n** 303.

La composante horizontale, pour le cas limite considéré ci-dessus, quand la courbe des pressions touche au sommet de rintrados, a pour valeur

Q=|(SI«' + e«). (2)

464 PHEHIÊnK PARTIE. -* MAÇONNERIE ET TERRASSE.

En même temps, rinclinaison de la pression effective se détermine au moyen des formules suivantes, dans lesquelles

6 Indique l'angle que fait avec rhoiixontale la direction de cette poQflsée sur ]« joint qui termine inférieurement la portion de voûte considérée.

Tange = a=5^L.l±^ + 5-^tang.. (3)

Tous CCS résultats pourront être calculés k Faide de la table, page 460. D'ailleurs, Tintensité de la pression effective T sur le joint extrême se calculera k Taide de la même table et en vertu de la relation

cosO" ^•^

Pour le second cas limite, indiqué ci-dessus, c*est-k-dire quand la courbe des pressions touche au sommet de Fextrados, on a, d'après ce qui précède.

Tange' = j-L.tange. (7)

Pour obtenir les mêmes éléments pour un point quelconque de répaisseur de la clef, situé k la distance r" du centre de la voûte, il suffirait de remplacer r + e par r' dans les formules (6) et (7).

Ayant calculé les valeurs successives de tang 6, on aura, par une simple multiplication, celle de tangO' correspondant k un même joint qui fait un angle quelconque a avec la verticale. On pourra ainsi tracer par tangentes successives les courbes de pression limites passant. Tune par le sommet d'intrados, l'autre par le som* met d'extrados. Comme ces valeurs de tang 0 et de tang 6' dépendent du rayon r de l'intrados et de l'épaisseur e k la clef, on ne peut conclure d'une manière générale aucun résultat mathématique sur le trajet des courbes de pression limites; mais si, après avoir fait les calculs pour une voûte déterminée, on construit ces courbes comme il vient d'être dit, on reconnaît que la première, tangente au sommet de l'intrados, va couper le joint extrême

Wg- iw. à 1/18 environ de sa longueur, en

partant de Tintrados ; que la seconde, tangente au sommet de l'extrados, va couper le joint extrême k 1/4 environ de sa longueur, en partant de Textrados. On reconnaît de plus, d'après la même expérience, que ces deux courbes peuvent être représentées pratiquement et avec une approximation suffisante par le procédé abrégé qui suit, fig. 106 :

Si par le point M, extrémité intérieure du joint k 30*, on mène la ligne MI faisant un angle 0 avec rhorizontable, Tare de cercle Dm, tracé du point I comme centre, suit à très-peu près le trajet de la courbe minimum de pression. Si, par le même point, on mène la ligne MF faisant un angle 0' avec Thorizontale, l'arc de cercle En, tracé du point V comme centre, représentera approximativement le trajet de la courbe maximum de pression.

Les résultats des calculs nécessaires au tracé direct des deux courbes de pression sont donnés dans la table suivante, calculée de 10* en 10", pour les cas d'une voûte de 1 mètre dé rayon sur 0",40 d'épaisseur a la clef, d'une voûte de 10 mètres de rayon sur 1",30 d'épaisseur à la clef, et enfin d'une voûte de 20 mètres de rayon sur 2*,30 d'épaisseur à la clef.

On observera, en comparant sur cette table : 1" le mode d'accroissement des valeurs de tang 0 et de tang « ; 2* celui des valeurs de tang 6' et de tang t), que les courbes limites de pression ne peuvent sortir du profil de la voûte, ce qui, comme on l'a vu, est la condition de l'équilibre pour l'un ou l'autre cas extrême. De plus, les valeurs de tang 6 sont calculées pour une courbe de pression qui partirait du milieu du joint de la clef : cette courbe occupe, comme on le voit sur la table, une position moyenne entre les deux courbes limites, et elle passe sensiblement par les milieux de tous les joints; elle représente très-probablement le trajet effectif de la courbe de pression résultante, lorsque la voûte est arrivée k son état d'équilibre permanent.

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