IB

(0 étant, dans cette exfh'ession, la longueur de Tare qui correspond Il Tangle w, et qui est décrit avec Tunité pour rayon. Quant à Tabscisse du point M, elle est :

35 = AS = ÀQ — mtî;

X = iX sin « — tm' cos w sin à ;

X = r sin « (1 — cos w).

Faisant varier w entre 0' et 180', on déterminera, à Taide des formules (B) et (C), autant de valeurs correspondantes que Ton voudrk de s et a:, c'est-a-dire de points de AB', et l'on pourra tracer cette courbe.

Les équations (B) et (G) s*appliquent à une section quelconque parallèle aux têtes, en augmentant seulement x d'une constante C égale a la distance du point A à la section, cette distance étant mesurée suivant AG. Ainsi Ton a :

s=r cur, X = r sin a (1 — cos w) -f- C.

Les équations des trajectoires Sont :

a:' =r r^ X 2,302585 liog tang 3 «d — r sin a cos co + C. (E)

sm a ' ° ® 2 ^ '

Tous les points d*une même génératrice correspondant à une même valeur de <o, comme les valeurs de rr*, pour une même valeur de (o, ne diffèrent que par la constante G', on voit que deux trajectoires quelconques IK, MR interceptent des longueurs égales sur toutes les génératrice^, ainsi lf£ = FK, et il en résulte :

1« Que MF est égal kEK;

2* Que toutes les trajectoires sont des courbes égales; ainsi MF étant appliqué sur EK, les trajectoires indéfinies dont ces arcs font partie coïncideront dans toute leur étendue;

3' Qu'avec un même patron ou pistolet on peut tracer toutes les trajectoires (321) ;

4* Que, sur une mêhie génératrice, toutes les tangentes aux sections parallèles aux têtes sont parallèles entre elles, et quil en est de même pour toutes les tangentes aux trajectoires ; ainsi, la tangente en M a AB' est parallèle à la tangente à GH' au point où la génératrice ME rencontre GH', et la tangente en M à MR est parallèle k la tangente en E a IK. Gomme les premières tangentes sont perpendiculaires aux secondes, ce que Ton voit en M, il en résulte que l'angle que les premières font avec Taxe des y est égal à cdui que les secondes font avec Taxe des x. En désignant cet angle par 9, on a

„ sin a sin w

Tang 9 = , . , . ;■ . (F)

^ ^ \/l— sin«asin«to ^ '

Puisque toutes les trajectoires sont les mêmes, il suffit d'en avoir une pour pouvoir tracer toutes les autres. Or, pour celle qui passe par le sommet I de l'arc de tète, comme on a pour ce point :

eu = 90* ; d'où cos w = 0, tang 3 «^ = 1 et log tang - w = 0,

l'équation (E) donne .

L équation (G) fournit, pour le point 1,

a;=r sino.

Or, commefl; = x'=I^, on a donc

G' = r sina.

Par suite, l'équation (E) devient, pour la trajectoire qui part du point I,

VOUTES B1AI8ËS. 501

x'= r sin a (1 — cos co) A- x 2,302585 log tang 5 w. (G)

Le point de rencontre V de la trajectoire IK avec une section GH' parallèle à Tare de tète, comme appartenant a GH', donne pour x la valeur (D), et, comme appartenant a IK, il donne pour x' la valeur (ti). Or, comme x =2^, on a donc, en égalant (D) à (G) et en supprimant le terme commun,

C = J— X 2,302585 log tang ^ w.

sin a ' ° ^ 2

Cette valeur de la constante G est la distance Vv de GH' a la courbe de tète, mesurée suivant la génératrice ou Taxe des x.

Faisant varier u, et portant sur les génératrices correspondantes, k partir de la courbe de tète ÂB', les valeurs Âe C, on déterminera autant de points que Ton voudra ée la trajectoire IK, que Ton pourra alors tracer sans s'occuper des sections parallèles aux tètes.

Représentant par xf' les abscisses de IK comptées k partir de la courbe AB', on aura

ou, en remplaçant a:' et x par leurs valeurs (G) et (G),

X" = — -r^ X 2,302585 log tang ^ co. (H)

sin oc A

Mettant cette formule sous la forme de logarithmes, en remarquant que pour éviter de prendre les compléments on peut poser

complément log tang b* *^= ^^S cotang r w, ce dernier log étant celui

de la table, il vient

log X" = log ^-^^^ + log (log cotang i ») .

Il convient de remarquer que le premier terme de la valeur de log xf' esÂ constant.

Cette équation, complétée par celle j = cor, est celle qu'il convient d'employer pour tracer la trajectoire IK. Après avoir divisé Tare de tête en vovssoirs, ou, pour plys d'exactitude dans le tracé, en demivoussoirs, surtout vers la naissance, on prend pour co les valeurs des angles au centre correspondant aux arcs déterminés par les points de division, en ne dépassant pas 90"*, puisqu'il suffît d'avoir la moitié IK de la courbe. Du reste, entre 90* et 480», x" reprendrait les mêmes valeurs, mais avec un signe contraire.

502 PUEMIÈllE PARTIE. — MAÇONNERIE ET TEKUASSE.

Pour » = 9<>^, on a * = to>r= -^j et la formule (H) donne a:"=0;

çe sont les coordonnées du point 1. Pour to=0, onaj=0 elx" = oo.

i^insi la trajectoire ÏK a pour asymptote la génératrice AC. Au delà

du point I, Kï a de même pour asymptote la génératrice D'B'.

r tça valeurs de a^' (formule H) étant proportionnelle* à 7^. — , U en

résulte que les valeurs de x'\ correspondant à un autre rayon r, et à un autre angle a^, pour les mêmes angles w, se déduiront de la proportion

ic'' ) ac« 23 . ' * i --,- — , d*où 3f\ = af -J-% .

* sm ttj sm « * , r sm %^

S «=^,il viçnlx'\=ap'' J,

«X ,/ ^, sin a

Et pour r=r|, on 9,7/\=-çcf -1 ,

*^ " * sm a^

A Taide de ces relations et du tableau suivant, que M. Lefort a calculé pour r= 4",825, a = 34* et datfs Thypothèse où la demi-circonférence de tête serait divisée en 35 voussoirs, il sera donc facile de calculer les valeurs dç xf\ pour des rayons de tétés et des biais quelconques, et, par suite, de tailler le patron des nouvelles trajectoires.

La relation a/'^ =xf^ -^ permet aussi de tracer le patron des trajectoires, soit do VextrftdQs, soit 'd'un cylindre mojen entre Tintr^Qs et Fextrados.