GO

Pour une section quelconque parallèle aux tètes, il suffirait d'ajouter au second membre de cette équation une constante G, qui représenterait la distance de la section a la tête AB, cette distance étant mesurée suivant ÂG (équation D).

Pour une trajectoire quelconque, l'équation (E) devient

x* = — r-^ X 2>302585 log tang s <»> + C*. tang a ^ '=* ® 2

De plus, y'=j=wr.

Pour la trajectoire IK partant du sommet, on a G'= Ig=r tang a, et, par suite (équation G),

x' = r tang a— r x 2,302585 log tang -5 w. (GO

En comptant les abscisses non a partir de Tare ÂB', comme dans le cas de la section de tète circulaire (équation II), mais à partir de

la parallèle IQ menée par le point I à Taxe Ày, on a

x''=x'— Ig=a;'-.r tang a=-. -^^^ x2,302585 log tang | co, (H')

ou, pour faire usage des logarithmes tabulaires,

log x"= log '^^^^ + log (^log cotang - eu j .

Le patron se construirait comme au 1**, en portant les longueurs ^=:b>r sur QI, à partir du point Q, et les valeurs de xf' sur les génératrices correspondant aux angles co, a partir de QI.

Ayant les développements des trajectoires, on obtiendra les projections horizontales et verticales par les moyens géométriques indiqués au n*32i.

La formule (F) devient, dans ce cas,

Tang ç = tang a sin co. (F')

5!I4. Voûtes en arc de cercle. En développant, soit géométriquement (3S1}, soit en ayant recours au calcul (323), la voûte Ai'B dont

la voûte surbaissée mfi'nf n'est qu'une partie, cette dernière se développera suivant MNSR. "Comme ce développement partiel est seul utile, les constructions devront être limitées par les ' génératrices MR et NS, et les opérations par les valeurs de <a comprises entre

kim' et Ain' et même An', s'il s'agit de la trajectoire IK. du lomme^. . IK ayant AC pour asymptote, il est évident qu'elle coupera la génératrice im des naissances. Le patron des trajectoires sera taillé suivant IK et MR, et en le faisant glisser le long de MR, puis le long de SN après l'avoir retourné, on pourra tracer toutes les trajectoires.

Les trajectoires venant couper les naissances MR, NS âous des angles aigus, pour remédier à cet inconvénient, on arrête les assises à des coussinets e faisant partie des sommiers E qui terminent supérieurement les pieds-droits. L'ensemble de ces coq^si^eVs a pris, à cause de sa forme, le nom de crémaillère.

Il est bien évident que, suivant que ce sera la \è\^ oh la seetvtfi droite qui sera en arç d^ cercle, pn (|evra faire usage, des fon^ules d^ i"* ou du ^ du numéro précédent.

Dans le but de diminuer la longueur de l'épure, on pourra sam difficulté ne développer que la voûte surbaissée, en prenant la génératrice mr de naissance pour charnière; MR coïncidera alors avec mr.

35ia. Voûtes en anse âe panier. Le développement AM du petit arc Am* (^j^. i20), et celui MI du grand arc m'i' s'obtiennent sans difii-

culté, a l'aide de la formule ^^s- 120- s=ior (323), dans laquelle w se

comptera pour les deux arcs k partir de tA, mais r sera le rayon um' du petit arc ou celui om' du grand arc, selon qu'il s'agira de Am' ou de m'i', La trajectoire UV ^ du sommet de la petite voûte dont Am' fait partie, et celle IK du sommet de la grande voûte s'obtiennent à l'aide des formules (H) ou (H'), dans lesquelles r variera encore d'un arc k l'autre (323). Un patron taillé suivant IK et glissant sur MR servira k tracer toute la portion des trajectoires comprises entre les génératrices IL et MR. Un autre patron, glissant sur AC et taillé suivant NV, convenablement prolongé, permettra de tracer la portion des trajectoires comprises entre MR et AC. En amenant le point N au point R', Ton voit que les deux patrons pourront être réunis en un seul qui glissera sur AC, et qui sera taillé suivant IR', et, a partir de R', suivant la courbe NY, amenée parallèlement k elle-même jusqu'k ce que lé point Jï soitien R\

La valeur de l'angle f dépendant de « et de w, et non de r {formules (F) et \¥') du n^ 323), comme a est constant pour toute la

^^ùte, et que a» est le même pour tous les points de la génératrice |iB, que cette génératrice appartienne k la portion Sm' ou à celle ^Y, il en résttUe que MA et Ml ont même tangente en M, et que sur tau^ la gépéfutriee MH les trajectoires IK et NY ont la même tangente, qui sera déterminée par la formule (F) ou par celle (F').

3ft6. 4ppaxf%l kiliçoiéekl, ou oippareil anglais. Dans l'appareil orthogonal parallèle, répaisseur des voussoirs variant d'une assise à Tautre et même dans toute l'étendue c['une même assise, on est obligé de faire usage de moellons d'appareil. Pour rendre les constructions plus économiques, on remplace souvent les trajectoires orthogonales ^r dea lignes qui sont, sur le développement, des droites parallèles et équidistantes, de manière à donner la même épaisseur à tous les voussoirs. On est obligé d'avoir recours à cette disposition toutes les foia que les ii^atériaux dont on peut faire usage ont la même épaisseur; aussi ce système a-t-il pris naissance en Angle^ terre, où la brique est employée presque exclusivement Les droites que Ton substitue aux trajectoires donnent des hélices quand elles aont enroulées sur la douelle de la voftte, puisqu'elles font des angles égaux avee toutes les génératrices qu^elIes rencontrent. G -est de \k que vient le nom d'appareil hélicoïdal.

Après avoir divisé les tètea AB' et CD' en voussoirs (^^f. iti), on

ig. 121.

mène par le point L correspondant au sommet une perpendiculaire LM à la droite €D' qui joint les extrémités du développement CD', et

Ton adopte pour lignes d'assises des droites qui joignent les points de division des tètes, tout en s'écartant le moins d'être parallèles à LM . Ces lignes, qui sont à très-peu près équidistantes et parallèles entre elles, sont dessinées sur la figure pour la moitié de voûte située à droite de IL.

Si la voûte était surbaissée; si, par exemple, elle était limitée aux deux génératrices QR et PS, la directrice LM' se mènerait perpendiculaire à la droite qui joint les extrémités R et S du développement de Tare de tête, et les lignes d'assises se détermineraient d'après les conditions : qu'elles doivent joindre les points de division de RS à ceux de QP ; qu'elles doivent, autant que possible, être parallèles à LM ', et que celles qui partent des points R et P doivent aboutir à des points de division H et G symétriques sur les arcs de tête opposés. Ces lignes d'assises sont dessinées sur la figure i21 pour la partie à gauche de la génératrice IL.

Dans l£s voûtes surbaissées, les trajectoires orthogonales sont k peu près parallèles entre elles ; comme, de plus, la dKrectrice LM' est a peu près normale aux têtes, il en résulte que l'on peut substituer, sans inconvénient sensible, et avec de grands avantages, à cause de sa simplicité, l'appareil hélicoïdal à l'appareil orthogonal parallèle. Plus la voûte est surbaissée, plus la directrice LM' se rapproche des trajectoires orthogonales, et pour les plates-bandes elle se confond avec les trajectoires. Pour les voûtes en plein cintre ou en anse de panier, LM fait avec les têtes des angles qui s'éloignent beaucoup de l'angle droit ; aussi ne devrait-on appareiller ces voûtes d'après le système hélicoïdal que dans de certaines limites, a moins que l'on n'y soit obligé par la forme des matériaux.

Les joints d'assises venant rencontrer les naissances sous des angles très-aigus, on remédie à cet inconvénient à l'aide d'une crémaillère formée de coussinets qui font partie des sommiers de naissances, comme pour Tappareil orthogonal parallèle appliqué aux voûtes en arc de cercle (324).

Les divisions des assises en voussoirs se font par des droites perpendiculaires aux joints continus, d'où il résulte que, sauf sur les têtes, les voussoirs sont appareillés suivant des dngles droits. Les joints discontinus donnent encore des hélices quand ils sont enroulés sur la douelle, et ces hélices sont normales à celles qui forment les joints d'assises.

Les voussoirs de têtes se font en général en pierre de taille, et le reste de la voûte en petits matériaux; de sorte qu'à une assise de tête correspondent plusieurs assises en moellons ou en briques.

527. Appareil orthogonal convergent. Lorsque les plans de têtes AB, CD de la yotiie, Jîg. 122, au lieu d'être parallèles, se rencontrent suivant une droite verticale en Z, on suppose la voûte divisée en

zones par des plans verticaux qui convergent tous en Z. Dans chaque zone, on peut supposer que la plus grande compression a lieu suivant la ligne de plus petit diamètre, c'est-à-dire suivant la diagonale BE pour la zone ABFE. Supposant les zones infiniment petites, ces diagonales iront converger en Z, et Ton voit que les joints discontinus des voussoirs devront être déterminés par des plans verticaux passant par Z. Quant aux joints continus, ils devront être engendrés par une droite se mouvant en restant normale a la douelle de la voûte et en s'appuyant sur des trajectoires normales aux joints discontinus, ou mieux aux courbes déteruiinées par les plans verticaux passant par/.

C:t:l appareil, appelé appareil orthogonal convergent à cause de sa disposiiirtUt est employé pour les extrémités d'une voûte biaise d'uno gnuide longuRur, :l têtes parallèles, afin d'éviter l'appareil orthogoïKil, qui p^t toujours assez difficile, pour la plus grande longueur dp ta voûte. Xm Irllc voûte se compose de trois parties : une centrale, appareillée comme une voûte droite, et deux extrêmes, se raccordant avec la première, et disposées selon l'appareil orthogonal convergent.

Soit AB le plan de tête, et CD une section droite; appliquons l'appareil convergent a la portion de voûte ABDC.

D'abord les constructions graphiques développées au n* 321 s'appliquent encore ici powr obtenir les développements des sections convergentes, et tracer approximativement ceux des trajectoires, puis les projections horizontales et verticales de ces trajectoires.

Posons les équations qui permettront de tracer par points, sur le rabattement, les sections convergentes et les trajectoires orthogonales.

1" Cas où la courbe de tête est circulaire.

Prenant ici {Jig, 122), le développement de la section droite pour axe des y et CA pour axe des x, les équations d'une section convergente quelconque EF' sont :

x= (c -fr cos w cos a) tang y- (à)

s se mesure, comme au d<* 323, sur le développement de la Bectlon circulaire; ainsi, pour o =Aiq*, on a * = A^' = AQ.

c est la distance constante OZ. Pour rélëgance des raccordements de la partie biaise avec la partie droite, ii convient de prendre c tel que la plus petite génératrice BD du biais ne soit pas moindre que r ; ^ pour faciliter le calcul des formules, il cojivient de faire c égal à un mul^le de r.

Y est i'angle que fait la section convergente considérée avec la section droite.

a est l'angle de la section de tête avec ia section droite.

u a les mêmes significations qu'au n* 323.

Ainsi, le point Q', où la génératrice QR rencontre EF', s'obtient prenant

AQ= Aç'= wr, et RÛ'=2;= {e + r cos w cos «) tang y.

Pour Tare AB' de tête, Téquation {d) devient, en remarquant que pour cet arc y = a,

x = c tang a -f r cos 03 sin a. (c)

Les équations d'une trajectoire NM, partant du point quelconque N de la section droite, sont :

î=2r«x2,309ft85[j:~^logtangia)+logsin6>-^j:^

-f r sin' a (cos to— cos toj h^lcos w-f cos »o) . {g) i

LCOS a ' J

ctfo est la valeur de w gui correspond à la génératrice NP passant par le point N.

Pour ta=tûf^, on a

s = rw^ = Ap' = AP,

ce qui fournit la génératrice NP ;

la formule (g) donne x'=0, et l'on obtient, comme cela devait être, le point N de la trajectoire.

Pour w=Att7', on a

VOtîtES BIAISES. SH

S = tar = kq' = kQ.

Ge qiii pêrii[i«t de toettet» !a gédératricé QR, sur laquelle prenant RQ" =x' fourni jpar l'équation (^), on obtient le poihl Q" de la trajectoire partant de N.

Faisant varier co, on obtiendra autant de points que Ton voudra de la trajection NQ".

Opérant de même pour une autre valeur de Wq , on obtiendrait une antre trajectoik*e, et Ton voit qu*on pourra ainsi tracer autant de trajectoires qu'on voudra.

L'angle ©, que forme avec Taxe des x la tangente à la trajectoire au point V, est encore égal à Tangle que forme avec l'axe des y la tangente menée au point V k la section convergente EF' passant par V^ et l'bn a, o) prenant la valeur qui correspond à la génératrice qui contient le point V,

cos a tang Y sin w

Tang ip = ~—.-,^' if)

yl — sin*asin'o>

Sur l'arc de tête, Y=a, et cette formule devient

-, sin a sin w ,^.

Tang ? = — — -—=' (/i)

yl— sm'asîil* co

T Cas oit îàsectton droite est circutaire [fig. 123). Pour une section convergente quelconque EF', on a :

, fl: = (c-f-f cosw) tangy. (d')

Pig. i23

S se mesurant encore sur le développement delà section circulaire, on a dans ce cas * = y.

Pour «i) = COg', on a * = Cg'=CÛ, et prenant QO' égal a la valeur de X fournie par Téquation (d'), le point Q' appartient k EF'.

Pour Tare de tête AB', on a, en remarquant que y=« :

X = (c -f r cos w) tang a. {&}

Les équations d'une trajectoire NM partant d'un point quelconque N de la section droite sont :

«^=2r*x2,3DSI585r -Hogtangr w— logtang-too j flogsinu)— logsinwoj (^1

Que l'on appliquera comme au 1".

On a, dans ce cas,

Tang <p = tang y sinw. (f)

Sur l'arc de tête, cette formule devient

Tang 9 = tang a sin ta.

528. Substitution de paraboles aux trajectoires orthogonales dans Pappareil convergent. De même que pour simplifier les calculs et la construction on asubstitué, sur le développement, des lignes droites aux trajectoires dans le système orthogonal parallèle, ce qui a conduit à l'appareil hélicoïdal (326), on a cherché, dans l'appareil convergent, à remplacer les trajectoires orthogonales par des courbes plus simples, qui sont, sur le développement, des paraboles normales k la courbe de tète et k la section droite.

V Ca^ où la courbe de tête est circulaire {Jig. 124).

Toute parabole ayant son sommet sur Taxe des y et qui coupera normalement ÂB' satisfera k l'énoncé.

Soit MN une trajectoire déterminée en faisant usage de l'équation (g)y et soit Mn la parabole normale en M a AB' et ayant son sommet sur l'axe des y.

Prenant pour origine des axes le sommet w, l'équation de la parabole est [Introduction à la science de Vingénieur, 3* édition, n" 12221,

^=^py,

ou, en remplaçant le paramètre 2p en fonction des données de la voûte.

, 2i/4— sin*asin* w (c tang a4. r sin « cos w) a^ = Tfz — zîzr~. y* ^^J

sin a sin ta

Fig. iî4.

Le paramètre étant une quantité constante pour une même parabole, il faut que «» soit constant, co ne varie que d^une parabole à l'autre, et pour une parabole quelconque Mn, il faut prendre la valeur de ct> qui correspond au point M, où la parabole considérée rencontre la courbe de tète AB'.

Au point M, la trajectoire MN et la parabole Mn ont la même tangente MT, qui est déterminée par Téquation (/j).

Le sommet n de la parabole divisant la sous-tangente RT en deux parties égales, on pourra donc déterminer ce sommet. On a, du reste, pour cette détermination, en désignant par y^ l'ordonnée 7)R du point H,

__ (c tang g + r sin a cos &>) sin a sin eu

yr-

9is/i — sin" a sin* (I)

En doublant cette valeur do t/j on aurait la sous-tangente RT, et, par suite, la tangente MT.

Les tangentes déterminant les directions a* donner aux premiers éléments des trajectoires, il est aussi très-important de pouvoir les tracer facilement dans Tappareil orthogonale parallèle. Or, dans ce cas, en prenant BB' pour axe des y, on a

r sin* g sin <o (1 -f cos cd) 2^1 — sin- gsin'ûi

544 PREMIÈRE PARTIR. — MAÇONNEniE ET TERRASSE.

Cette formule s'applique à une parabole normale à AB' en H et qui a son sommet sur BB'; on Tobtient on faisant c=r cos a dans la formule (2).

Si l'on construisait, de distance en distance, dans toute l'étendue du développement, les trajectoires et les paraboles partant des mêmes points de la courbe de tête AB', on verrait qu'a la naissance AC l'écart Nn est maximum ; que cet écart va en diminuant progressivement, à mesure que N s'approche du centre N' de la voûte, et qu'en ce point même, n a pu passer k droite de N, pour venir en n', où il reste constamment jusqu'au point D'.

Au delà du centre, les distances Nn sont assez faibles pour qu'on puisse les négliger dans la pratique, et substituer sans modification les paraboles aux trajectoires; mais il n'en est pas de même a gauche , là, il convient de ramener les points n en N, sans que les paraboles cessent de rester normales à CD'. Il est évident que les nouvelles paraboles n'auront plus leur sommet sur Cy.

On peut supposer que, dans le déplacement de M'N' pour venir en MN, le chemin que parcourt le point n' par rapport au point N' est proportionnel au chemin que parcourt le point M par rapport au point M'. Il en résulte alors qu'en déterminant N/i pour un point voisin de C, et sa valeur — N'71' pour la position de N au centre N' de la voûte, n'N' + N« sera le parcours de n' par rapport à N', pour la distance M'M, et pour la trajectoire partant d'un point quelconque M", le parcours de n' sera

M 'If//

(n'N'+Nn)^^; ^ par suite, la distance NV sera

Connaissant le sommet n" de la parabole, pour avoir le point N*' de la trajectoire, point par lequel il faut faire passer la parabole qui doit remplacer celle M'V, il suffit de porter 8 à gauche de n" si sa valeur précédente est négative, et a droite si elle est positive.

On voit que pour avoir la valeur de B, il faut commencer par déterminer deux valeurs de Nn. Or la position du sommet n de la parabole dépend de la position du point M, ou plutôt de la valeur de w, et la valeur de w découle de celle de wq, c'est-à-dire de la position du point N; il en résulte qu'ayant fait choix du point N ou de l'angle w^, à l'aide de la formule (g)y on tracera, par points, la trajectoire NM, et l'on déterminera approximativement son point de rencontre M avec AB', et par suite la valeur de co qui correspond a M. On s*assu-

vera du reste que celte valeur de c^^est exaete, en vérifiant si elle dûime la même valeur pour x de la courbe AB' (formule c), et pour a/ de la trajectoire (formule g\. Ayant le point M, on a R ; la formule (S) donne y^^ c'est-a-dire R/i, et par suite on a N/i, que l'on peut mesurer sur l'épure, qu'on a soin de faire à O"",! pour mètre; à celte échelle, les résultats s'obtiennent facilement, et même plus exactement que «tti: une épure grandeur d'exécution.

Au lieu de calculer y,, on pourrait déterminer Fangle ç au moyen 4e la formule (/,), mener MT en faisant usage du rapporteur, et diviser TR en deux parties égales pour avoir le point n.

On pourrait déterminer Téquation de la nouvelle parabole M"N", et. Il Faide de cette équation, construire la courbe par points ; mais il est plus simple et suffisamment exact, pour faire ce tracé, d'avoir recours à la méthode suivante, très-souvent employée, surtout sur le terrain, pour raccorder deux alignements droits par une parabole qui leur soit tangente. La parabole est tangente à M"T" en M" et k la génératrice N"F' en N" [fig. 424 et 125). Menant alors M'T' en faisant usage de y^; puis N"P" après avoir déterminé le point N" comme il a été indiqué ci-dessus, oli divise i!' M" et i" N" en un même nombre de parties égales, et joignant les pointe obtenus de même rang, les droites qui en résultent sont tangentes à la parabole et permettent de la tracer avec une approximation suffisante pour la pratique, {hiiroducticm à la science de Vingê^ nieur, n' 4233.)

jfïarche à suivre dans la pratiqucy et paraboles définitivemeni (uiofitées pour lignes de joints. On fait, à l'échelle de 4 décimètre pour mètre, le développement AB'=îïr {fig, 424), et Ton divise AB' en autant de parties égales qu'il doit y avoir de voussoirs de tête; n étapt

\e pombre impair de voussoirs, chaque partie est égale à -« .

Il est bon de calculer la longueur l = CD' du développement de la section droite k l'aide de la formule (A) du n- 322. On divise alorç CD' en autant de parties égales qu'il doit y avoir de voussoirs dans la partie droite de la voûte ; ces voussoirs étant en moellons, ils n'ont que 0",25 environ suivant CD'. Comme la partie droite de \^ voûte est la plus importante, c'est surtout elle qu'il faut appareiller de la manière la plus économique et la plus régulière ; aussi ses voussoirs doivent-ils avoir, lej)lus exactement possible, la même

dimension suivant CD'; cette dimension est —„ n' étant le nombre

impair de voussoirs.

Flg.

Les paraboles de joints deç parties biaises de la voûte devant se raccorder sur CD' avec les joints de la partie droite, cette condition montre que Ton devra encore modifier les paraboles déterminées comme nous Tavons fait plus haut.

Les divisions des voussoirs étant marquées sur AB' et sur Ciy, pour CD, ^ 42" environ et o). = 90% on trace les trajectoires orthogonales NM et N'M' (formule g) : pour les points M et M', où ces trajectoires rencontrent AB', on détermine les valeurs de w, puis les longueurs des sous-tangentes RT et HT', qui sont égales à celles de 2^1 (formule 2). Prenant les milieux de ces sous-tangentes, on a les points n et n\ et, par suite, la variation n'N' -f Nn. k Faide de laquelle on pourra déterminer les points N" des trajectoires, connaissant les sommets n" des paraboles.

Pour tous les points de division de AB' on détermine les sou^tangentes 2yi des paraboles (formule 2), et on mène les tangentes M'T" en ces points. On prend les milieux n" de ces sous-tangentes, puis on détermine les déviations n"N". Si les points N" se trouvaient aux divisions de CD', on y ferait passer les paraboles partant des points M" ; mais comme il n'en est ainsi qu'exceptionnellement, on dévie encore les points N''^ pour les placer aux points de division de CD' qui sont les plus rapprochés, et c'est enfin par les nouveaux points obtenus que Ton fait passer les paraboles partant des points de division de AB', en appliquant toujours le procédé graphique de la fig. 125 , afin que les paraboles soient toujours normales k AB' et k CD', et que de plus elles se raccordent tangentiellement avec les joints continus de la partie droite de la voûte. La déviation des paraboles par rapport aux points N" sera au maximum de la moitié

d*un voussoir de la partie droite de la voûte , c'est4-dire ^, soit

0",125 si les voussoirs ont 0",25.

Les voussoirs de têtes étant seuls en pierre de taille , on les continue par des moellons, dont les joints continus intermédiaires k ceux des voussoirs de tètes sont des paraboles qui se raccordent également avec les jointe de la partie droite de la voûte. On trace ces paraboles intermédiaires comme les premières, en les espaçant également dans rétendue de chaque division EF de AB'.

2" Cas ou la section droite est circulaire (fig, 123). On suit la même marche qu'au 1"; il suffit seulement de substituer les équations du 2* du n" 327 k celles du 1^ du même numéro , et de modifier convena^ blement les équations relatives aux paraboles.

L'équation (1) de la parabole Mn devient

TOUTES BUISËS. 517

et celle (2) de rordonnée nR du point H de la parabole Un,

yi = ^{c-^rcosi»]) sin w tang\ (2')

formule à Taidede laquelle on pourra mener la tangente au point M, et déterminer Técart nN ; on trouvera de même Técart n'N' pour le point N' correspondant à (o, = 90° ; puis on continuera les opérations et les constructions comme au i°,

589. Remarques. Première. Dans le cas de Fappareil orthogonal parallèle, pour mener la tangente à la trajectoire en un point M de tête (fig. 117), on établira la formule (%') pour une parabole normale à ÂB' au point H, et qui a son sommet sur BB' considéré comme axe des y; ce qui revient k faire c=ir dans la formule {%% qui devient

yj = - rsintatang^a (1 H- cosia).

Deuxième. Ce qui vient d*étre dit relativement k l'appareil ortho* gonal convergent pourra s'appliquer aux ponts biais en arc de cercle et en anse de panier.

Troisième. Si Ton n'avait k sa disposition que des matériaux d*une épaisseur uniforme, et que la voûte fût très-longue, on pourrait appareiller les tètes AB , CD suivant le système hélicoïdal (326) , et le reste de la voûte comme une voûte droite. Les hélices feraient un angle avec les génératrices de la voûte droite ; mais on obvierait k cet inconvénient par une chaîne en pierre de taille placée k la rencontre des deux systèmes d'assises.

550. Exécution des voûtes biaises. Après avoir décrit les différentes dispositions de voûtes biaises généralement adoptées , et exposé les règles pour faire les épures d'ensemble et déterminer les dimensions essentielles de ces épures, il nous resterait, avant de passer k l'exécution proprement dite des voûtes biaises, k développer les diverses méthodes usitées pour appareiller et tailler les voussoirs; mais, outre que ces méthodes sont très-variables et en quelque sorte spéciales k chaque appareilleur, leur exposition entraînerait dans une abondance de détails qui sortirait du cadre de cet ouvrage. (Voir la 2* édition du Traité spécial de la coupe des pierres^ de P. J. Douliot, revue par F. M. Jay, J. Claudel et L. Barré).

Épure. L'exécution d'une voûte biaise nécessite toujours le tracé d'une épure grandeur d'exécution , k l'aide de laquelle on arrête la forme des panneaux de douelle, de lits et de joints pour la taille des pierres. Cette épure, dont il convient de vérifier les dimensions k l'aide des formules exposées précédemment, s'exécute k proximité du chantier de taille de la pierre, sur une aire en carreaux, en briques.

en plâtre ou en ciment, solidement établie , afin que les lignes qui y seront gravées restent visibles pendant toute la durée des travaux. Cette aire doit être assez grande pour contenir le tracé par rabattement de Tappareil des voussoirs de têtes, y compris le développement des douelles de ces voussoirs.

L'appàreilleûr qui doit diriger la taille de la pierre d*une toute biaise doitjoindre à une grande pratiqué une connaissance parfaite de la géométrie descriptive et de la stéréotomie ; c'est Itli qiii doit tracer tous les voussoirs aux ouvriers, si Ton veut ôbletiii' liri ttâvàii parfait, et il doit être assez habile pour qu'on n'ait à liiî donner que des indications générales. Du reste, aucune méthode pour le tracé des épures et rétablissement des panneaux n'étant encore générale, et chaque àppareilleur s'en étant ci'éé une qui lui est plus ou moins spéciale et qui lui donne d'excellents résultats, il èsl dlAcile de le guider dans les détails de son travail.

L'épure de taille de pierre fournit au chef ouvrier charpentier qui doit diriger l'exécution des cintres, les données principales qui lui sont nécessaires pour faire , de son côté , l'épure de son travail. Une bonne exécution des cintres étant un complément indispensable d'un bon appareil des matériaux devant former la voûte, le chefoo* vrier charpentier doitjoindre à une grande pratique de la taille Hes bois une parfaite connaissance du trait; son épure a peut-être autant d'influence sur la solidité de la voûte que celle de la taille de piem.

Mise en œuvre des cintres. La mise au levage dés cintres est/ comme pour toutes les voûtes en général, le travail qui précède Teiécution des maçonneries des voûtes biaises. Les premiers, et on pour* rait dire les principaux mouvements qui se manifestent dans ces sortes de voûtes , se produisant pendant leur constructioti sur le eintrë , c'est alors qu'on doit employer tous les mayens possiUes pour les éviter.

Eh outre de la contraction que les cintres éprouvent pendant la construction d'une voûte droite, par suite de la compression des bois , la poussée au vide d'une voûte biaise (316) tend k leur imprimer un mouvement de torsion, qui a pour effet de les rejeter en dehors des plans de tètes , du côté des angles obtus ^ et en dedans , du côté des angles aigus. Le même effet se produisant sur les voussoirs , ceuxci, en faisant sur eux-mêmes, et de haut en bas , utl mouvement de cotation autour d'une de leurs arêtes de douelle, tendent à se jeter en dehors des plans de têtes du côté des angles obtus, et en dedans du côté des angles aigus. C'est ce qui fait que, malgré toutes les précautions que l'on peut prendre, il est excessivement rare qu'on obtienne une tête de voûte biaise, d'une grande ouverture, paifaitement plane : il existe presque toujours un peu de rond du côté de l'aafle obtus, et de creux du côté de l'angle aigu.

VOUTES aiAlSES. 519

La tendance au dèTftrsement est peu à redouter vers Pangle aigu» à cause de la résistance que lui oppose Tensemble des cintres et la maçonnerie ; mais Ton doit prendre toutes les précautions possibles pour s'opposer au déversement du côté de Tangle obtus.

Ces précautions consistent principalement dans un parfait contreventement de toutes les fermes du cintre entre elles; elles doivent être reliées dans le sens perpendiculaire aux têtes, par des moises soigneusement assemblées et boulonnées. Il est même très-prudent de contre-butter les fermes de tètes en dehors, vers les angles obtus, au moyen de forts étais inclinés et solidement fixés au sol. Avec oes dispositions, les voûtes biaises du pont Mayou, a Bayonne, et eelles du t>ont de Croix-Daurade, k Toulouse, n'ont éprouvé aucun mouvement.

Quand^n craint qu'il se produise quelque mouvement dans les Toussoirs de tètes, on relie deux à deux les quatre ou cinq premiers ▼oussoirs, au moyen de goujons et de crampons d'amarre, scellés dans leurs extrados et dans le massif des piles ou des culées. Les deux premiers voussoirs des angles obtus se font même, autant que possible, d'un seul bloc de pierre, afin de ne pas les réduire à une trop faible dimension de ((ueue, et de ne pas les terminer en pointe dans rintérleur de la voûte.

Les fermes des cintres étant levées et consolidées, on procède a la pose dés couchis, que Ton a soin de bien fixer sur chaque ferme, au moyen de fortes pointes, de manière à les faire servir au contrevenu tement. On donne à quelques couchis assez de longueur pour qu'ils fassent saillie de O^fOS au moins sur les plans de tètes, afin que la position des arcs de tètes puisse y être tracée; mais on doit éviter de faire saillir tous les couchis, car on éprouverait des difiicultés pour tendre les cordeaux servant à poser les faces des voussoirs dans les plans de tètes*

Le plus souvent, au lieu de mettre les couchis jointifs, ce qui nécessite un travail assez long pour les dresser suivant la courbure d'intrados de la voûte, et occasionne un fort déchet de bois, on les espace tant vides que pleins, et l'on recouvre le tout de planches posées transversalement et clouées sur les couchis. Ces planches prennent parfaitement la courbure de la voûte et forment une surface d'intrados bien continue.

Si l'on tenait ii une extrême précision dans le dressage de la douelle, on pourrait placer les couchis bruts et jointifs, et les recouvrir d'une aire en plâtre, que Ton dresserait parfaitement, en se guidant pour cela avec une règle que Ton ferait glisser, en la dirigeant suivant les génératrices de la douelle, sur deux nus faits au droit des arêtes des tètes avec des cerces relevées sur l'épure. .

Quand les voussoirs de tètes doivent faire bossage sur l'intrados, on

est obligé d*entailler les couchis» dans toute retendue de ces toussoirs, d'une quantité égaie a ]a saillie des bossages, h moins de racheter cette saillie en surélevant le cintre entre les tètes, k Taide d'une ou deux épaisseurs de planches minces.

Mise en asvcore des matériaux de la voûte. Les règles que nous avons indiquées aux n** iS3 et 292 doivent être rigoureusement observées, car si la liaison des matériaux et la parfaite cohésion da mortier sont nécessaires lorsqu'il s'agit de murs ou de voûtes droites, dans lesquels les maçonneries n'ont k résister qu'k des efforts de compression, Ton conçoit qu'elles sont surtout indispensables pour les voûtes biaises, dans lesquelles la maçonnerie résiste non-seulement k un effort de compression, mais aussi k un effort de traction ou mieux de flexion, par suite de l'effet de tension dû k la poussée au vide. On obtient une grande solidité pour ces voûtes, par un appareil produisant une parfaite répartition des diverses actions et un enchevêtrement convenable des matériaux, et en faisant usage de bons mortiers.

Quand le cintrage est terminé, on fixe verticalement sur chaque tète, au droit des naissances, deux règles ou deux montants; d'un montant k Tautre, k la hauteur de Fextrados et dans le plan de chaque tète, on tend un cordeau ou mieux un fil de fer; k l'aide d*un fil k plomb on descend une série de points de ce cordeau sur les couchis ; avec une règle flexible on réunit les points obtenus, et la ligne qui en résulte indique la position de Tarète de la douelle ; c'est suivant cette ligne que l'on doit poser les arêtes extrêmes des voussoirs de tètes. On a soin de tracer cette ligne sur le cintre avec de la pierre noire, ou mieux avec de la peinture noire ou rouge k l'aide d'un petit pinceau.

Il est urgent que les règles ou montants servant k tendre les lignes de tètes soient fixés sur les murs pieds-droits, et tout k fait indépendants des cintres, afin qu'ils ne participent pas aux mouvements que pourront prendre ces cintres. Il est même indispensable de vérifier, de temps k autre, pendant la construction de la voûte, si les lignes d'arêtes des tèles ne se sont pas altérées par suite d'une flexion des couchis ou d'un mouvement du cintre, et de la rectifier s'il y a lieu.

Avant de commencer la pose, il est touj ours nécessaire, comme pour les voûtes droites, de charger les cintres k leur sommet. On a soin de disposer les matériaux de chargement parallèlement aux génératrices, afin d'en reporter uniformément le poids sur le sommet des cintres.

La position des tètes étant bien arrêtée, on commence k poser les pierres d'appareil, en donnant k chacune la place qu'elle doit occuper sur le cintre» où la moindre erreur de coupe est facilement re-

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connue. Une taille bien faite ne doit pas être appliquée seulement a la douelle et aux parements vus ; car les joints continus et ceux discontinus doivent être taillés parfaitement suivant les coupes, afin qu^on obtienne lors de la pose des épaisseurs égales et régulières, tant à rintrados qu'à l'extrados. Tout écart de cette condition essentielle est nuisible k la solidité ; cependant on peut remédier en partie au défaut de taille des joints par un garnissage en éclats très-durs posés avec du mortier h. prise énergique, tel que celui de ciment romain.

Chacun des voussoirs taillés porte la marque d'appareil et le numéro d'ordre du calpin de l'appareilleur. Ce chef ouvrier donne, au fur et k mesure» au poseur toutes les indications nécessaires pour poser chaque voussoir a l'endroit qui lui est assigné sur l'épure.

La pose des crémaillères ou crossettes de naissances se fait d'abord, en commençant par les pierres extrêmes, qui contiennent ordinairement, pour chaque tète, la première retombée de la voûte, c'est-àdire le premier voussoir. On pose ensuite les voussoirs voisins de tètes et la maçonnerie en pierre, moellons ou briques formant le complément correspondant de douelle ; puis les voussoirs suivants de tètes et la maçonnerie intermédiaire, et ainsi de suite, en ayant soin de faire avancer la maçonnerie successivement et également de chaque côté à partir des naissances; d'où il résulte que chaque dernière bande posée se termine suivant une ligne a redans, dont les sommets sont sur une parallèle aux naissances, c'est-a-dire sur une génératrice. Cet avancement des assises, symétriquement de chaque côté de la voûte et parallèlement aux génératrices, doit être rigoureusement observé, afin de reporter également le poids de la voûte de chaque côté du cintre, et d'éviter ainsi les accidents qui surviennent très^souvent quand on fait avancer les maçonneries suivant la direction des joints continus. Par cette dernière manière d'opérer, la forte charge due au remplissage triangulaire fait du côté des angles obtus occasionne un mouvement de torsion dans le cintre, et il en résulte presque toujours un déversement des tètes, surtout quand les cintres n'ont pas été convenablement contre-buttès du côté de l'extérieur.

Avant de commencer la pose des voussoirs, on reporte sur le cintre la division des arcs de tètes qui a été faite sur l'épure, en marquant sur chaque tête l'emplacement de chaque voussoir, et l'on trace également sur le cintre, a l'aide de cordeaux ou de règles minces, les joints continus et discontinus, conformément à l'épure, c'est-à-dire suivant la direction et la forme qui leur sont assignées par le mode d'appareil adopté.

Afin de parer aux modifications de courbure dues au tassement que peut subir le cintre, on a soin de ne tailler la clef et les contreclefs que quand tout le reste de la voûte est posé, et, afin de leur

donner plus sûrement les dimensions convenables, 11 est même prudent de relever exactement le développement de remplacement qu'elles doivent occuper.

Emploi du mortier de ciment romain dans les voûtes hidises, — Les difficultés d'appareil des voûtes biaises peuvent être en partie et même entièrement évitées, en substituant k la pierre de taille une maçonnerie de petits matériaux (meulières, moellons ou briques), posés avec du mortier de ciment romain. Ce mortier, par suite du degré de dureté et de cohésion qu'il prend immédiatement, réunit les matériaux et forme de toute la voûte une espèce de monolithe qui résiste suffisamment a la poussée au vide.

Pour ces voûtes biaises en petits matériaux, on peut, comme on Fa fait pour la voûte droite du Pont-aux-Doubles (292), construire le tout en moellons ou en briques, et couvrir les parërriénts Vus d'uii revêtement en ciment dans lequel on figure un appareil de joints ou de bossages. Dans ce cas très-simple, on n'a pas k feîre d'autre épure qne celle nécessaire à la taille du cintre, et la seule précaution k prendre pour la pose des matériaux consiste k mener la construction par rangs hélicoïdaux, plus ou moins larges, arrêtés dans leur longueur par redans suivant la direction des génératrices de la voûte.

On peut encore construire une voûte biaise en pierre de taille pour les crémaillères et les voussoirs de têtes, et en matériaux bruts et ciment romain pour le reste. Dans ce cas l'épure est k peu près la même que si toute la voûte devait être en pierre appareillée, bien qu'elle ne se détaille que pour les crémaillères et les voussoirs de^ têtes. Le remplissage de la douelle se fait en suivant la même marche que quand toute la voûte est en petits matériaux, mais en ayant soin de bien relier les joints des pierres de taille avec le massif en petits matériaux par un bon garnissage en mortier de ciment. Les joints des voussoirs de têtes et des crémaillères doivent aussi être remplis avec du mortier de ciment romain.

En faisant usage du ciment Gariel, ce dernier modk de construbtion a donné, tant sous le rapport de la solidité que sous celui de Téconomie, les meilleurs résultats, pour :

4* Le pont Mayou, k Bayonne, formé de trois voûtes en afc de cercle, dont les tètes sont en pierre de grès des carrières de la Rhune, près Ascain, et le complément, y compris même les crémaillères, en moellons bruts de Bidache, revêtus d'un enduit en ciitient sur le parement vu. Le biais est de 55 degrés; la larjîeur entre les têtes, suivant les génératrices, Ig^^OQ ; rouverlure, suivant le biais, 18 mètres pour la voûte du milieu et i6",50 pour celles des rives ; la flèche, 1",85 pour la voûte du milieu et 4",65 pou^ les deux autres, et l'épaisseur, suivant la section droite, 0*,84 ; cette épaisseur est constante de la clef aux naissances.

2* Le pont de Montaudran, près Toulouse (chemin de fer du Midi), formé d'une vofiite en arc de cercle dont les têtes sont en pierre de taille de Villegly, et le complément en briques du modèle de Toulouse (46). Le biais est de 60<^5'; la largeur entre les tètes, suivant l'axe du pont, 8 mètres; l'ouverture, suivant le biais, 20",79; la flèche, 2",57; Tépaisseur, suivant la section droite, 0",90 èi la clef et i mètre aux naissances.

3" Le pont de Croix-Daurade, près Toulouse, formé d'une voûte a section droite en anse de panier à cinq cintres, dont les tètes sont en pierrç taille de Villegly et le complément en briques du modèle de Toulouse. Le biais est de 70** ; la largeur entre les télés, perpendiculairement a ces tètes, 9 mètres ; l'ouverture, suivant le biais, 19',i55; la montée,6 mètres, et l'épaisseur, suivant la section droite, 0",85; cette épaisseur est constante depuis la clef jusqu'aux naissances.