CHAPITRE VII
$ 4. — Variation du trinôme du second degré.
295. — Remarques préliminaires. — Nous avons déjà remarqué (n° 68) que de deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue.
En d’autres termes, lorsqu'un nombre négatif croit, sa valeur absolue décroit.
Ceci dit, remarquons d'autre part que si a et b sont des nombres positifs, arithmétiques, et si a > b, on a a? > b2.
En d’autres termes, lorsqu'un nombre positif augmente, son carré augmente.
On peut l’établir, avec précision, de la façon suivante :
Pour prouver que a? >> b? il faut prouver que a? — b? est positif.
Or (n° 52) on à :
Et ainsi on voit que a? —b? est bien positif puisque c’est le produif de deux nombres positifs, à savoir : 4 —b par hypothèse, puisque a > b, et a + b parce que a et b sont positifs.
296. — Variation de la fonction y —x?. — Soit x une quantité variable susceptible de prendre toutes les valeurs possibles de — æ à + æ, æ est ce que nous avons appelé (n° 206) une variable indépendante, et étudions la variation de son carré æ?.
Le carré d’un nombre est le même que le carré de sa valeur absolue et comme, d’ailleurs, d'après la remarque faite plus haut, le carré de la valeur absolue varie dans le même sens que cette valeur absolue, on peut dire que :
264 PRÉCIS D’ALGÉBRE.
Le carré d'un nombre algébrique varie dans le même sens que sa valeur absolue.
Faisons alors croître &æ de — (valeur négative excessivement grande en valeur absolue) jusqu'à + (valeur positive excessivement grande).
Lorsque la valeur absolue de æ est excessivement grande, son carré æ? est également excessivement grand; car le carré d’un nombre positif plus grand que r est plus grand que ce nombre.
Par suite, lorsque æ& croît de — % à o, comme x est négatif, sa valeur absolue décroit de + œ à o, donc son carré x? décroît de + à o.
Ensuite, lorsque x croît de o à + c, comme il est positif, son carré x? croît de o à + ce.
En résumé, la fonction y = x :
est DÉCROISSANTE dans l'intervalle (— , 0), et CROISSANTE dans l'intervalle (0, + c).
Pour +=, elle prend la plus petite valeur qu’elle puisse
prendre; on dit alors que pour æ —o elle est minima et que la valeur o qu’elle prend pour x — 0 est un minimum.
Tout ceci se résume dans le tableau æ y ci-joint, qu'il faut lire dehautenbas: 7
