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21.— Convention. — Tout nombre positif est égal à sa valeur absolue.

Cette convention, comme nous le verrons dans la suite, n'introduira aucune contradiction. Grâce à elle, les nombres positifs sont identiques aux nombres arithmétiques. Les seuls nombres nouveaux sont donc les nombres négatifs.

22. — Égalité. — Deux nombrés algébriques sont dits égaux lorsqu'ils ont même valeur absolne et même signe. Dans le cas contraire, ils sont dits inégaux.

On emploie les signes habituels — (égal), et -£ (inégal). 23. — Deux nombres algébriques sont dits opposés lorsqu'ils ont même valeur absolue et des signes contraires.

Ainsi : + 3 et —3, + et——

à 3. — Addition et Soustraction.

24. — Somme de deux nombres. — Étant donnés deux nombres algébriques, on appelle somme de ces deux nombres le nombre obtenu de la façon suivante :

1° Si les deux nombres sont de même signe on fait la somme arithmétique des valeurs absolues et on lui donne le signe commun des deux nombres.

2° Si les deux nombres sont de signes contraires, on fait la différence arithmétique des valeurs absolues et on lui donne le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue. Dans le cas particulier où les deux nombres sont opposés, leur somme est 0. ;

3° Si l'un des deux nombres est 0, la somme est égale à l’autre.

Nous emploierons pour désigner la somme le signe

ordinaire +, mais pour ne pas faire de confusions, nous aurons soin de placer chaque nombre et son signe entre parenthèses.

Ainsi : (+3)+(+2)=+5, (+3)+(—2)=+:1, (—3)+(+2)—=—:1, (—3)+(—2)——5,

(— 3) + MES 25. — Somme de plusieurs nombres. — Étant

donnés plusieurs nombres, pour faire leur somme :

1° Si tous ces nombres sont de même signe, on fait la somme arithmétique des valeurs absolues et on lui donne le signe commun de tous ces nombres.

2° Si tous les nombres ne sont pas de même signe, on fait, séparément, la somme de tous les nombres positifs et celle de tous les nombres négatifs, et on ajoute, d’après la règle du n° 24, les deux nombres, l’un positif, l'autre négatif, ainsi obtenus.

Par exemple,

26. — Simplification d'écriture. — Lorsque les nombres qu'il s’agit d'ajouter ne sont pas représentés par des lettres, on se contente, pour indiquer leur somme de les écrire à la suite les uns des autres.

Ainsi, au lieu d'écrire :

Ab eee) on écrit, plus simplement, de même 4) + (5) + (2) RS), (5,19) PO) TA ÉESIEESS, — + 15 — 10 + 2 — 3 — 8.

Lorsque le premier nombre écrit est positif, on peut même suppri-

mer le signe + qui le précède puisque ce nombre est égal à sa valeur absolue.

On écrira donc ainsi les sommes précédentes :

4—5—2+3 et 15— 10 + 2 —3—8.

27. — Remarque importante. — De la simplification d'écriture qui précède il résulte qu’une même expression peut avoir deux sens: l’un arithmétique, l'autre algébrique. Il est facile de voir que ceci ne conduit à aucune contradiction.

Ainsi l'expression

15— 10 +2—3 peut être considérée à volonté comme définie en arithmétique ou en algèbre.

Au point de vue arithmétique, elle indique que de 15 on retranche 10, qu'au résultat on ajoute 2 et que de ce dernier on retranche 3.

Au point de vue algébrique, elle indique la somme des quatre nombres + 15,— 10, + 2, —3.

Quelle que soit la manière d'envisager cette expression, Ie résultat est toujours le même. Car, dans les deux cas, elle est égale à l’excès de la somme des valeurs absolues des nombres positifs sur la somme des valeurs absolues des nombres négatifs. C’est 17 — 13 —4.

28. — Recettes et dépenses. — Supposons qu'une personne ait fait un certain nombre de recettes et un certain nombre de dépenses. Il est clair que pour avoir le résultat final des opérations il suffira d’abord de faire la somme de toutes les recettes : ce sera la recette totale ; ensuite la somme des dépenses : ce qui sera la dépense totale. On fera ensuite la différence des deux sommes. Si la recette totale est plus grande que la dépense totale, cette différence sera une recelte; si au contraire c’est la dépense qui est la plus grande, la différence sera une dépense.

Or, si on convient d’affecter toutes les recettes du signe

+ et les dépenses du signe —, les opérations précédentes fournissent précisément la somme des nombres algébriques en question. Le signe du résultat indique sa nature.

Donc, pour obtenir le bilan d'un certain nombre de recettes et de dépenses, il suffit d'affecter les recettes du signe + el les dépenses du signe — et de faire la somme de ces nombres algébriques.

PROBLÈME I. — Un commercant a, successivement, vendu une pièce de drap pour 125 francs et une autre pour 242 francs ; acheté une pièce pour 175 francs, qu'il a revendue pour 218 francs; puis acheté une pièce de drap de 98 francs.

Le bilan du commerçant est donc :

c'est-à-dire que le marchand a encaissé 312 francs.

/ PROBLÈME II. — Supposons qu'une personne ait : 1° payé 25190 ; 2° recu: 17/';40 13 PAUÉ LD fTANCSS VAGUE 5° payé 8",70.

Le bilan des opérations est :

Le résultat est négatif. La personne a donc finalement déboursé 38",40.

Nous voyons bien ici, comme nous l'avions annoncé au n° 45, qu'au lieu d’être forcé de raisonner à part dans chaque cas et d’avoir, chaque fois, une fofmule nouvelle, nous n'avons plus qu'une seule formule, une seule règle, honne pour fous les cas.

29. — Distances. — Un voyageur se déplace sur la route de Paris à Dijon. Chaque fois qu'il marche de Paris vers Dijon, sa distance à Paris augmente; chaque fois qu'il va en sens inverse, de Dijon vers Paris, sa distance à Paris diminue.

On est donc conduit à considérer toutes les distances

parcourues dans le premier sens comme posilives, puisqu'il faut les ajouter pour obtenir la distance à laquelle le voyageur se trouve éloigné de Paris; et à considérer les distances parcourues en sens contraire comme négatives, puisqu'il faut les retrancher.

30. — PROBLÈME. — Un voyageur part de Paris et va à Dijon, qui est à 315 kilomètres de Paris. Il rewient de Dijon à Joigny qui est à 169 kilomètres de Dijon. Il retourne vers Dijon et s'arrête à Tonnerre après avoir fait 31 kilomètres. À quelle distance de Paris se trouve-t-il alors ?

D'après ce qui précède, les distances parcourues dans le sens Paris-Dijon doivent être prises avec le signe (+) ; celle parcourue dans le sens opposé doit être prise avec le signe (—). La distance cherchée est la somme algébrique des distances partielles. C’est donc :

(+ 315) + (— 169) + (+31) —= 315 — 169 + 31 — 177 kilomètres.

31. — Théorème. — Dans une somme de nombres algébriques, on peut interveriir l'ordre des termes.

Ceci résulte immédiatement de la définition du n° 25,et de ce que la proposition est vraie en arithmétique, car rien, dans cette définition, n'indique l'ordre dans lequel sont écrits les termes.

Ainsi :

4—bD+3—2 — —5—-2 +443 — 4—2— 5 +3,

32. — Théorème. — Dans une somme de nombres algébriques, on peut remplacer plusieurs termes par leur somme effectuée.

C’est évident lorsque tous les nombres dont on fait la somme sont de même signe, puisque la proposition est vraie en arithmétique.

On peut justifier la proposition en raisonnant sur des recettes et dépenses. Voici comment :

À une premiere personne Paul a payé 83 francs etena reçu 52 francs: d’une seconde personne Paul a reçu d’abord 42 francs, puis 37 francs

et 1l Lui a payé 115 francs; enfin à une troisième personne, Paul a payé 29 francs et en a reçu 95 francs.

Le bilan de Paul est :

Mais pour établir ce bilan, nous pouvons raisonner autrement et nous

pouvons chercher séparément le résultat des opérations de Paul avec chacune des trois personnes.

Première personne : — 83 + 52 — — 31, Deuxième personne : ++ 42 + 37 — 115 — — 536, Troisième personne : — 29 + 95 — + 66.

On peut donc dire que Paul a payé 31 francs à la première personne, pavé 36 francs à la seconde et reçu 66 francs de la troisième. Son bilan est donc aussi — 31 — 36 + 66, et ceci revient à remplacer dans la première somme

— 83 + 52, +42+37— 115 et — 29 + 95 par les sommes effectuées.

‘n employant les parenthèses {n° 6) on peut donc écrire :

33. — Soustraction. — Retrancher un nombre b d'un nombre a c'est trouver un troisième nombre qui, ajouté à b, donne une somme égale à a.

Ainsi on a: (— 7) +(+8) = +7.

Donc + 8 est la différence de + 1 et de — 7 puisque en ajoutant + 8 à — 7 on trouve + 1.

34. — On indique une soustraction par le signe —, comme en arithmétique ; mais pour éviter des confusions on place les nombres avec leurs signes entre parenthèses.

Ainsi nous écrivons