APR

Le nombre e = 2,7 1828 1828 459045..., est, avec ir, rapport de la circonférence au diamètre, le nombre incommensurable qui se présente le plus souvent en Analyse et en Géométrie. On peut le définir par l'une ou Tautre des égalités :

9 W «^ oo;

= lim(l-*--)

Lim = 1> a = 0.

Le P. V. de Riccati, S. J. (1707-1775) aformé, au moyen du nombre e, certaines expressions, àii^s fonctions hyperboliques, qui jouissent de propriétés semblables à celles des fonctions circulaires sinus, cosinus, tangente, etc. ^mais plus faciles à établir. Plusieurs géomètres du XYIII" et du XIX* siècle (entre autres, Moivre, de Foncenex, Lambert, Euler, GuDERiiANN, Grassmann, Lamé, Forti, Gronau, Hoûbl, Laisant, Gûnther), qui ont employé consciemment ou inconsciemment les fonctions hyperboliques I ont fait ressortir l'utilité des notations de Riccati,

On peut expliquer la similitude des propriétés des fonctions hyperboliques et des fonctions circulaires en partant de Tanalogie qui existe entre le cercle et Thyperbole équilatère, ou bien en comparant les développements en série de ces deux espèces de fonctions.

Mais l'exposé des propriétés des fonctions hyperboliques ne dépend en rien de cette explication et peut se faire, au moyen de l'algèbre élémentaire, sans recourir ni à Thyperbole équilatère, ni aux séries.

C'est ce que nous montrons dans le présent opuscule, où nous exposons sommairement les principes fondamentaux de la théorie de ces fonctions.

Ce Précis doit être regardé comme une introduction aux ouvrages intitulés : 1. Die Lehre von den gewôhnlichen und verallgemeinerten Hyperlelfunktionen theilweise airf Cfrund /reier Bearheitung von Laisant's cessai sur les fonctions hyperboliques » und Forti's t Tavole logaritmiche » dargestelU von D' Siegm. Gunther, Professer am Gymnasium zu Ansbach, etc. (Halle a/S, Nebert, 1881. Un volume in-S" de X-440 pages). 2. Théorie der PotenziaU oder cyclisch-hyperholisclien Functionen von D' C. GuDERMANN, Profcssor der Mathematik an der Akadeniie zu Munster. Mit einer Kupfertafel (Berlin, 1833, G. Reimer. Un volume in-4'» de X-354 pages dont 196 de Tables).

Puisse ce petit écrit contribuer à faire connaître davantage le précieux instrument analytique inventé par Riccati, il y a plus d'un siècle, et si peu employé encore (*).

(*) A l'Université de Gand, nous proposons chaque année comme exercice ^ aux élèves de PÉcole du Génie Civil, la démonstration des propriétés établies § I. Au bout d'une semaine, les fonctions hyperboliques leur sont aussi familières que les fonctions circulaires.