Propriétés immédiates de ces fonctions. On a évidemment
e'^Cht-i-Sht, er'^Cht — Sht,
Séch^«-^, Coséch^ — r;^, Coth^ = -— -. (i)
Ch ^ Sh ^ Tn ^
A cause des trois dernières relations, on peut se borner, en général, dans les fonctions hyperboliques, à étudier les fonctions Ch^, Sh/, Th^. On a ensuite
Ch«/ — Sh*^ = (Ch^-+- Slit)(Cht — Sht)=>e' X e-'=l.
En divisant cette égalité par Ch* t, ou Sh* t, on en déduit les relations
1 = Th« ^ -»- Séch* <, 1 = Coth* / — Coséch* t.
La première peut s'écrire
Ch»^=- ?-— .
1 — Th* <
ou, en remarquant que Ch t est toujours positif ,
Ch< =
^/I— Th*<
(*) Dans une théorie purement géométrique des fonctions hyperboliques, il serait plus naturel de poser
Coséch i = ' .
On a ensuite
Sh^=Ch^Th< = -
Désormais, nous supprimerons le signe + devant les radicaux pris positivement; et tout radical carré pris dans son sens général, sera précédé du signe d= .
8. Fonctions hyperboliques paires ou impaires. On appelle, comme l'on sait, fonction paire d'une variable <, une fonction qui ne change pas de valeur, quand on remplace i par — t; fonction impaire une fonction qui change de signe sans changer de valeur absolue, quand on remplace t par — ^. On a
Ch(— <) = 4 («-'-*.«-<-«) = i(<-' -4- e') = Ch<;Séch (—0 = Séch^; Sh(— 0=K«"'— ^"^"O^^îC^^'— ^')=— Sh^,Coséch(— t) = Coséch<;
Th (— ^) = — Th <; Coth (— t) = Coth i.
Donc, Ch t, Séch t sont des fonctions paires; Sh ^, Th t, Coth^, Coséch^, des fonctions impaires.
4. Marche des fondions hyperboliques Sh <, Ch t, Th t. D'après le n* précédent, il sufttt de voir comment ces fonctions varient quand t croît de à 00 ; car si l'on change le signe de t^ Ch t reste invariable, Sh t et Th t ne font que changer de signe en gardant la môme valeur absolue.
La fonction
est la différence de deux quantités qui sont égales pour /«O; pourif croissant, la première croît et la seconde décroît indéfiniment. Donc Sh^ va en augmentant de à oo , en même temps que la variable. Quand t croît de à x , la fonction
Ch^=|/l-*-Sh»<
croît de 1 à 00 , en même temps que Sh < de à oo; et la fonction
e' -*- e • 1 -♦- 1 pour t croissant de à oo , croît évidemment de à 1.
Remarque. On a, à peu près, e* = 20. A partir d'une valeur assez peu élevée de t^ pour ^ «= 15 par exemple, e'^ est très petit, moindre que -^^i^^, et Ton a approximativement,
Ch^^Sh^ — îe*, Th^ = l.
5. Formules donnant Sh (tàzu), Ch (i db «), Th (^ d= «]. On a
Sh tChu = {{e^ — $-') X n«* ■*■ ^) = i (^"*^ -*- «*"• — r-*+» — «-*-*)
D'où, par addition,
Sh ^ Ch » -4- Sh« Ch < = A (eH-- ^i-^) = Sh (< h- u).
On trouve, de même,
Ch (^ H- «) » Oh ^Ch If + Sh ^Sh «.
On déduit de là
ShigCh«-4-ShyCh<
^ ' "" Ch ^Ch f* H- Sh f*Sh <•
ou, en divisant numérateur et dénominateur par Oh « Ch t,
^ ,^ , Th < -♦- Th »
V» ^) i-HTh^Th»
En changeant le signe de u dans les trois formules, on obtient
Sh(^ — «)»Sh^Ch« — ShwCh^, Oh [t — u) = Ch ^Ch » — Sh <Sh»,
Th < — Th «
Th (t — u) = — — •
^ ' 1 — Th^Th»
6. Duplication. Faisant u^^t dans les trois premières formules, nous obtiendrons
2Th4
Ch 2/ = Ch« < H- Sh« ^, Sh2^ = 2Sh<Ch^ Th2^
l-*-Th«< La première de ces relations, combinée avec 1 = Ch*^ — Sh*^, donne
^,, , Ch 2/ -♦- i ^, , /Ch2m Ch*<=» — , Ch^ =-♦-%/ — — f
„,,, Ch2<— 1 „^ /Ch2^— 1
Sh« t = ' . Sh t
— ^ïii-:
On prendra le signe -^ ou l,e signe —, suivant que t est positif ou négatif. En remplaçant 2t par /, on peut écrire aussi
y. Sommes et différences de Ch et Sh transformées en produit. On déduit aisément des formules du n° 5
Sh {t ^ u) -^ Sh (t — u) ^2Sht Ch «, Sh (t-^u)-^Sh{t — u)^2ShuCht, Ch {t-^u) -^ Ch(t — u) = 2ChtChu, Ch(<^ï*)-Ch(^ — «)c»2Sh/Sh«.
Posons t -^ u = mt t — u^n, ce qui entraine
Les formules précédentes deviendront
Sh «t + Sh « - 2 Sh ^^:^ Ch ^^zJî ,
Sh «I - Sh « = 2 Sh ^î^ Ch ^!i:î::f ,
Ch « -t- Ch « = 2Chî^:^ Ch ^^"
Chi»^Ch« = 2Sh^ll3J!sh
En divisant la première de ces relations par la troisième, on trouve
Shfn-i-Shn g^-^^»Thi(«n-n).
S. Expression des fondions hyperboliques au moyen des fonctions circulairei. Posons
Chifcose = l, (1)
e étant un angle compris entre — 90« et -♦- 90» et de même signe que t. Cet angle est appelé amplitude hyperbolique de t et représenté, en abrégé, par la notation Amh t.
On déduit aisément de (1)
Ch^ = séc0, Séch< = oos9,
Sh/«=tattg0^ Coséch ^ = cot 0, (2)
Th<«=«ne, Coth ^ — coséc 0,
pais le théorifne de Zaisant, savoir :
Th
I / Cht — l / 8éc9 — 1 ^ /T
«^"^ V Ch^-^.1"" V séc9-f-l"" V 1
— cosô
On ft» ensuite,
(5i = Ch/-4-Shi^ =
