AV
On prend pour A, Tune quelconque des trois valeurs du radical cubique. Dans le cas où ^ et r sont réels, on peut exprimer les racines au moyen des fonctions hyperboliques ou des fonctions circulaires. Nous
laissons de côté le cas où-r + ~-= : dans cette hypothèse, Téquation
a des racines égales, et Ton a
3f Sr
Premier cas principal : -j -^^poeitif. I. q positif. Posons : On aura
ij^ i j^
A « ^p (Sh i^ï^hlj = ^pe* = p»«», B == ^ pV"" »,
U =« 2p» Sh 5 , jp. « — p» Sh - -4- / — 3p» Ch- ,
«, = — p»Sh~/^^p»Ch-.
IL j" négatifs r négatif. Posons
-g = pCW. Y/- + ^ = pSh<.
On aura
1 < If
2;i«=2p»Ch|, 2;«=--.p»Ch| + t/"I^p»Sh4
^,« — p»Chg~|/— 3p»Sh- III. ; n^ai\fi r positif. Posons
pCh^ y/--^^ = pSh<.
On aura
12, = - 2p"» Ch- , ^ == p» Chi -H |/^^ p»"Sh| f
i2!5 = p»Ch5— /— 3p»Sh|
DeumUna cas principal : -j--^ hj^ÇO'W' Posons
On aura
A = K p(cos9 -4- 1/— 1 sin 6) -= p' ( cos- -*- (/—Isin- j,
B = p» ^cos - — |/"^ sin- Y
«!4=»2p»cos-, 2:f = — p«f oos^-H |/3sin- h
jjj s= — p8/ cos- — |/3sin- 1-
Les deux dernières racines peuvent encore s'écrire
oï ô-+-27r ^1 9 — 27r
fj, = 2 p'cos — - — , jîs = 2 p» cos — - — .
90. Propriétés de Vhyperhole. Dans un grand nombre de cas, il j a avantage à remplacer Téquation habituelle de Tellipse.
par les équations simultanées, où 9 est on angle auxiliafre,
a; =r a cos G, y = Jsin0.
De même, pour étudier Thyperbole ayant pour équation
il est parfois utile de poser, pour la demi-hyperbole de droite,
a? = a Ch ^, y = J Sh ^,
et pour celle de gauche,
^^ — aChtf f = b8ht.
Démontrons, par exemple, au moyen de la variable auxilaire ^, les deux théorèmes d'Apollonius. Le demi-diamètre a' ayant pour extrémité le point {x' =» a Ch^, y' «s } Sht), est donné par la formule
a' = |/a« Ch* < -^ >« Sh« < et l'angle u que ce diamètre fait avec Taxe des x est tel que
tang» «a^, = -Th^ sm«= — ; — , cos a> = .
Le coefficient de direction de la tangente au point {x'y ff') est
b*af h tang w' =5 -r--7= -Coth <; a* jf' a
ce coefficient est aussi le coefficient de direction du diamètre b' conjugué à a\ On obtient la longueur de V en cherchant la distance de Torigine au point d'intersection de la droite
y =sx tang «', ou y ««= — Coth ^, avec Thyperbole
conjuguée de la première. On trouve, pour les coordonnées â;", y'* de ce
point, les valeurs
y" = *Ch^ a?" = aSh<.
Par suite,
V =3 /a* Sh* f -^ J« Ch« t, puis
. , »Ch^ , aSh/
sin «' = , cos » =8 — ,. •
On a alors
, >a(Ch«<— Sh«0 a»
sin («' — m) == sin «' cos w — sm « cos »' = ^7— ; ="rr/ >
a'* — y« = a« Ch« < -♦- J* Sh» < — (a« Sh» t -4- J* Ch» Q « a* -- i«, c'est-à-dire les théorèmes d'Apollonius.
SI. Ciainttté. La chaînette est la courbe formée par un fil pesant inspenda par ses deux extrémités. Elle a pour équation, en coordonnées rectangulaires,
de sorte que
L'axe des « est appelé la directrice de la courbe ; l'axe des y est un axe de symétrie, rencontrant la courbe au sommet A, distant de la directrice d'une longueur égale à a.
La tangente MT et la normale MN au point M {a, y), ont respectivement pour équations
Y aCb^=Sh-(X~«), Y — «Ch-= — —{X — x).
La distance Pm du pied de l'ordonnée de M à la tangente est constante etigaleàa. Kn effet,
— aCha P«i =
Par suite, la distance F» =■ Mm de P à la normale MN est égala k ,
[/{y* — fl*) = a Sh - . De là un moyen facile de construire la tangente
et la normale.
On trouve ensuite pour la longueur N de la normale MN et pour le rayon de courbure p = MG, la même valeur. Car,
La longueur de Tare AM et Taire du trapèze curviligne AMPO sont données par les formules
AMPO=l y^ = a\ Ch-(te = a*Sh-=a x M«»==Pi»M«,
résultats très remarquables.
Soient x, y, les coordonnées du centre de gravité de l'arc * = L M terminé aux points L (â?o, y©), M (a?, y) ; a?,, y, celles du centre de gravité du quadrilatère curviligne «^ = a*=»LMPK correspondant. On aura
Le centre de gravité de Vaire u e$t donc au milieu de l'ordonnée du centre de gravité de l'arc s *
On prouve aisément que x, = x^ est l'abscisse du point d'intersection des tangentes en L et M; puis, que y« =» 2yu est la moitié de l'ordonnée du point d'intersection des normales en L et M.
SS. Tractrice. Le lieu des points analogues à m est appelé tractrice. Appelons 3 l'angle m TP dont la tangente trigonométrique est égale à y'. Alors
tange = Sh-, sin0=Th-, cosô=
Ch- .
a Soient Ç, ri les coordonnées de 99i ; on aura
a y^ s= m P cos m PM = a cos 9 «= >
Cha
£ « OP — wP cos wPT e= û? — asin e = û? — aTh--
On déduit de là
dl dx ax -.■-■-
Ch
«f ( Ch«f a \ «
Ainsi, la tangente en m à la traetrice est dirigée suivant mP. La longueur m F «» a de cette tangente comptée jusqu'à Taxe des x est constante. La traetrice est donc une courbe aux tangentes égalée. En Â, la tangente est Taxe des y et comme la courbe est symétrique par rapport à OY, A est un point de rebroussement. L*axe des X est évidemment asymptote de la courbe.
La normale mM à la courbe est tangente à la chain^te, qui est donc la di^loppée de ta traetrice^ et le rayon de courbure de celle-ci en M, est égal à m M ou AM.
9S. Pseudosphère. La surface, en forme de fuseau indéfini, engendrée par la traetrice en tournant autour de son asymptote, 8*appelle pseudo^ sphère. En chaque point m, ses deux rayons de courbure principaux sont mM eimT dirigés en sens contraire. Par suite, la courbure de la surface (dans le sens de Gauss) est
mUxnt t"^ w P* "■ a' '
La pseudosphère est donc une surface à courbure constante négative^ comme la sphère est une surface à courbure constante positive.
L'aire de la pseudosphère depuis son arête de rebroussement jusqu'à un plan correspondant à une valeur x de la variable indépendante est
pX
n \ fiydï
Sh»- Sh*a a
\ Ch^\/ Ch*î Ch»f
Sh^dx a
2na\ — ' — «= - 27ra* \ \ ^2nd
Ch»- I Ch
Pour X infini, on trouve 27ra» pour la surface de la demi-pseudosphère. Donc la pseudosphère entOref de paramètre a, a Za même surface que la sphère de rayon a.
Le volume de la pseudosphère de à a?, est,
1 Sh' -•
\ Ch«* Ch«î J„ « « 3 «
Pour X infini, on trouve | tta* pour le volume de la demi-pseudosphère. Donc la pseudosphêre entière, de paramètre a, a un volume égal à la moitié du volume de la sphère du rayon a.
!t4. Parabole et paraboloïde de révolution. L'équation habituelle de la parabole y* => 2pa peut être remplacée par les suivantes :
y = paht, x = \pSh*t.
On déduit de là
dy=:pChtdt, do^^pChtShtdt. ds^pChUdt.
L'arc s de parabole compris entre les points M {w, y) et M' (â?, — - y)^ symétriques par rapport à Taxe, est donné par la formule
s=p{ ChUdt = {p{ {Ch2t^l)dt^'^p{ah2t^2t)
= pShtCht-^pt.
La longueur T de la tangente en M {x, y) comptée jusqu'au point N ( — Xf 0) de rencontre avec Taxe de la parabole est égale kpShtCht; car
T» = {2xy + y* = p^ Sh* t^p^Sh't^ p^ Sh* t Ch» t.
On a donc
ce qui est une interprétation assez curieuse de t.
On arrive un peu moins simplement à la valeur de s, en prenant pour variable indépendante l'angle 9 de la tangente MN avec l'ordonnée MM\ Cet angle 6 est lié à t par la relation Gh ^ cos 8 = ^^ car ces G.bs y : T = 1 : Ch ^.
On trouve ensuite, pour la surface S et le volume Y du paraboloïde engendré par l'arc s tournant autour de l'axe de la parabole,
S-=3|-7rp(Ch»<-l), V«i7rp»Sh*^,
valeurs que Ton obtient d'ailleurs aisément, ou prenant y pour variable indépendante.
95. Remarque générale eur remploi des foneiians hyperholiquee dans les applications de V analyse. Dans les questions que nous venons de traiter, et, en particulier, dans Tétude de la chaînette, de la tractrice et de la pseudosphère, les fonctions hyperboliques s'introduisent d'elles-mêmes dans les calculs, qui tous s'effectuent très simplement.
Mais ce serait une illusion de croire que l'emploi des fonctions circulaires n'eut pas présenté les mêmes avantages au point de vue précisément de la simplicité des calculs. Au contraire, en général, à ce point de vue, on peut souvent employer indifféremment l'une ou Tautre espèce de fonctions. Ainsi, les questions des n'*'22, 23, 24 et même 21, se traitent tout aussi facilement en prenant pour variable indépendante qu*eii faisant jouer ce rôle à la variable a.
La raison de ce fait est facile à trouver. On a vu, aux n"" 8 et 15 que l'on peut exprimer les fonctions hyperboliques au moyen des fonctions circulaires et réciproquement. Toute question traitée au moyen des unes peut donc aussi se traiter au moyen des autres et inversement.
Mais il n'en est pas moins vrai que, dans certains problèmes, ce sont les fonctions circulaires, dans d'autres les fonctions hyperboliques qui s'introduisent naturellement dans les calculs. Si l'on veut éviter Temploi des fonctions hyperboliques, ce qui ne semble guère raisonnable, on ne le fera, sans tâtonner et sans compliquer les calculs, qu'en se servant implicitement des relations des n<** 8 et 15, que nous venons de rappeler. D'ailleurs ce n'est qu'en employant la notation des fonctions hyperboliques que l'on fera ressortir les analogies de certaines questions connexes, comme les exemples des u"** 19 et 20 suffisent pour le prouver.
