D.7 On déduit aisément de là

i (Ch ., - cos ..) = j^ -H j^g^ -^ etc.,

On a encore, pour â?» inférieur à 1,

î(l 4. a?)«- ~ ^ -*.---—+ etc.

1/1 X X X* Qi^ a?* .

i(l^)^ ^^^^«^-*.etc.;

d*où, par soustraction,

,,/l-4-flî\ . -^, 0? a?» iP* flJ' . „.

analogue à

Arc tang a? ==- s- -♦- -r ■=■ -^ etc., (2)

La formule du binôme donnera;' étant au plus égal à 1,

»/l ^aj« 2 2 4 2 4 6

6 est compris entre et 1. Multiplions par dm de part et d*autre et

intégrons entre les limites et x. LMntégrale J'Oa^^^db est comprise

fl;** -I-' 1

entre et f' x^^dx. c'est-à-dire, est elle-même de la forme 9'-^^ r-t

6' étant aussi compris entre et 1. On a donc

i dx y Ix* 1 3 a;*

= Z (a? H- 1/1 H- «•)«=ArgSha? = a? — :^-*-ô •- • r--*- •• 0|/rTï« ^^ 2 4 6

2 4 2n 2ii -I- 1

c'est-à-dire, en faisant croître n indéfiniment

ArgSha? = a? — --^-f-- — -^ — etc. (3)

Cette formule est analogue à

Arcsinajessa?-*-^— '*'Z"a ' r"*" ®*^' W

Pour « => 1, la formule (3) donne

i(l + ^/2) = 0.881373 587 = l-|i-4-|.|.g-^.|.|-^ + etc.

expression que M. Laisant a représentée par II.

La combinaison des séries (1) (2) (3) (4), conduit à divers résultats assez intéressants.

1S. Analogie des fonctions hyperboliques et des fonctions drctdaires. En analyse supérieure, on prend pour définition des sinus et cosinus

circulaires et hyperboliques, les relations (a), (b), {c)^ (i), où a est réel on imaginaire. Les autres fonctions sont définies par les relations :

Thd?«:r--— = , Secha?=-— -, Coséch a? = -— ;

Ch X Coth a? Ch a? Sh a?

sin a; 1 , 1 , 1

tanga;B= = — : — , seca?= , coseca?=-: — ;

cosa? cota? cosa; sina?

(If)

On peut démontrer, en partant de ces définitions, les formules qui donnent sin(^ -4- «), Sh (t -+■ u), etc., et, par suite, toutes les propriétés des fonctions circulaires et des fonctions hyperboliques.

Si Ton change a? en x (/ — I, la série (a) devient la série (c) et réciproquement; la série (2) devient la série (rf), multipliée par {/ — 1 et réciproquement. On exprime ce fait, en abrégé, en écrivant

Ch (a? (/ — 1) = cos X, Sh (a? (/ — 1) = |/— 1 sin a?,

cos (a? |/^) = Ch a?, sin {x |/^) = j/— 1 Sh x.

On déduit de là

Th {x ]/^l) = l/^ tang a?, tang {x i/^) == /— 1 Th a?, Coth (a? j/— 1) = — (/I^l cot a?, cot (a? ^/^) = |/^ Coth a?,

Séch (a? i/^) = séc a?, séc (a?i/—l) = Sécha?,

Coséch(a?|/ — 1) = — [/ — 1 coséca? ; coséc (a?(/ — 1)= — j/ — 1 Cosécha?.

D'après ces relations^ on voit que les fonctions hyperboliques définies comme au § 1, et les fonctions circulaires, définies comme en trigonométrie, sont des cas particuliers des fonctions générales définies par les séries (a), (&), ou (c), (i) et les relations (^),et Ton s'explique la similitude de leurs propriétés.