INTRODUCTION

Pierre Fermât est considéré par les premiers géomètres de notre époque , comme l'inventeur du calcul infinitésimal , et comme le fondateur de la théorie des nombres. Ses découvertes géométriques et ses théorèmes arithmétiques , qui sont encore aujourd'hui un sujet de recherches et de méditations pour les savants , sont développés ou énoncés dans le Recueil de ses Mémoires, puhliés il y a près de deux siècles (en 1679) , et dont on trouve quelques rares exemplaires dans les principales bibliothèques. Une nouvelle édition de ces précieux fragments était devenue depuis longtemps nécessaire; le Gouvernement, convaincu de son utilité, présenta, en 1843 (1 er et 19 juillet) , aux Chambres législatives, un projet de loi dans lequel un

VILLE DE LYON WWioU.du ialàis des im

crédit de 15,000 francs était demandé pour la réimpression , aux frais de l'État, des œuvres complètes de P. Fermât. Le projet de loi fut voté sans discussion à une grande majorité ; malheureusement des circonstances et des difficultés que nous ne connaissons pas , empêchèrent reflet de ce vote , et la réimpression n'eut pas lieu.

Peut-être la Commission chargée de préparer la nouvelle édition a-l-elle hésité, après avoir examiné le texte original, à faire réimprimer des fragments écrits en latin , sous une forme abandonnée , et avec des notations incommodes qui en rendent l'étude pénible et difficile. Les démonstrations les plus simples paraissent , souvent , obscures et compliquées pour le lecteur qui n'a pas la patience de traduire dans la langue algébrique moderne , des calculs et des formules exprimés d'une manière prolixe et embarrassée. L'attention et la persévérance diminuent, sans les faire disparaître, les obstacles qui naissent sans cesse de l'emploi de signes dont l'usage est entièrement perdu.

Il est d'ailleurs impossible d'acquérir une idée exacte des travaux et des découvertes de Fermât , par les extraits ou les citations incomplètes de ses œuvres , qu'on trouve dans les ouvrages d'analyse les plus estimés. Monlucla , dans son Histoire des mathématiques , indique succinctement les principales questions que ce grand géomètre proposait aux savants de son époque ; mais il ne fait remarquer ni comprendre l'originalité ni la fécondité des nouvelles méthodes qu'il avait créés. L'abbé Genty , dans un ouvrage couronné par l'Académie de Toulouse , et qui a pour titre : Influence de Fermât sur son siècle (1784), a bien apprécié les services qu'il a rendus à l'analyse moderne , et le cachet particulier de son génie ; mais la forme d'un éloge académique , qu'il a choisie , se prétait plutôt aux détails de l'histoire contemporaine qu'aux développements algébriques , qui sont consignés dans quelques notes trop rares et trop courtes : aussi cet estimable travail nous paraît-il plus intéressant pour les biographes que pour les géomètres.

Ces considérations, que nous ne faisons qu'indiquer, mais que nous avons mûrement pesées, nous ont laissé la conviction que la seule forme à adopter , pour la reproduction des ouvrages de Fermât, était celle du Précis français, que nous avons essayé de rédiger, en nous appliquant à n'altérer ni à n'omettre aucune des idées ou des démonstrations de l'inventeur, et en profitant pour notre exposition des avantages de l'écriture algébrique moderne. Par ce moyen , nous espérons avoir rendu aisément intelligibles des propositions dont l'élégance et la finesse sont obscurcies par des notations sans simplicité. Nous avons pensé qu'il suffisait , pour conserver la tradition historique , de transcrire quelques exemples de l'écriture algébrique ancienne, aussi imparfaite pour exprimer les énoncés, qu'incommode pour le développement des déductions et des calculs. • La première partie de ce Précis présente un résumé complet des Mémoires renfermés dans les Opéra varia , publiés à Toulouse en 1679 par Samuel Fermât , fils de l'auteur. Nous les avons classés dans Tordre qui nous a paru faire le mieux ressortir leur importance scientifique et historique. Le premier Mémoire, sous le titre à' Introduction aux lieux plans, est un traité concis de géométrie analytique , comprenant la théorie de la ligne droite et des courbes du second degré. La date de ce fragment n'est pas parfaitement connue , et il n'est pas certain qu'il soit antérieur à la Géométrie de Descartes, publiée pour la première fois à Leyde en 1637; mais les nombreuses lettres de Fermât prouvent avec évidence qu'en 1636 il était en possession de toutes ses méthodes analytiques. De sorte que s'il n'est pas absolument prouvé qu'il ait imaginé , avant Descartes, l'art de représenter les lignes courbes par les équations indéterminées (comme le pensent quelques biographes), il est au moins évident qu'il a autant de droits que son rival à cette admirable invention. Ce traité des Lieux que nous avons abrégé , parce qu'aujourd'hui il est surtout intéressant an point de vue historique , est suivi de deux fragments d'algèbre, qui renferment une première ébauche de la théorie de l'élimination, pour les équations de degrés quelconques, et comme consé-

qucncc , 1c procédé actuellement employé pour faire disparaître des équations algébriques les expressions irrationnelles.

Les deux Mémoires sur la théorie des maximis et des tangentes, et sur les quadratures, nous paraissent constituer la partie la plus importante des Opéra varia. Écrits avant la géométrie de Cavalieri (publiée à Bologne en 1653) , et avant la publication de la Méthode des tangentes de Wallis et de Sluze ; ils établissent les droits incontestables de Fermai à l'invention du calcul différentiel et du calcul intégral. Dans le Traité des rtw.ximis et des tangentes , l'illustre géomètre ajoute à l'abcisse une indéterminée e infiniment petite , et dans le résultat de ses calculs, il ne conserve que Tinfînimcnt petit du premier ordre, auprès duquel il néglige les infiniment petits des ordres supérieurs. Il applique ensuite avec une rare élégance sa méthode aux questions les plus difficiles, telles que la détermination de la tangente à la cjcloïde , la recherche du centre de gravité du paraboloïde, des points d'inflexion, etc.. « Ixîs contem- > porains de Fermât ne saisirent pas l'esprit de ce nouveau » genre de calcul ; ils ne le regardèrent que comme un artifice » particulier, applicable seulement à quelques cas... (Lagrange, » Calcul des fonctions). » Descartes lui-même , qui n'avait pas d'abord admis la rigueur de la méthode des tangentes, convenait, après une longue polémique, que cette méthode était exacte, mais peu ingénieuse (t).

Lagrange et Laplace font remonter à la méthode des maximis et des tangentes , l'origine du calcul infinitésimal ; mais ces deux illustres savants ne citent pas le traité des quadratures, qui complète l'analyse différentielle de Fermât, et qu'on peut considérer comme le premier traité de calcul intégral qui ait été écrit. En plaçant dans leur ordre naturel ces deux admirables compositions , on voit que ce grand géomètre n'avait pas seulement posé les premiers principes de la science nouvelle ,

(i) Descaries mêlait l'aigreur à sa polémique. Il appelait, dans nne de ses lettres, Fermât, le Conseiller des Minirais; son Maxirais, dit-il, me venant en forme de cartel.

mais qu'il l'avait développée el appliquée avec autant de sagacité que de profondeur à des questions géométriques, dont la difficulté étonnait ses contemporains ; et on ne peut pas s'empêcher d'admettre que ses découvertes, connues de tous les savants de son siècle, et discutées par Di'scartes, n'aient servi de point de départ aux recherches de Leibnitz et des Bernouilli, auxquels il a souvent suffi de traduire, dans l'algorithme différentiel , des questions complètement résolues depuis longtemps. Si on examine , en effet , avec attention le Mémoire sur les quadratures , on voit que le premier problème que Fermât résout, pour carrer les hyperboles et les paraboles de tous les degrés, renferme une méthode complète pour l'intégration des monômes à exposants entiers, fractionnaires, positifs ou négatifs. Le procédé qu'il emploie dans deux cas particuliers, s'applique, comme il le remarque , à des exposants quelconques.

Dans le second de ces exemples, il détermine la quadrature d'un segment d'une parabole, définie par cette propriété , que son ordonnée soit en rapport constant avec la racine cubique du carré de l'abcissc. La considération d'une progression géométrique, dont les termes croissant d'une manière insensible, peuventétre identifiés, au second ordre près, à ceux d'une progression arithmétique, lui donne un moyen aussi élégant que subtil pour surmonter la difficulté qui provient de la racine ou de l'exposant fractionnaire. Après ce premier pas important dans la théorie de l'intégration , Fermât , par des transformations ingénieuses des courbes qu'il veut carrer, intègre par le moyen des arcs de cercle une fraction rationnelle qui a pour dénominateur un binôme du second degré; il ramène aussi à la quadrature du cercle les racines carrées des fonctions entières du second degré, lorsque ces racines sont multipliées par des fonctions rationnelles de la variable; et pour la solution de celte question difficile, il invente la méthode aujourd'hui en usage, et connue sous le nom d'intégration par parties Nous indiquons à peine les points principaux de deux traités aussi concis que substantiels qui décident, d'une manière irréfragable, la question longtemps controversée, de l'invention de l'analyse infinitésimale.

Plus de cinq ans après leur publication , Leibnitz fit paraître, en 1684 , dans les actes de Leipsick , son mémoire sur le calcul différentiel (sous le même titre que le premier mémoire de Fermât, Melhodus pro maximis, Leibnitz, comme son prédécesseur, compare l'accroissement de l'abcissc à la sous-tangente), dans lequel se trouve l'admirable notation qui a rendu lucide et générale la première découverte, et qui a conduit à la formation des équations différentielles ; mais ces développements et ces progrès rapides de la nouvelle science sont la preuve évidente de la fécondité de la méthode de Fermât, et ils n'infirment en rien ses droits de priorité comme inventeur , qu'il nous parait aussi impossible de lui contester, que de refuser à Kepler la gloire d'avoir trouvé le premier les lois fondamentales de l'astronomie , sous le prétexte qu'elles sont aujourd'hui déduites des principes de la dynamique.

Nou9 terminons le précis des Opéra varia , par un résumé succinct des mémoires sur les contacts spheriques, sur les porismes d'Euclide , et sur les livres d'Apollonius.

La seconde partie de notre précis présentait des difficultés particulières, que nous n'avons pu éviter qu'en reproduisant avec concision les six livres complets de l'Arithmétique de Diophante. Sans ce travail préliminaire, le lecteur n'aurait pu saisir ni le sens ni la portée des notes trop peu développées de Fermât, que nous avons traduites avec soin, et qui seront encore longtemps un sujet de recherches et de méditations pour les géomètres. En augmentant ainsi ce volume du plus ancien traité de calcul qui «oit connu , nous réalisons un vœu que Lagrange exprimait dans une de ses leçons à l'école normale (séance 31* ) , et nous offrons aux professeurs une très-belle et très-utile collection de problèmes arithmétiques.

L'ouvrage de Diophante d'Alexandrie, qu'on doit considérer comme un des plus beaux monuments du génie des Grecs , était divisé en treize livres, qui, au grand dommage des sciences, sont en partie égarés. Le texte grec des six premiers livres, très-altéré et souvent inintelligible, ne fut connu en Europe que vers le commencement dn 15 e siècle. C'est sur ce texle qu'un Allemand

( Guillaume Holzman , homme de bois ) , qui traduisait son nom en grec dans celui de Xylander, publia , en 1575 , une traduction latine deDiophante, beaucoup moins imparfaite que la* version du scholiaste grec. Sachet de Meziriac , géomètre distingué ( on lui doit la résolution do l'équation indéterminée du premier degré en nombres entiers) , perfectionna le texte de Xylander , qu'il fît suivre d'un commentaire prolixe , mais très-lumineux , que les progrès de l'algèbre rendent aujourd'hui inutile. Dans l'intéressante préface de son ouvrage, publié en 1621 , Bachct raconte que le Cardinal Duperron lui dit avoir possédé un manuscrit des treize livres de Diophanle , qui lui fut emprunté par Gosselin ; la mort prématurée de ce savant fir perdre le texte précieux qu'il se proposait d'étudier et de commenter. En 1634, Simon Slevin , de Bruges, publia une traduction française des quatre premiers livres de Diophante , qu'Albert Girard a insérée dans l'édition complète des œuvres de Stevin , en y ajoutant la traduction des deux derniers livres. Albert Girard , dans une courte préface , cite les commentaires de Planude et d'Hypathéia, reine d'Alexandrie, sur les premiers livres de l'Arithmétique , commentaires que le temps a fait disparaître , et il ajoute qu'un savant de son époque , Jehan Begiomonle, affirmait avoir vu à la bibliothèque du Vatican, le texte grec des treize livres. La lecture de la traduction de Stevin et d'Albert Girard , écrite en ancien français , et avec des signes algébriques qui ne sont plus en usage aujourd'hui , est peutêtre plus difficile que celle de la version latine de Bachet. Dans notre résumé , nous nous sommes appliqué à être aussi concis que possible , et nous nous sommes contenté d'énoncer les questions du premier et du second livre , qui dépendent du premier degré et sont très-faciles à résoudre. Partout ailleurs , nous exposons la démonstration de Diophanle , en employant très-rarement quelques lettres de plus que celles du texte latin, dans lequel l'inconnue est représentée par la lettre N ; mais pour plus de clarté nous avons évité , comme le fait Bachet , de désigner par cette lettre unique deux inconnues distinctes de la même question.

Nous avons placé à la suile du texte de Diophanle , les observations marginales , malheureusement trop concises , de P. Fermat ; ces observations forment d'ailleurs deux classes distinctes, dont il est indispensable de bien saisir la nature et la différence. Diophanle résout, dans son Arithmétique , quelques problèmes déterminés, et un grand nombre de problèmes indéterminés qui ne dépassent pas le second degré ; l'auteur, au moyen d'artifices ingénieux , parvient à la solution , en fractions ou en nombres entiers ; mais sa méthode , qui manque de généralité , fournit rarement un nombre infini de solutions. Fermat perfectionne le procédé des doubles égalités , et il l'étend ensuite aux triples égalités; la généralité qu'il lui donne, lui permet de déduire une infinité de solutions , d'une solution particulière de Diophanle; de plus il résout quelques problèmes, dont les énoncés qui -se présentaient naturellement ne se trouvent pas dans le texte de l'Arithmétique, et qui par leurs difficultés paraissent avoir mis en défaut la sagacité du géomètre grec. Celte partie des observations de Fermât a été recueillie et développée dans un traité du Père Billy , de la Société de Jésus, rédigé sous le litre iïlnvenlum novum , et que Samuel Fermât a fait insérer dans son édition de Diophante , augmentée du commentaire de Bachet et des observations de son père. Mais ce petit traité de Billy n'est plus d'un grand intérêt , parce que les questions qu'il résout sont suffisamment indiquées dans les notes marginales , et qu'elles sont en grande partie reproduites sous une forme plus générale dans le second volume de l'Algèbre d'Euler.

D'autres observations marginales , qui ne sont pas mentionnées dans YInvcntum novum, ont une grande importance, parce qu'elles répondent à un ordre de questions plus difficiles et moins connues ; nous voulons parler des observations où sont énoncés les théorèmes sur les nombres premiers , sur les nombres polygonaux , sur la possibilité ou l'impossibilité de certaines équations indéterminées en nombres entiers. Dans cette branche de l'arithmétique, Fermât se fraye une voie nouvelle où il a été bien difficile à ses successeurs de le suivre,

parce qu'il a presque toujours caché la méthode qui le guidait dans ses recherches , et qu'il n'a pas publié l'ouvrage sur la théorie des nombres qu'il avait projeté. Cette méthode devait sans aucun doute différer des procédés actuels, fondés la plupart sur une savante analyse. L'usage restreint des signes algébriques dans les solutions qu'il nous a laissées , montre assez qu'il arrivait à ses théorèmes par des raisonnements subtils et des procédés originaux d'investigation entièrement perdus. D'ailleurs l'exactitude constante de ses énoncés , les fragments de démonstrations très-difficiles qu'il a laissés, ses affirmations précises, ne permettent pas de supposer que des inductions imparfaites , ou de simples tâtonnements le dirigeaient dans la recherche de ses théorèmes. Un seul de ses énoncés, relatif à une série qui d'après lui ne doit donner que des nombres premiers ( la série dont le terme général est 2 8 m -f- 1 ) , a été reconnu inexact par Euler(l). Mais Fermât, dans une lettre à Frénicle, avoue qu'il n'a pu trouver la démonstration de la proposition dont il ne fait que soupçonner la vérité. Enfin , on voit par sa correspondance, qu'il communiquait quelquefois à ses amis des démonstrations qui n'ont pas été retrouvées.

Ce travail est terminé par un extrait étendu des lettres de Fermât, que son fils a fait insérer à la suite des Opéra varia. nous avons conservé tout ce qui , dans ces lettres , a trait aux questions mathématiques , et sous ce rapport quelques-unes sont d'une grande importance ; mais nous avons supprimé les longues lettres relatives aux principes de la mécanique, qui nous ont paru dénuées d'intérêt. Fermât remarque que les corps pesants soumis à l'action de la terre et tendant à son centre , ne sont pas sollicités, ainsi que le suppose Archimède , par des forces parallèles , et que par suite sa théorie du levier ne peut être considérée que comme une approximation pratique. Dans le cas où le levier est sollicité par des forces concourantes , Fermât n'admet pas la règle très-simple d'équilibre qu'énonce Roberval dans une de ses lettres , et d'après laquelle les puis-

(t) Si w = 5, 2 3J -f-i=4 , 29^, 967, 297 qui est divisible par 64 1 •

sances doivent être réciproques aux perpendiculaires abaissées du point d'appui sur leur direction. Dans ses longues discussions avec Pascal , sur les principes de la statique , il n'éclaireit pas ces premières notions, et cette partie de sa correspondance ne sert qu'à faire bien apprécier l'immense service que rendit Galilée à son époque, en établissant la véritable doctrine des forces concourantes , et en créant la science des forces accélératrices. Fermât , génie du premier ordre dans la géométrie et l'analyse, n'avait fait qu'effleurer la mécanique et la physique. Mais l'inventeur de l'analyse infinitésimale , le fondateur de la moderne théorie des nombres , est assez riche de gloire , pour qu'on puisse laisser dans l'oubli quelques ébauches imparfaites échappées à sa plume , dans l'abandon d'une correspondance familière.

Le désir et l'espoir d'êlre utile, nous a soutenu dans l'exécution d'un travail pénible et difficile ; nous avons surtout obéi à un sentiment patriotique , en rédigeant ce précis des œuvres d'un savant qui , par l'originalité et la profondeur de son génie , est au premier rang des géomètres français , et dont le nom sera toujours la gloire et l'honneur de la ville de Toulouse.

Nota. P. Fermât, Conseiller au Parlement de Toulouse, naquit à Bcaumont de Lomagne , près Toulouse, l'année 1608 ; il mourut l'an

Voici Tépitaphe gravée sur son tombeau ; la pierre tumulaire a été placée au Musée de Toulouse , au-dessus de son buste :

« Piœ memoriœ Domini Pétri de Fermât , Senaloris Tolosani , qui litterarum Politiorum , pluriumque Linguarum et Matheseos ac Philosophiez peritissimus , ita jurisprudeniiam cal luit, UaJudicis munere functus est, ut ejtis ad hoc unum , collecta crederetur ingenii vis, licet in tôt arduas spéculations diversa. Vir ostentationis expers , suas lucubrationes typis mandari non curans , et egregiorwn operum neglectu , major quam parlu. Prœclara sut legit in aliorum libris elogia t nec intumuil. Nunc autem quod ipsius virtuies sperare sinuunt , dum œternam virtutem contemplari gaudet , cœlesli radio maxima et minima dimensus, è tumulo quemlibet affari videtur, hoc aureo ckristiani doctoris mnnito :

« Vis scire quiddam quod juvet ? Xesciri ama. »