INTRODUCTION AUX LIEUX PLANS ET SOLIDES

(Fig. 1.) Fermât considère une droite indéfinie NM sur laquelle il prend un point fixe N. Il suppose qu'un point I est déterminé de position parla relation constante d.x^b.y; les quantités d, b, sont des lignes données; le segment NZ représenté par je 5 , et la perpendiculaire IZ à NM représentée par / sont des quantités variables. Or, si on joint IN,

comme d'après la relation établie, le rapport— est constant

pour toutes les positions du point I ; il en résultera que l'angle N ne variant pas, le lieu du point I sera la droite NI.

Si on considère l'équation indéterminée homogène m*—dx—by, on posera m' = d.k, et on trouvera par suite : d(k—x)=:b ,y ; si on prend NM = fr, ZM sera

égal à k—x, et le point I étant tel que : ^ y »

le lieu du point I sera la droite l M.

Fermât , après avoir ainsi trouvé l'équation d'une droite quelconque , énonce ce lieu géométrique :

« On donne sur un plan des droites quelconques sur » lesquelles on prend des longueurs a, b, c,... on veut » déterminer un point m , tel que menant par ce point des » droites mp, mq, m s,... qui rencontrent respectivement » les droites données aux points p , g , s , en faisant avec » elles des angles donnés , on ait la relation constante » rnp.a-\-mq. b-\-ms. c -(-... = À*. en désignant par k* une » aire donnée. Le lieu du point m sera une ligne droite. >»

Fermât définit l'hyperbole par la relation et il indique la construction de chaque point en prenant deux axes rectangulaires asymptotes de la courbe.

Il considère ensuite la relation d' -\-y. xz=r.x-\-s.y, d'où d*-=zrx-\-sy — xy = (y — r)(s — jc)-\-sr , ou, en posant it 1 — s r=m\ il résulte /n*z=(y— r) (s — x), ou enfin m* = /.x', en remplaçant les deux binômes du second membre par x* , / . On voit que ces calculs sont analogues à la transformation des coordonnées.

Il examine enfin les équations du second degré : x* = y 9 y

^=A-, x 9 +xy = ky%y* = d.x, x*=zd.y, b*—x'=d.y,

j'-f- x*-=zb\ b % — idx — x^ — y^iry , b* — x % =ky\ x* -\-b* = ky* , b* — 2 x 2 = 3 xy-\-i. Il fait voir comment on peut construire ces courbes par points : il termine par la construction du lieu géométrique suivant.

On prend sur une droite indéfinie deux points fixes M, N, et on demande le lieu géométrique des points I , tels que menant les droites IM, IN, la somme MI' + IN* soit dans un rapport constant avec Taire du triangle MIN.

Nous résumons très -succinctement celte introduction, parce que les problèmes qui sont indiqués , et les constructions des points successifs des courbes dont on donne les équations , sont aujourd'hui d'un faible intérêt. Mais comme on la croit écrite avant que Descartes eût rien publié sur la géométrie analytique , son importance historique est incontestable. Fermât appelle constamment l'abcisse A et l'ordonnée E ; il trace rarement les deux axes coordonnés , qu'il ne désigne pas comme aujourd'hui par les lettres x , y, et il fait usage des exposants; il remplace le signe de multiplication par le mot in y il emploie , pour exprimer l'égalité, un des signes suivants { ou OC.

Appendice à l'introduction sur les lieux , contenant la solution des problèmes solides au moyen des lieux.

Fermât construit dans ce supplément les racines de certaines équations algébriques par l'intersection des courbes. Quelques exemples donneront une idée nette de sa méthode :

1° Soit proposé de construire les racines de l'équation : a. 2 -\-bx'=m*b(i), égalons chaque membre de cette équation à bxy, nous aurons x*-\-b x=bj (2) , m* = x.y (5) , et les racines de l'équation (r) seront données par les intersections des courbes (2), (3), dont l'une est une parabole et l'autre une hyperbole.

2° Soit proposé de construire les racines de l'équation : x 4 -f-/7i\x a -|-6 3 jc = ^(i) r> d'où x* = d* — m*x*— b*x; égalons chaque membre à /rc a ^ a , on aura les relations suivantes : //i a j a = a 4 (u) , = — m*x*— b\x (3). Ces deux dernières équations représentent deux paraboles et un cercle qui , par leurs intersections , donnent les racines de la proposée.

5° Soit proposé de trouver deux moyennes géométriques entre les quantités b et d, b>d, en appelant les moyennes cherchées x, x', on devra avoir la progression géométrique : b : x : x : d ou les deux proportions b : x : : x : x' et x : x* : : x' : d lesquelles donnent : x'zzzbx' , x'*=zdx , d'où en éliminant x' , x 3 =b*d. Pour avoir les valeurs de nous égalerons chaque membre de cette dernière équation à dxy, et nous aurons les deux relations x*=dy, b*-=zxy, de sorte que la valeur de la première moyenne résulte de l'intersection d'une parabole et d'une hyperbole.

Fermât varie par des artifices d'analyse les courbes qui , parleur intersection , donnent les racines de l'équation algébrique. Soit proposé par exemple de construire les racines de : x^-\-m^x = d i , d'où x^—d!* — m z x\ complétons au

premier membre le carré de a:*— b\ l'égalité précédente deviendra : a 4 — zb*x % — m*x — 3 b* x*-\-b*. Si nous égalons chaque membre a «'7*, les racines seront données par l'intersection de deux paraboles et d'un cercle.

Enfin, la même question est traitée plus généralement dans les Opéra varia , dans une Dissertation qui a pour titre : Solution des Problèmes géométriques au moyen des courbes les plus simples, et convenant spécialement à chaque genre de problèmes.

Nous donnerons un extrait de la partie essentielle de cette Dissertation.

Supposons que, entre deux grandeurs a et Z>, on veut insérer 1 3 moyennes géométriques ; de sorte que ces moyennes étant représentées par x' , x" ... on aura la progression a : x : x 1 : x" : b; ou en appelant À* la raison inconnue de la progression, a : ak : ak* : ... : a k l% : b, d'où il résulte que bz=:ak*; mais puisque la première moyenne est représentée par .r, on a x=ak, d'où x ll =a l \b. Il s'agit de construire la racine réelle de celte dernière , ce qu'on fera en égalant chaque membre de l'équation a x*y*.b\ on aura donc les relations x tl z=x*. y^.b et y 4 x 8 = a ,a . La première se réduit a x 5 =y*.b du cinquième degré , et a la seconde byx*=za 3 , qui est une hyperbole du troisième degré.

Fermât généralise , en terminant , la construction des moyennes géométriques. Il prend la suite des nombres premiers 3, 5, 17, 257, 65537 ; chacun de ces nombres

est le carré du précédent diminué d'une unité , ce carré étant augmenté de 1 : ainsi 1^ = (17— 1. Fermât pensait qu'une suite indéfinie de nombres ainsi formés , ne renfermerait que des nombres premiers ; il est vrai que dans une lettre à Frénicle , il avoue qu'il n'a pas pu prouver la vérité de cette proposition qui, d'après la remarque d'Euler, n'est pas exacte.

Si entre les nombres a et b on veut insérer a56 moyennes , on aura pareillement x" 57 = a'* 6 b. Posons x^°f l f b = x %&7 , cYo\iy l6 .bz=x 17 courbe du 17 e degré, puis x**°j l6 .b = a %5 *b; d'où x l5 . y— dt b l6 , courbe du 16 e degré. Si 011 voulait intercaler 65536 moyennes entre a et b , leur recherche dépendrait d'intersections de courbes du 257 e degré.

Ces solutions géométriques , au moyen de l'intersection de courbes , sont utiles pour les problèmes de la trisection de l'angle, du mésolabe (instrument ancien pour trouver des moyennes proportionnelles), etc

Nouvel usage des racines du second ordre et d'un ordre supérieur

dans l'analyse.

1 0 Soient deux égalités a 3 -f- e 3 = s 3 , b a -f- e*-\-de=zn* ( 1 ), entre lesquelles il s'agit d'éliminer e , de telle sorte qu'on parvienne a une relation qui ne contienne pas cette lettre et qui soit privée de radicaux. Les deux relations (1) se mettent sous la forme : e 3 = z 3 — a 3 , n* — b a=e*-\-de (2) ; cellesci , multipliées membre à membre , donnent après la suppression du facteur e : e* (n* — ba)=z(e-{-d)(z 3 — a 3 ), cette dernière , ordonnée par rapport à e , devient :

e 1 ( n* - b a } + e ( a 3 - z 3 ) = d ( z 3 - a 3 ) (3) , multipliant

cette égalité par la deuxième du groupe (2), on trouve après avoir supprimé e :

e (n* -ba; + (ci 3 -z 3 ) (n* - b a)=(e+d)d(z 3 -a 3 )...(4). Si on ne veut pas continuer a suivre la méthode que nous avons indiquée , il suffira de prendre la valeur de e dans la relation (4) qui est du premier degré par rapport a e, et de porter cette valeur dans l'égalité (3); le résultat répondra à la question proposée.

2° La méthode précédente est encore applicable, lorsqu'on veut dégager une équation de ses radicaux (ou de ses asymétries ). L'exemple suivant que choisit Fermât , donne une idée très-nette de son procédé.

Soit proposé de transformer l'expression

en une autre qui soit privée de radicaux; la relation (i)

prend la forme Va (f—cP — d— *<Ja l -\-b*a ; posons dans cette dernière ^ 3 -|-^V/=e 3 (a) , elle deviendra par celte hypothèse , et après qu'on aura élevé ses deux membres au cube 2 rt 4 — a 3 z=z<P— 3 d*e-\- 3 de"— e*(3) : cette dernière, combinée avec (2), donne, en faisant l'élimination de e , conformément a la méthode précédente, le résultat demandé.

On voit suffisamment par cet exemple , que Fermât fait usage , pour dégager une équation de radicaux , d'une méthode qui est expliquée dans tous les traités élémentaires d'algèbre , et que son procédé d'élimination s'applique aux équations de tous les degrés.

Après l'exposition succincte de ces procédés , l'illustre géomètre remarque que si , dans la solution des questions géométriques, on a souvent a considérer des équations indéterminées, qui représentent des courbes ou des surfaces, il peut aussi arriver que le problème comprenne plus d'équations que d'inconnues ; alors le procédé d'élimination indiqué précédemment conduit à des expressions des inconnues très-simples et souvent du premier degré. Si , par exemple , on veut couper une droite a , en deux segments .r, a -— jc, tels que x(a — x) = m\ si on sait de plus que la relation x*-{-(a — x)*z=k 2 a lieu, il est clair qu'il y aura une condition qui liera k et m , mais que la combinaison des deux équations précédentes permettra d'avoir x au premier degré.

Si on donne une ellipse et un point en dehors de son plan , on pourra concevoir un cône dont ce point sera le sommet et l'ellipse la base ; si on propose de couper ce cône par un plan qui donne pour intersection une circonférence, on pourra faire usage de relations en nombre superflu pour simplifier la solution de la question. Si , en effet , on prend

cinq points sur l'ellipse et qu'on les joigne avec le sommet du cône, on obtiendra cinq arêtes d'une pyramide pentagonale , et la question précédente reviendra à couper ces cinq arêtes par un plan , de telle sorte que les cinq points d'intersection soient sur une circonférence. Si on prend un sixième point sur l'ellipse, et si on le joint avec le sommet, celte nouvelle arête percera le plan sécant en un sixième point qui devra aussi se trouver sur la circonférence. Or , cinq points sont suffisants pour la détermination de l'ellipse, un sixième point fournira des équations superflues qui simplifieront la question. La même méthode s'appliquerait à des courbes placées sur des cônes à bases elliptiques ou paraboliques dépassant le second degré.

L'emploi des équations superflues que Fermât ne fait qu'indiquer, parait pouvoir donner lieu à des recherches fort utiles.

Nota. — Dans ce dernier fragment, Fermât ne fait usage ni du signe radical , ui de l'exposant , ni du signe Il emploie les signes -f-, — . Voici de quelle manière il écrit la relation

Lat. cub. (a. inrt (fit — a cub.)~f- L euh. (A. c ~f- \\q, in A)aequari d.

MÉTHODE POUR CHERCHER LA PLI S GRANDE OU LA PLUS PETITE VALEUR, ET POUR LES TANGENTES.

Principe fondamental : Si une quantité cherchée dépend d'une variable x, et si une valeur x t de cette variable répond à une valeur maximum ou minimum de la quantité cherchée, Jr,-|-e répondra à la même valeur de celte quantité, pourvu qu'on suppose l'accroissement indéterminé e infiniment petit.

1 er Exemple : On veut diviser une droite donnée a en deux segments x, a — x, dont le reclangle x \<i — x) soit

maximum. Si nous désignons par x la valeur inconnue qui correspond au maximum , d'après le principe posé cidessus, x-fe donnera pour le rectangle cherché la même valeur maximum que x. On aura donc :

x (a— x) = (x-\-e) (a — x— e); de cette égalité on déduit : e (a— ix)— e 1 — o, ou (a— 2x) — e = o; mais e étant aussi

petit qu'on voudra , la dernière égalité ne peut avoir lieu

que si a — a x=o, ou x — -^-.

2 me Exemple : La droite a doit être divisée en deux segments x, (a — x), tels que x*{a — x) soit un maximum. D'après le principe , on devra avoir

x'(a — x) = (x-\-ey (a — x—e)) et par suite x—~^a.

3 me Exemple : Question d'Apollonius, considérée par Pappus comme très-difficile.

(Fig. 2.) Sur une droite OD , on donne deux points M, I ; il s'agit de diviser MI en un point N, tel que le rap-

Soit OM = &, MD=z, et MI=g; désignons le segment inconnu MN par a\ nous aurons : - , qui devra

être un minimum, et par suite en remplaçant x par x+e, on devra avoir l'égalité : (!>+*)(*-*) = V+*+e)(z-r-e)

Faisant disparaître les dénominateurs , ordonnant par rapport aux puissances croissantes de e, divisant le résultat par e , et égalant ensuite a zéro le terme indépendant de e , on trouvera:^ (z — b — g) + 2 b.z.x— bzg=o, qui donnera les deux valeurs de x.

Fermât fait encore usage d'une méthode analogue à celle des maximis et des minimis , pour trouver les tangentes aux courbes. Il l'expose d'une manière très-simple pour le cas particulier de la parabole , et il l'applique ensuite à l'ellipse,

à la cissoïde, à la conchoïde, à la cycloïde et à la quadratrice de Dinostrate.

(Fig. 5.) 4° Soit une parabole dont le sommet est D, et Taxe DC; par un point B de la courbe dont l'ordonnée est BC et l'abcisse CD, on veut mener une tangente à cette courbe. Supposons la question résolue, et que BP soit la tangente cherchée. Appelons l'abcisse DC , x, et prenons une abcisse DI=jl — e; si du point I nous élevons 10 perpendiculaire à l'axe et terminé à la tangente, nous aurons par la comparaison des triangles BCP, 01 P, BC : 01 :: CP : IP, ou en élevant au carré et représentant CB par y , y % : 0 1* : : C P s : 1 P* ; appelons s la soustangente CP, la proportion précédente pourra s'écrire comme il suit :j a :0V ::s*: (s—e)\ Si le point 0 était sur la parabole, dont nous supposons l'équation y'zzzpx donnée, on aurait BC a : OP :: CD : ID ou y* : OP ::x:x—e. Si donc nous regardons e comme assez petit pour qu'on puisse supposer le point 0 , sur la parabole et sur la tangente, la comparaison des dernières proportions* donnera évidemment x: x — e :: s* : [s— e*\ d'où e(s* — isx)-\-e^x=o^ et par suite a* — 3 s x = o ou s = 2X, qui fera connaître la sous-tangente s et par suite le point P où passe la tangente au point B de la parabole.

(Fig. 4.) 2° Soit une ellipse dont le centre est 0, le demi-axe 0 C = a ; sur cette courbe un point m dont les coordonnées /wP, oP sont x, et un point m' très-rapproché du point m , placé a la fois sur la courbe et la tangente /rag, dont l'abcisse OP'=«r-|-e. Cherchons comme précédemment la valeur de la sous-tangente Pg=.y, on aura d'abord «P' : m' P'^ : s % : {s — e / ; mais par une propriété connue de l'ellipse ^P* : m' P" : : B P x P C : B P' x F C , ou par la comparaison des deux dernières proportions , en remplaçant BP, PC, BP' , P'C par leurs valeurs :

Faisant de cette dernière proportion une égalité, ordonnant par rapport a e , divisant par ce facteur , et égalant à zéro le terme indépendant de e, on trouvera très - aisément a* — x*

( Fig. 5.) Cissoïde. 5° Considérous une demi-circonférence E A B dont le centre est o , le rayon r. A m B est

une branche de la cissoïde ; un de ses points m a pour coordonnées /»P=j, oP = .r; le point voisin m' qui se trouve aussi sur la tangente m F au point ni, a pour abcisse o^'z=.x-\-e. Cherchons la valeur s de la sous-tangente PF; les deux triangles /wPF, /ra'P'F, donneront d'abord,

wP 1 : w'P' 1 :: s 3 : (s— e)' ; mais par la définition de la courbe P/ : PB : : PB : Pw,

dou Pffl= ^— = — - et P /»' = }—■ — -; par suite

PW a =7— - — Ces valeurs , substituées dans Favant-

dernière proportion, donneront

(r—xj* (r — x — ef 4 , \„ • • i e

~ — r— 1 - : v — ; t-^ : : s 7 : (y — e)% qui , mise sous la tonne

d'une égalité, fera trouver, en suivant les procédés indiqués

ci-dessus , s = — ; — , facile a construire.

( Fig. 6.) Conchottle. 4° Soit À* g la ligne asymptotique de la conchoïde , I son pôle , on abaisse du point I une perpendiculaire sur kg, et on suppose, W = a, Il o = b. Si on mène du pôle des obliques IwB, ILN, de telle sorte que au-dessus de la ligne kg, les distances wB, LN soient égales à b , les points N , B appartiendront a la courbe. L'abcisse du point N sera oc = x; celle du point B, oV = x — e : cela posé, la tangente étant N A et la

sous-tangente s — ck, on aura N C a : BP a : : s* : (s— e)\

H faut exprimer NC et BP, en fonctions des abcisses; ce qui est aisé en menant parle point c ,ck' =b parallèle à NI et Ld parallèle a la. On a NC = 1>U+^=H*' + LH ;

mais cU=zb — x; par suite HA^ =y/i bx — x* , et par la comparaison des triangles LHI , HcÀ', on trouve

* IT Jibx — r a

Ln = fl Y /, r — * P ar suile

N C = fabx — x* ^"^ff^ , changeant x en x — e , on

aura la valeur de BP, et la dernière proportion donnera la valeur de s en fonction de l'abcissc du point N.

( Fig. 7.) Cjcloïde. 5° Le procédé que Fermât emploie pour éviter la difficulté provenant de l'équation transcendante de lacycloïde est très-élégant et susceptible de nombreuses applications.

c est le sommet d'une demi-cycloïde , cf son axe vertical diamètre du cercle générateur cmf\ en un point r on veut mener la tangente à la cycloïde et trouver la valeur de la sous-tangente db=s, prenant un point voisin // , et désignant dg par e , on aura , comme dans tous les problèmes précédents, rd : ng :: s : s — e; mais par suite de la génération de la cycloïde, /// vaut une demi-circonférence; et en faisant passer le cercle générateur par le point r, il est aisé de voir que rd=com-{-md. Parla même raison , n g= co -\-og~c m — m o -|- og. Menons la tangente au cercle au point m, et remarquons que la quantité dgzne , peut être assez petite pour que m v , partie de la tangente, se confonde avec l'arc mo, et vg avec og; nous pouvons donc admettre que ri gz=com — mv-{-gv. La proportion fondamentale deviendra donc icom + md : com — mv + gv:: s : s — e. Calculons mv ci gv au moyen des triangles mda, Vga, nous aurons gv : md : : da — e : da ; mv : ma : : c : da. Prenant dans ces deux dernières les valeurs degv, mv, et les substituant dans la proportion précédente, elle deviendra :

(com-\-md).da:cm.da — ma.e±md(da~e)::s:s—e; changeons la proportion en égalité, et égalons a zéro le coefficient de la première puissance de e , nous aurons :

(com-l-md) .da rd.da . .1 . , .

s—- — t — —: — ou s— — • mais il est aise deprou-

ver pour la circonférence qu'on a da :ma-\-md ::dc : md\

, rd.dc rd md . « v

donc i~— ^ ou —-=.— qui prouve que la tangente a la cycloïde est parallèle k la corde me.

(Fig. 8.) Quadratrice. 6° Soit un quart de cercle AB, et deux rayons perpendiculaires AI, IB; pour décrire la quadratrice on divisera le quadrant AB et le rayon AI en m parties égales ; on joindra le centre I avec une division c du quadrant , et par le point D de la division de même rang du rayon AI, on mènera Dm, parallèle à IB, le point m appartiendra a la quadratrice ; et il sera aisé de trouver la tangente mo a cette courbe, par la règle suivante que Fermât déduit de sa méthode : avec /«I décrivons le quadrant zmf et menons l'ordonnée wN; cela posé, la sous-tangente No sera donnée par la proportion : Im :mN :: arc mf: No.

Fermât , après ces applications de sa méthode des tangentes, fait une observation qui est bien importante.

( Fig. 9. ) Si la courbure d'une courbe change en un point H , de telle sorte que , après avoir été concave par rapport à l'axe des abeisses elle devienne convexe , la tangente au point H fera avec cet axe un angle moindre que ceux que feraient des tangentes menées en des points compris entre A et H ; passé le point H , l'angle que fait la tangente avec Taxe des abeisses augmentera de nouveau ; par suite, pour le point d'inflexion H, l'expression qui exprime l'inclinaison de la tangente sur l'axe des abeisses est à l'état de maximum ou de minimum , considération qui rendra aisée la détermination des inflexions des courbes.

Application de la méthode des maximis à la détermination du centre de gravité du paraboloïde de révolution.

Bien que le procédé de Fermât soit indirect , et qu'il suppose un lemme d'Archimède , il nous paraît assez ingénieux pour mériter l'attention des géomètres.

(Fig. 10.) Le paraboloïde est engendré par la révolution du segment parabolique CAV autour de l'axe AI; soit o son centre de gravité inconnu , faisons une section parallèle k CV par la droite BR, le segment BAR engendrera un paraboloïde dont le centre de gravité sera E. Désignons par e la distance IN ; cela posé , en appelant x l'abcisse ko du centre de gravité et b la longueur A ï , on aura , d'après un lemme d'Archimède, Ao:AE::AI:AN, c'est-k-dire que les abcisses des centres de gravité sont entre elles comme les longueurs des segments paraboliques. Cette proportion peut s'écrire ainsi x: AE :: b : b— e, qui donnera x loEnb-.e;

d'oùoE=^^; mais les volumes des paraboloïdes CAV,

BAR sont dans le rapport de AP : AN 1 ou de b 9 : (b — ej\ par suite vol. BAR : vol.(C AV— B AR) :: >b— e) 9 : ibe — e*; mais E étant le centre de gravité du volume B AR et m celui du segment engendré par CBRV, on peut trouver le point o, c'est-k-dire le centre de gravité du volume CAV en composant deux forces parallèles appliquées en m et en E dans le rapport de 2be—e* k (b— e)". Ainsi donc on aura :

mo : Eo ::(&— e/: zbe — e*; d'où ;»o= K v ; mais Eo=^, donc mo= e *} b ~~?\ ; mais lo=zb — x , et

b 2b* e — be*

si on fait e aussi petit qu'on voudra , Io deviendra égal k

moi on aura donc k la limite b — x=z^-^~ — faisant

zb* — be^

disparaître le dénominateur et supposant e infiniment petit,

on trouvera sans peine : x=z^-b, ou la valeur de Fabeisse

du centre de gravité

Si on faisait tourner le demi-segment C A I autour de l'ordonnée Cl, le centre de gravité du solide de révolution diviserait CI en deux parties dans le rapport de 1 1 à 5.

DE LA QUADRATURE DES HYPERBOLES , DES PARABOLES, ET DE LA TRANSFORMATION DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

1° Fermât remarque d'abord qu'Archimède ne s'est servi de la considération des progressions géométriques que dans son traité de la quadrature de la parabole; partout ailleurs, il fait usage de la progression arithmétique. Cependant, la règle de sommation des termes en nombre infini , d'une progression géométrique décroissante, fournit des procédés simples pour la quadrature des hyperboles et des paraboles de degré quelconque. Indiquons les principes dont Fermât fait usage :

1 er lemme. a :aq : aq* : a y* est une progression géométrique décroissante et par conséquent q<\. Cela posé , désignant la somme des ternies pars, on aura la proportion : la différence de deux termes de rang quelconque est au plus petit des deux termes , comme le premier terme est à la somme de tous les termes qui sont après lui. Ainsi , par exemple, a — aq : aq ::a : s — a; celte formule donne la valeur connue de s.

2 me lemme. a : a (i -f-a) : a (i -faT : a (i + a) 3 est

une progression croissante; mais a est très -faible et peut même devenir infiniment petit. Dans ce cas , la différence de deux termes consécutifs quelconques sera la même , h un infiniment petit du second ordre près.

En effet, la différence des deux premiers termes est 4 a, celle du troisième au second est (i+ a ) aoL Q 1 » au second ordre a' près est encore a a. Les trois premiers termes étant

en progression arithmétique au second ordre près, il est clair que le troisième terme a (i +a)* vaudra, au second ordre près, le premier a plus la double différence a a; poursuivant le calcul , on verra que les différences successives sont toutes égales au second ordre près, et que le terme a (i+«) /w vaudra au second ordre près le premier terme a plus m fois la différence ace.

( Fig. 41.) 2° Ces lemmes posés , considérons l'hyper-

• • Fit

bolc du troisième degré : rapportée à ses asympto-

ce

tes , et prenons une suite infinie d'abeisses et d'ordonnées À/>' = jc\ />'/!»'=/, kp"=x'(\+oL) = x\ p"m!'=y\

À//'' = x'(i + a)':=a''\ p'"m'"*=zf" Nous voulons

trouver l'expression de l'aire qui, à partir de p' ni' , est comprise entre la courbe et l'axe des x prolongés à l'infini. Il est aisé de voir que les aires f Çx"—x J ), y" {x ,n — x"),

y"(jc w — x"' ) des rectangles m' p", m" p'" , m'" p™

sont en progression géométrique décroissante , et que a étant aussi petit que possible, ces rectangles convergent en somme vers Taire cherchée. Or, le premier rectangle

FIl^ III^ et

y(x" — x' )=- 7; (aa/) = — - , le second rectangle

y» (x"' —x")= x ,*") s i comme on le trouve en remplaçant

j* et y" par leurs valeurs données par l'équation de l'hyperbole. Or, d'après le premier lemme, la différence des deux premiers rectangles (qui sont les deux premiers termes de

la progression décroissante), savoir : J"^^ est au second

et flX^ • 9Ï%^ et

terme comme le premier rectangle — ^- est à la

• ■ FIX^ et

somme s de tous les rectangles , moins le premier —j- . Ou, en réduisant, a : i : : : s— , négligeant les in-

finiment petits du second ordre : s= — .

(F/g. 12.) 3° Considérons la parabole du troisième degré j 3 =m.x\ On veut trouver Taire À ///«'d'un segment de cette courbe; considérons une suite d'abcisses et d'ordonnées décroissantes convergeant vers zéro , savoir A// = x' , // m' =f , A/>":= x"= x J ( i - a) , p"m"=

À/>'" = x'"=x'(i-a/, p"'m"'=j J " il est aisé de

voir que les rectangles successifs m' p", m"p"' , etc

sont en progression géométrique décroissante. Or, le premier

/»'//', ou y (x 7 — x") = m 3 x* ' ax* = *ni s x i 3 , le second

rectangle /»"/>"' ou /'(x" -x''')=w y x / ( i — a) 3 (i— a) a. x". En appliquant le premier lemme et comparant la différence des rectangles au second rectangle , et désignant la somme des rectangles à l'infini pari, on aura :

-L — — -L L JL

i — (i— a) 3 : (i— a) 8 :: a./n^ 3 : s — a./w 3 x / 3 . Or, si

nous posous la progression géométrique décroissante i p) : (î— p) a : (i— p) 3 : (i — p) 4 : (i— p) 5 , on prouverait par le second lemme, que (i — p) 5 = i — 5P; mais nous

pouvons supposer que (i — a)" 3 "=(i— p), ou (i— <x)=(i~- p) 3 , en négligeant les quantités du second ordre en p , on aura :

a = 3p ou P=~3 ; donc(i— p) 5 =(i — a) 3 = i — -^-a; par

suite la proportion précédente deviendra :

5 5 ' j il

^ a : i — j a : : a wi 3 x' 3 : 5 — a /» 3 x'' 3 , d'où , en négligeant

les termes du second ordre, 3 x 7 3 . Les exemples que

nous avons rapportés paraissent suffisants à Fermât pour qu'on puisse par induction généraliser les règles des quadratures des hyperboles ou paraboles de tous les degrés , règles qui renferment les principes de l'intégration des monômes à exposants entiers ou fractionnaires positifs ou négatifs.

L'illustre géomètre considère ensuite des équations a plusieurs termes, telles que ay* z=.x*-{-b x* ; il remarque que si on pose ay*=za*v, on aura a* f = x 3 -f-^

et il est évident que la courbe dont l'ordonnée serait e, aurait une aire qui serait la somme de deux aires paraboliques dont les équations seraient «V=jc 3 et a"^ f =zbx\ Ces aires , prises dans des limites convenables et ajoutées ensemble , donneront ce que Fermât appelle la somme des/ 3

qu'on désigne actuellement par Jjr % dx.

(Fig. 13.) Fermât démontre ensuite par des considérations géométriques et analytiques la transformation connue sous le nom d'intégration par parties. Pour bien comprendre le sens de ses procédés , remarquons d'abord que si une somme a-\-cc-\- a! -j-a"-|- , etc. , est élevée au carré , et que a , a' , a" soient très-petits , de telle sorte qu'on puisse négliger a% a'*, a"*, etc.. , le carré de cette somme pourra se mettre sous la forme :

a 9 +ia<z-\- 2(/7-fa)a'4- 2 (a-f-a+a' )a" + 2 (a + a + a' + a") a'" + , etc

Cela admis , considérons une courbe ni m' m" m'" . . M ; traçons les abeisses et les ordonnées des points infiniment rapprochés m , m' , m" ... M ; les coordonnées du point m seront a , b, celles de M seront A, B , l'abcisse p f m' z=x\ p"m"= 3c"=x' -\-ol, p'" m" ' = x" ' = x' + a + a' , x" = x' -|-a + a' + a" . a, a', a"... désignant les accroissements successifs et infiniment petits s m", liri" , £m ,v ... de l'abcisse x' . Nous voulons présentement calculer la somme du carré de chaque abeisse par la différence des ordonnées correspondantes ; savoir :

p'rri* . bp % . p' p"+p'" m'" * . f f +... ou ...

* ' ) + (/ - r") + ' if-f" ) +

+A.'(jr< w - 1 >-B);

mais x" a = x'*-\- 1 ax* , x f " 9 = x r i +2X t 1 x" a! , x tVi =x fi -\-ix'a-\-2x"<x!+2x" , oL" + . ... par suite la dernière sommation deviendra, par la substitution de ces valeurs , en isolant successivement les facteurs x! *, 1 a x 1 , 3 a' x" et faisant les réductions évidentes :

X " (b - B) - 2 « x' B - 2 a' x" B - 2 a" jc"' B +.. .

.. . + 2 x'f a + 3 tfyV + 2/' /" a" +

Mais a, a', a", étant les accroissements de x' , x",... d'après les principes des quadratures paraboliques ci -dessus énoncés, la somme — B(2ax' -|-2a' x"...), dans les limites de la figure, vaut — -B (A a — x' 7 ); or x' % diffère infiniment peu de à 1 ; donc l'expression précédente deviendra

(ï'b — BÀ a + z.fxy dx; en désignant parj^la somme

des produits des abcisses par les ordonnées, et par dx l'accroissement de l'abcisse ; ce qui donne le résultat de l'intégration par parties, et fait dépendre la sommation

J x*djr de 2 j x.jrdx.

Si, au lieu de considérer les carrés des abcisses multipliés par la différence des ordonnées, on avait considéré les cubes de ces abcisses multipliés par les mêmes différences, c'està-dire x l dy 9 une démonstration analogue permettrait de

faire dépendre la sommation J x l dy de 1>J x^ydx , et en

général J x"'dy dépendrait de ni J x'"~ l y.dx.

Expliquons , sur deux exemples que choisit Fermât , l'usage qu'il fait de sa transformation ; prenons d'abord l'équation du cercle/" -|-x':= b\ il est clair que la somme

des/* ou plutôt Jy'dx est connue par la quadrature de la parabole; car si on pose j a =6t', l'équation précédente deviendra : b v -\- x* = b* , et la sommation des v Qujvdx est l'aire d'une parabole. Supposons qu'il soit question de trouver la sommation desj 3 ou j j z dx : cette sommation

dépend, d'après ce qui précède, de 3 J y a x.df, posons

y*x=b\z, d'où l'équation du cercle devient, en

remplaçant x par cette valeur, Z^s'-f ^—b*^ et la sommation Z ^y y xdy n'est autre chose que zjz.dy, c'està-dire l'aire de la courbe représentée par la dernière équation ; mais pour déterminer cette aire , nous n'avons

qu'à poser z = ^-£-; par suite la dernière sommation sera 3 r

jlX'iidy et l'équation de la courbe b 1 u* -^-y* = b*y\ Mais la sommation précédente n'est autre chose que

j jj i du=j I yudy; or si nous posons y*z=:bt, l'équation de la courbe deviendra u* -\-t'z=bt , et la sommation Zjtdu. Cette sommation est connue, puisque la dernière courbe est le cercle qui a pour rayon en remontant on voit donc que la sommation jy*dx dépend uniquement de la" quadrature du cercle.

Prenons , pour dernier exemple , la question suivante : soit proposée la courbe tf-=zx*y-\-b*y : on veut trouver

son aire ou la sommation fydx, posons y.b = z\ l'équation deviendra b*zz(x*-{-b'*) z- 9 , dans laquelle il s'agit de

"—^ qui est la même que \ydx\

mais la sommation Ç z % dx dépend de 2 J x.z.dz, posons

xz=b.u, d'où x= 1 -^-, l'équation deviendra b'z=u % -\- z\

Or, la dernière sommation à trouver étant ijx.z.dz ou

zb y u.dz , revient à Taire du cercle représenté par l'équation 6*=w*-|-s a . Le calcul intégral donne, en effet, un arc de cercle pour l'aire de la courbe, & = (x 1 -|- b % ) y . Il est curieux de montrer par quelle transformation ingénieuse

Fermât déduit la génération de cette courbe du troisième degré , d'une parabole du second degré.

(Fig. 14.) Soit y*-=zkx l'équation de la parabole A/w, prenons, à partir de l'origine et sur le prolongement de l'axe des x, trois distances AA',À' A", A" A'", égales à c, et élevons aux points A, A', A" des parallèles à l'axe des^*. Par un point quelconque m de la courbe , menons une parallèle /?io, telle que m a! : a' a" : : a! a" : a"o , ou

x + c : c : : c : a" a =— 1— , le point o , ainsi déterminé ,

étant rapporté à deux coordonnées oa"=zz , a"h!'-=iy,

nous aurons zz=.——\ mais par l'équation de la parabole

xz=Xr\ donc, z = ? . Si kz=c=b , on trouve

z = identique à l'équation proposée.

Par des transformations analogues, Fermât ramène a la quadrature du cercle la détermination de l'aire de la courbe

donnée par l'équation y* = — — — . Nous n'insistons pas

sur le développement de ce dernier cas, parce que nous en avons dit assez pour faire voir ce que Fermât a inventé dans le calcul des sommations ou dans le calcul intégral. En faisant usage de la progression géométrique décroissante , il intègre les monômes de la forme xfdx, lorsque l'exposant est fractionnaire , positif ou négatif; et , par suite , les fonctions de la forme (a x*-\-b x fi -\-...)dx. Par une construction qui revient a l'intégration par parties, et en faisant usage de transformations ingénieuses aux équations des courbes , il ramène à la quadrature du cercle l'intégration des fonctions entières du second degré , affectées du radical du second degré , lorsque ces fonctions sont multipliées par des expressions rationnelles.

Dans son mémoire sur la comparaison des lignes courbes

avec les lignes droiles, l'illustre géomètre ne donne pas une nouvelle extension à ses méthodes analytiques ; il les applique seulement a un exemple remarquable , et il traite une question nouvelle a son époque : nous nous bornerons à reproduire la substance de la longue dissertation de Fermât.

Dissertation géométrique sur la comparaison des courbes

et des lignes droites.

Les géomètres n'ont pas encore égalé une courbe purement géométrique à une ligne droite ; car ce qui a été démontré par un géomètre anglais ( Wren ) , très-subtil; savoir que le premier arc de la cycloïde est égal au quadruple du diamètre de la circonférence génératrice, parait, de l'avis des plus savants, ne s'appliquer qu'à des questions limitées. Ils admettent , en effet , que c'est une loi de la nature qu'on ne puisse trouver une ligne droite égale à une courbe, à moins qu'on n'ait d'abord supposé une autre droite égale en longueur a une autre courbe ; et ils expliquent par ce moyen la rectification possible de la cycloïde , parce qu'on ne peut disconvenir que la longueur de la circonférence génératrice ne soit égale à la base du premier arc cycloïdal ; mais ce que nous allons expliquer montrera ce qu'il y a de vrai dans ce qu'ils considèrent comme une loi de la nature , et fera voir le danger qu'il y a de convertir en axiomes généraux des résultats déduits de quelques faits particuliers. Nous prouverons, brièvement, qu'une courbe géométrique , qui ne dérive pas d'une autre courbe égalée à une ligne droite , peut cependant être rectifiée.

(Fi$> 15.) Fermât n'emploie pas, comme Àrchimède, les périmètres des polygones inscrits et circonscrits à une courbe pour obtenir deux limites de sa longueur. Il considère , par exemple, une courbe A6, concave vers l'axe kx> et

dont, par suite , les éléments font avec cet axe des angles de plus en plus petits. Cela posé , il prend trois points consécutifs m", m , m' sur* la courbe , tels que menant les ordonnées, leurs distances p"p,pp' soient égales. Cela posé, il est clair que si on mène la tangente om k au point m, les deux parties om, mk de celte tangente qui par l'hypothèse sont égales, seront telles que om sera moindre que l'arc de la courbe mm", et que mk sera plus grand que mm' . En effet, menant deux parallèles mi, m' c h Ajc, on voit que mo est une oblique moindre que la corde qui joindrait les points mm", et qu'à fortiori mo sera moindre que l'arc mm". On voit aussi que mk >mc-\-cm' ; mais cette ligne brisée étant enveloppante de m m' est plus grande que cet arc.

Si donc on veut avoir une limite supérieure de la courbe kb,\\ suffira de prendre des abcisses kp", kp , A// . . . et de mener en chaque point de la courbe correspondant , une tangente prolongée jusqu'à l'ordonnée qui suit , en avançant de A vers x. La limite inférieure sera obtenue en menant des tangentes aux mêmes points , et en les prolongeant jusqu'aux ordonnées qui précèdent , de x vers A ; si les distances kp", p"p, pp' ... sont égales, on voit très-bien que les deux sommes de tangentes ne différeront que de l'excès de la première tangente au point A de l'un des systèmes sur la tangente au point b de l'autre système. Or, si les abcisses sont infiniment rapprochées , cette différence étant nulle , il résultera que les deux limites se confondront : on peut donc trouver la longueur de l'arc d'une courbe géométrique , en sommant les tangentes successives à la courbe comprise entre les ordonnées.

Cela établi, Fermât démontre très -simplement que la parabole dont l'équation est )*=-^(i) est rcclifiablc.

(Fig. 16.) Pour exprimer la longueur de l'arc parabolique A6, qui répond à l'équation précédente, en fonction de l'abcisse A x , menons en un point quelconque m une tangente smn, que nous terminons a l'axe des .r et à l'ordonnée q n aussi rapprochée qu'on voudra de m p. Traçons enfin la ligne mi parallèle à l'axe des x et égale a pq ^ nous pourrons poser les proportions mn : ms :: mi : sp; mais la mélliode des tangentes de Fermât donne pour la

sous-tangente, s p=-~-x, x étant l'abcisse Ajd du point m,

par suite /»i'=: — «r'-|--p Par la substitution de ces valeurs, la proportion précédente deviendra

mn :x v 7- ? +1 --m : i x; d ' où " = (W 7 + f) ?•

Mais si-^-y — -f^- était l'ordonnée d'une parabole dont

l'équation serait,/* = i + j^j , on voit que la somme des

mn , correspondants a des points consécutifs très-rapprochés de l'arc \b , serait équivalente à l'aire d'une parabole que Fermât a appris à déterminer, et qui serait égale à :

AIT 1 "*/ Vg ex P ression q« on P eut instruire géométriquement comme tous les radicaux du second degré, en rétablissant l'homogénéité. On voit donc que la rectification de la courbe parabolique dépend d'une quadrature d'aire qui est aisée.

Fermât déduit de la parabole qu'il rectifie, une infinité d'autres courbes rectifiables. Si , en effet , l'arc A m dont nous avons donné l'expression (a) , était pris pour ordonnée d'une courbe nouvelle qui aurait les mêmes abcisses que la première , courbe qu'on tracerait en prolongeant une ordonnée telle que pm, jusqu'à ce que sa longueur fût égale a l'arc A m , l'équation de la nouvelle courbe serait

de même forme que (i) , en posant

= /' el " + j = x ' » ceUe nouvelle courbe sera

rectifiable comme la courbe (î), et de cette seconde courbe on en déduit une troisième rectifiable , en conservant toujours les mêmes abcisses , et prenant le nouvel arc rectifié pour ordonnée , et ainsi de suite à l'infini.