DES LETTRES DE P. DE FERMAT

3 Juin 1636. — De Fermât au Père Mer senne.

(Fig. 32.) Fermât annonce au Père Mersen ne qu'il prépare un traité sur les hélices ; il donne l'énoncé suivant :

Un cercle a pour rayon A B , et pour centre A ; une droite partant du rayon AB se meut autour du point A ; de telle sorte que, lorsque cette droite a parcouru lare BON, on prend sur sa longueur, à partir de A, un point M , tel qu'on ait : A M 3 : A B 9 : : arc B G N : 2 <* . AB. Le lieu du point M sera une hélice qui a les propriétés suivantes : Après une révolution complète du rayon vecteur, l'aire AOMSA de l'hélice est la moitié du cercle de rayon AB. L'aire décrite par le rayon vecteur dans la seconde révolution est double; les aires des 3 me , 4 me ... révolutions, s'accroissent et diffèrent entre elles de «■ . A B\

2 Septembre 1636. — Au Pire Mer senne.

Quand nous parlons d'un nombre composé de trois

carrés seulement , nous entendons un nombre qui n'est ni carré» ni composé de deux carrés; et c'est ainsi que Diophante et tous ses interprètes l'entendent , lorsqu'ils disent qu'un nombre composé de trois carrés seulement, en nombres entiers, ne peut jamais être divisé en deux carrés , pas même en fractions ; autrement , et au sens que vous semblez donner à votre proposition , il n'y aurait que le seul nombre trois qui fût composé de trois carrés seulement en nombres entiers : car , premièrement , tout nombre est composé d'autant de carrés entiers qu'il a d'unités; secondement , vos nombres de 11 et 14 se trouvent composés chacun de 5 carrés : le premier, de 4, 4, 1,1,1;

le second, de h , 4 , V, 1, 1. Que si vous entendez que le nombre que vous demandez soit composé de trois carrés seulement , et non pas de quatre, en ce cas la question tient plus du hasard que d'une conduite assurée; et si vous m'en envoyez la construction , peut-être vous le ferais-je avouer. De sorte que j'avais satisfait a votre question au sens de Diophante , qui semble être le seul admissible en celte sorte de question. Or , qu'un nombre, composé de trois carrés seulement , en nombres entiers, ne puisse jamais être divisé en 2 carrés, non pas même en fractions 3 personne ne l'a jamais encore démontré, et cest à quoi je travaille , et crois que j'en viendrai à bout ; cette connaissance est de grandissime usage; et il semble que nous n'avons pas assez de principes pour en venir à bout ; M, de Beaugrand e*l en cela de mon avis. Si je puis étendre en ce point les bornes de l'arithmétique, vous ne sauriez noire les propositions merveilleuses que nous en tirerons.

23 Août 1636. — De Fermât à Pascal et à Robcr val.

(Fig. 33. ) Soit A le sommet d'un segment parabolique € AB et AD son axe, le volume du conoïde parabolique engendré par la révolution de la parabole, sera au cône droit, dont CB serait le diamètre de la base et A le sommet , dans le rapport de 3 à 2. Si le segment parabolique tourne autour de CD, le volume engendré par le segment CDA, sera au cône, dont le sommet est C et le rayon de la base A D , dans le rapport de 8 à 5.

J'ai trouvé beaucoup d'autres propositions géométriques , comme la restitution de toutes les propositions des lieux plans et autres; mais ce que j'estime plus que tout le reste, est uue méthode pour déterminer toutes sortes de problèmes plans et solides , par le moyen de laquelle je trouve l'invention , maximœ et minimœ , in omnibus omninb problematibus , et ce, par une équation aussi simple et aussi aisée que celles de l'analyse ordinaire. Il y a infinies questions que je n'aurais jamais pu résoudre sans cela , comme les deux suivantes :

« Dans une sphère donnée inscrire le cône de la plus grande surface , y compris la base.

» Dans une sphère donnée inscrire le cylindre de plus grande surface , les deux bases comprises. >

11 semble que ces deux questions sont nécessaires pour une plus grande connaissance des Ggures isopérimètres.

Celte méthode ne sert pas seulement à ces questions , mais à beaucoup d'autres pour les nombres et pour les quantités.

16 Septembre 1636. — De Fermât à Roberval.

Permettez-moi de vous demander la démonstration de

cette proposition , que j'avoue franchement que je n'ai encore su trouver, quoique je sois assuré qu elle est vraie :

c La somme des carrés de deux droites rationnelles , coramensurables en longueur, étant appliquée à la double somme des côtés de ces carrés, excédant d'une figure carrée, la largeur de l'excès sera apotome. »

( Note. ) — Le x'* livre d'Euclide donne le sens de cet énoncé. Appliquer une surface K a à une droite A, c'est diviser A en deux segments x et A — x, tels que x (A — :r) = K*. Mais alors la droite A étant tracée , si sur le segment A — x on élève une perpendiculaire égale à x , on aura un rectangle qui ne couvrira pas toute la ligne A , mais seulement le segment A — x ; il y aura défaut du carré x* pour couvrir toute la ligne A. On aurait pu aussi appliquer l'aire K a à A en faisant un rectangle (A-f-y) y = K a , lequel étant tracé, aurait dépassé la ligne A , et l'excédant aurait été le carré i/\

Cela compris , l'énoncé de Fermai est très-clair. 11 applique, en excédant, la somme de deux carrés rationnels a*-j-b* sur la ligne 2 a -4- 2 b ; de telle sorte qu'on devra avoir : (2 A-+-2 y). î/ = rt a -+-6 a . La largeur y du carré qui fait l'excès sera apotome, c'est-à dire, une différence incommensurable. L'équation donne y = — ( a -f b ) ~ v / 2« > -f-2^ a -+-2 ab. Tout se réduit à prouver, comme le fait observer Roberval dans

sa réponse à Fermai , que 2 « î +2 i' + 2a A ne peut être un carré.

Fermât ajoute : Vous ne sauriez croire combien la science du x e livre d'Euclide est défectueuse ; je veux dire que cette connaissance n'a pas encore fait de grands progrès , et qu elle est pourtant de grandissime usage. J'y ai découvert beaucoup de nouvelles lumières, mais encore la moindre chose m'arrête, comme le théorème que je viens de vous écrire, qui semble d'abord plus aisé à démontrer qu'il ne l'est.

22 Septembre 1636. — De Fermât à Robervul.

Monsieur,

Je surseoirai, avec voire permission, à vous écrire sur le sujet des propositions de mécanique , jusqu'à ce que vous aurez fait la faveur de m'envoyer la démonstration des vôtres ; ce que j'attends , sur la promesse que vous m'en faites. Sur le sujet de la méthode des nwximis et minimût , vous savez que , puisque vous avez vu celle que Monsieur Despagnel vous a donnée ; vous avez vu la mienne que je lui baillai , il y a environ sept ans , étant à Bourdeaux ; et en ce temps je me souviens que Monsieur Philon, ayant reçu une de vos lettres, dans laquelle vous lui proposiez de trouver le plus grand cône de tous ceux qui auront la superficie conique égale à un cercle donné, il me l'envoya et j'en donnai la solution à M. Pradcs pour vous la rendre; si vous rappelez votre mémoire, vous vous en souviendrez peut-être, et que vous proposiez celle question comme très-difficile et ne l'ayant pas trouvée. Si je rencontre parmi mes papiers votre lettre, que je gardai pour lors, je vous l'envoyerai. Si Monsieur Despagnel ne vous a proposé ma Méthode que comme je la lui baillai pour lors , vous n'avez pas vu ses plus beaux usages ; car je la fais servir en la diversifiant un peu : premièrement pour l'invention des propositions pareilles à celle du conoïde que je vous envoyai par ma dernière. 2° Pour l'invention des tangentes des lignes courbes, sur lequel

sujet je vous propose ce problème : A un point donné de la conchoïde de Nicomède , mener une tangente. 3° Pour l'invention des centres de gravité de toutes sortes de figures , môme différentes des ordinaires, comme en mon conoïdcet autres infinies, de quoi je ferai voir des exemples quand vous voudrez. 4° Aux problèmes numériques, auxquels il est question de parties aliquoles , et qui sont tous très-difficiles. C'est par ce moyen que je trouvai 672 , duquel les parties sont doubles aussi-bien que celles de 120 le sont de 120; c'est aussi par là que j'ai trouvé des nombres infinis qui font la même chose que 220 et 284 , c'est-à-dire que les parties du premier égalent le second , et celles du second, le premier; de quoi , si vous voulez voir un exemple pour tâter la question , ces deux y satisfont, 17296 et 18416. Je m assure que vous m'avouerez que cette question et celles de la sorte sont très-mal aisées. J'en envoyai , il y a quelque temps, la solution à M. Beaugrand; j'ai aussi trouvé des nombres en proportion donnée , ou qui surpassent d'un nombre donné leurs parties aliquotes , et plusieurs autres.

Voilà quatre sortes de propositions que ma méthode embrasse , et que peut-élre vous n'avez pas sues : sur le sujet du premier, j'ai carré infinies figures comprises de lignes courbes. Comme, par exemple , si vous imaginez une figure comme la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées soient en proportion des lignes qui coupent le diamètre, cette figure se rapprochera de la parabole , et n'en diffère qu'en ce qu'au lieu qu'en la parabole on prend la proportion des carrés, je prends en celle-ci celle des cubes ( et c'est pour cela que M. de Beaugrand , à qui j'en fis la proposition , l'appelle la parabole solide). Or, j'ai démontré que cette figure est au triangle de même base et hauteur en proportion sesquilalère. Vous trouverez en la sondant qu'il m'a fallu suivre une autre voie que celle d'Archimède en la quadrature de la parabole, et que je n'y fusse pas venu par là. Puisque vous avez trouvé ma proposition du conoïde excellente, la voici plus générale :

( Fig. 34. ) Best le sommet d'une parabole, B F un diamètre, et A D une perpendiculaire à ce diamètre. Si on fait

tourner la parabole autour de A D, le volume décrit par le segment AEC B sera au cône , qui a pour base E C , et pour hauteur AE , comme 5 E D a + 2 AE . ED-f DF . AE cstà5ED a .

Pour la démonstration , outre les aides que j'ai tirés de ma méthode, je me suis servi de cylindres inscrits et circonscrits.

J'avais omis le principal usage de ma méthode, qui est pour l'invention des lieux plans et solides ; elle m'a servi particulièrement à trouver ce lieu plan que j'avais auparavant trouvé si difficile. Si on mène, de certains points donnés à un point variable, des droites telles que la somme des carrés de leur longueur soit égale à une surface constante, le point variable sera sur une circonférence.

Proposition de Fermât relative a la parabole.

( Fig. 35. ) On donne quatre points , N , D , X , R , par lesquels on veut faire passer une parabole. Supposons tracés les diamètres MA, CB, relatifs aux cordes NX, DR, ces diamètres couperont la parabole en deux points inconnus A , B , par lesquels on supposera menées deux tangentes SA, SB parallèles aux deux cordes. La droite SP, qui joint le point de concours S des deux tangentes avec le milieu de A B , sera un diamètre; mais, par une propriété des courbes du second degré, on aura la proportion SA a : ON . OX : : SB' : OR . OD. Les conséquents de celte proportion sont connus ; on aura ' donc le rapport de SA et SB, et l'angle de ces droites, qui est celui des deux cordes. On peut donc construire un triangle semblable à SA B, et, par suite , à SAP; mais l'angle AMN = N1P=ASP; on aura donc la direction de MA. Pour connaître le point A, on mènera la parallèle Dk à la tangente S A , et on fera la proportion X m a : DA* 9 : : m A : À*A , qui fera connaître le point A. Si on avait fait les constructions précédentes en prolongeant les cordes XR , ND , on aurait déterminé une seconde parabole.

h Novembre 1636. — De Fermât à fioberval.

Problème. — Trouver la somme des quatrièmes puissances des termes de la progression naturelle, 1,2, 3... x. Si vous multipliez le quadruple du plus grand nombre augmenté de 2, par le carré du triangle des nombres , et si du produit vous retranchez la somme de leurs carrés , vous obtiendrez la somme quintuple de leurs quatrièmes puissances. (Si les nombres sont 1 , 2, 3... x t la formule de Fermai sera :

ji 1 = (U-2)( x(x + ° ) a — 2 x % ). II semble que Bachet,

dans son traite des fthiltangulis , n'a pas voulu tâter ces questions après avoir fait celles des carrés et des cubes. Je serais bien aise que vous vous exerciez pour trouver la méthode générale , pour voir si nous nous rencontrerons. En tout cas , je vous offre tout ce que j'y ai fait , qui comprend tout ce qui se peut dire sur celle malière. Voici cependant une très-belle proposition , qui peut-être servira ; au moins c'est par son moyen que j'en suis venu à bout. C'est une règle que j'ai trouvée pour donner la somme non-seulement des triangles , ce qui avait été fait par Bachet et les autres, mais encore des pyramides, des triangulotriangulaircs.... à l'infini. Voici la proposition :

Le dernier côté (de la suite 1 , 2... , x) multiplié par ce côté plus 1 fait le double du triangle : x (x 1 ). Le triangle, multiplié par son p'us grand côté plus 1 , fait le triple de la pyramide : îi£±J! f x 2 ). La pyramide multipliée par le plus grand côté plus 1 , fait le quadruple du triangulo-triangulairc :

Lettre de Fermai à M. X. X.

Dans cette lettre, Fermât écrit qu'il a trouvé l'explication de la loi relative à la réfraction de la lumière par la théorie des Maximis; et il fait remarquer que Descartes , en arrivant à une vérité confirmée par l'expérience , fait usage , dans sa démons-

tration , de celle hypothèse peu probable , savoir : que la lumière emploie moins de temps à se mouvoir dans les milieux denses , que dans ceux qui sont plus rares. Fermât suppose , au contraire, que l'eau, par exemple, oppose plus de résistance à la marche de la lumière que l'air. En admettant que , dans ces milieux , la vitesse de la lumière est uniforme, les espaces parcourus dans l'unité de temps seront en raison inverse des résistances.

( Fig. 36.) Cela posé, supposons que A M est une horizontale qui sépare l'air et l'eau, et qu'un rayon lumineux, BFH va en ligne brisée de B en H ; les points B et H sont pris sur ces rayons ; de telle sorte , que B F= F H : ces deux droites se projettent sur l'horizontale, suivant les lignes AF =a, MF=i, et ces deux projections sont proportionnelles aux sinus des angles BFZ', ZFH, d'incidence et de réfraction. Admettons que , quelle que soit la direction du rayon brisé BFH, les sinus d'incidence et de réfraction soient toujours dans le rapport de a et b; Fermât suppose encore que a et b sont proportionnelles aux résistances de l'eau et de l'air. Ces hypothèses admises , il est facile de prouver que le rayon , pour aller de B en H , parcourt le chemin BFH dans un temps plus court que celui employé à parcourir le chemin infiniment voisin BOH. En effet , le mouvement , dans chaque milieu , étant uniforme , le temps employé à parcourir F H dans l'eau pourra être représenté par FIÏ; par suite le temps employé à parcourir B F =F II dans l'air, sera

F I— — BF , puisque ces temps doivent être , en raison inverse des résistances : le temps total du trajet sera donc I F -f-F H ; mais si la lumière avait parconru BoH, le temps sur Ho aurait été II 0 ; et sur Bo , il aurait été go = B o ; reste à

prouver que (1) go 4- o H > IF F H. On pourrait exprimer ces hypothénuses ou fractions d'hypothénuses qui forment les termes de l'inégalité au moyen des côtés de l'angle droit; mais alors on serait conduit à des sommes irrationnelles que Fermât évite de la manière la plus élégante. Désignons la distance trèspetite Fopar 1, et prenons, à partir du point F sur la ligne F H,

une distance Fy==^ , il nous sera aisé de prouver que

Ho > H y et que go > IF4-F?/ Par suite l'inégalité (t) , qui est la somme des doux dernières , sera satisfaite.

En effet, dans le trianglcHo F, on a : H o a = H F » + 2 b . «;

or I1?/=HF — F ?/ = H F — ^ , élevant au carré :

H ?/' = HF' + g-^T — 2bt. Mais, puisque A < HF, si on compare ces égalités membre à membre Ho 9 > Hy a ou Ho > Uy.

Dans le triangle B F on a : B o 1 = BF a + »" "+-2 a. «, multipliant les deux membres par p , il résulte:

ffo , =nBF , + v , f2-s mais 1F = -BF donc:

I F + F?/ =-£ BF , faisant le carré des deux membres ,

(lFH-Fy)'=^BF a -f ^ e+^ a , mais puisque BF > a,

il résulte de la comparaison des termes de L'égalité que go* > (IF + Fy)».

Par conséquent g o+oH > IF-r-FH, ce qu'il fallait démontrer. Si on avait placé le point o entre F et A , il aurait

fallu porter sur B F , à partir du point F la quantité p^.

Laplace, dans son calcul des probabilités, cite celte lettre de Fermât, et il fait remarquer l'habileté avec laquelle ce grand géomètre sait éviter la difficulté provenant des quantités radicales.

Lettre de Fermât à Roberval.

Monsieur ,

Après vous avoir remercié de vos civilités , et protesté que je serai ravi d'avoir des occasions à vous plaire, je vous supplierai de me faire part de votre invention sur le sujet des tangentes des lignes courbes, et encore de vos spéculations mécaniques sur la percussion, puisque vous me faites espérer la communication do vos pensées en cette matière. Après cela , je

vous dirai que M. Frénicle m'a doiïhé depuis quelque temps l'envie de découvrir les mystères des nombres, en quoi il me semble qu'il est extrêmement versé. Je lui ai envoyé les belles propositions sur les progressions géométriques qui commencent à l'unité; lesquelles j'ai non-seulement trouvées, mais encore démontrées , bien que la démonstration en soit assez cachée ; ce que je vous prie d'essayer, puisque vous les avez vues. Mais voici ce que j'ai découvert depuis sur le sujet de la proposition 12 du V e livre de Diophanle; en quoi j'ai suppléé ce que Bacbel avoue n'avoir su , et rétabli en même temps la corruption du texte de Diophantc ; ce qui serait trop long à vous déduire. 11 suffit que vous voyiez ma proposition , et que je vous fasse plutôt souvenir que j'ai autrefois démontré qu'un nombre moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire (de la forme ( 4 n — 1 ) , n'est ni carré , ni composé de deux carrés, ni en entiers ni en fractions. J'en demeurai là pour lors , bien qu'il y ail beaucoup de nombres plus grands de l'unité qu'un moltiple du quaternaire (de la forme 4 14-1)» qui pourtant ne sont ni carrés, ni composés de deux carrés, comme 21 , 33, 77... Ce qui fait dire à Bacbet, sur la division proposée de 21 en deux carrés; ce qui est impossible comme je pense (reor) , parce que ce nombre n'est ni carré, ni par sa nature composé de deux carrés, où le mot (reor) marque évidemment qu'il n'a pas la démonstration de cette impossibilité , laquelle j'ai enûn trouvée et comprise dans la proposition suivante :

Si un nombre est divisé par le plus grand carré qui le mesure , et que le quotient se trouve mesuré ( divisible ) par un nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire (de la forme 4 n — 1 ) , le nombre donné n'est ni carré , ni composé de deux carrés , ni en entiers ni en fractions. Exemple : soit donné 84 ; le plus grand carré qui le mesure est 4 , le quotient 21 , lequel est mesuré par 3 ou bien par 7 moindres de l'unité qu'un multiple de 4, je dis que 84 n'est ni carré ni composé de deux carrés, ni en entiers, ni en fractions.

Soit donné 77 ; le plus grand carré qui le mesure est 1 ; le

quotient 77, qui est ici le même que le nombre donné, se trouve mesuré par 11 ou par 7 , moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire, je dis que 77 n'est ni carré , ni composé de deux carrés ni en entiers ni en fractions.

Je vous avoue franchement que je n'ai rien trouvé en nombres qui m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition , et je serai bien aise que vous fassiez effort de la trouver , quand ce ne serait que pour apprendre si j'estime plus mon invention qu'elle ne vaut. J'ai démontré ensuite cette proposition, qui sert à I invention des nombres premiers :

Si un nombre est composé de deux carrés premiers entre eux, je dis qu'il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de quaternaire; comme, par exemple, ajoutez l'unité, si vous voulez, à un carré pair, comme 1 0 i0 , je dis que 1 0 10 -h 1 ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de 4. Et ainsi, lorsque vous voudrez éprouver s'il est nombre premier , il ne faudra point le diviser ni par 3, ni par 7, ni par 11 , etc.

Si ne faut-il pas oublier toul-à-fait la géométrie ; voici ce qu'on m'a proposé, et que j'ai trouvé aussitôt :

Par un point extérieur ou intérieur à une parabole, mener une droite qui forme un segment équivalent à une aire donnée; et si le point est intérieur, mener parce point la corde qui sépare le plus petit segment.

Si vous ne rencontrez pas d'abord la construction , je vous ferai part de la mienne.

18 Octobre 1640. — A M. X. X.

Monsieur ,

— Comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus

que je ne sais , je dis avec même franchise ce que je ne sais pas ; que je n'ai pu encore démontrer l'exclusion de tous les diviseurs en cette belle proposition que je vous avais envoyée , et que vous m'avez confirmée touchant les nombres 3,5, 17 , 257, 6,553... (termes d'une série, dont le terme général est

( 2* m -|- 1); car, bien que je réduise l'exclusion à la plupart des nombres , et que j'aie même des raisons probables pour le reste, je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition. .. ( Euler a fait voir qu'elle était incxacle ).

Il me semble qu'il m'importe de vous dire le fondement

sur lequel j'appuie les démonstrations de tout ce qui concerne les progressions géométriques , qui est tel :

Tout nombre premier mesure (divise) infailliblement une des puissances — 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de ladite puissance est sous-multiple du nombre premier — 1 , et après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont de môme à la question.

Exemple: soitia suite 3', 9*, 27 3 , 81* , 243 5 , 729«

Prenez par exemple le nombre premier 13, il mesure (divise ) la troisième puissance — 1 , dans laquelle 3 est sous-multiple de 12 , qui est moindre de l'unité que 1 3 ( 1 3 divise 27 3 — 1 ). Et parce que l'exposant 6 de 729 est multiple de 3, 13 divise aussi 729 6 — 1 ; et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers , de quoi je vous enverrais la démonstration si je n'appréhendais d'être trop long. Mais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure une puissance -f- 1 en toute sorte de progression. Car si la première puissance — 1 , qui est mesurée par ledit nombre premier, a pour exposant un nombre impair, en ce cas il n'y a aucune puissance + 1 dans toute la progression qui soit mesurée par ledit nombre premier.

Exemple : Parce qu'en la progression double , 28 mesure la puissance ll m * — 1 : ledit nombre 23 ne mesurera aucune puissance -f* 1 delà progression à l'infini.

Que si la première puissance — 1 , qui est mesurée par le nombre premier donné , a pour exposant un nombre pair , en ce cas la puissance 1 , qui a pour exposant la moitié dudit premier exposant , sera mesurée par le nombre premier donné.

Toute la difficulté consiste à trouver les nombres premiers qui ne mesurent aucune puissance -f- 1 en une progression donnée , car cela sert , par exemple , à trouver que les deux nombres premiers mesurent les radicaux des nombres parfaits , et à mille autre choses; comme, par exemple, d'où vient que la 37 me puissance — i , en la progression double , est mesurée par 223? En un mot, il faut déterminer quels nombres premiers sont ceux qui mesurent leur première puissance — 1 , et, en telle sorte, que l'exposant de ladite puissance soit un nombre impair; ce que j'estime fort mal aisé, en attendant un plus grand éclaircissement de votre part , et qu'il vous plaise défendre cet endroit de votre lettre où vous dites qu'après avoir trouvé que le diviseur doit Aire multiple

1 de l'exposant, il y a aussi des règles pour trouver le quantième desdils multiples -f- 1 de l'exposant, doit cire le diviseur. Voici une de mes propositions , que peut-être vous aurez aussi trouvée, que j estime beaucoup, bien qu'elle ne découvre pas tout ce que je cherche, que sans doute j'achèverai d'apprendre de vous.

En la progression double , si d'un nombre carré , généralement parlant, vous ôtez 2 , ou 8, ou 32, etc. , les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste , feront l'effet requis. Comme de 25, qui est un carré, ôtez 2, le reste, 23, mesurera la li mc puissance — 1 ; ôtez 2 de 49 , le reste, 47 , mesurera la 23 e puissance — 1 ; ôtez 2 de 225, le reste, 223, mesurera la 37« 6 puissance — 1 .

En la progression triple, si d'un nombre carré; ut supra, vous ôtez 3 ou 27 ou 243 , etc.

Les nombres premiers et moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire qui mesureront le reste , feront l'effet requis , comme : ôtez 3 de 25 , le reste 22 est mesuré par 1 1 , qui est premier et moindre de l'unité qu'un multiple de 4 ; aussi 1 1 mesure la cinquième puissance — 1 ; ôtez 3 de 121 , le reste, 1 18 est mesuré par 59 , moindre de l'unité , etc. ; aussi 59 mesure la 29 me puissance — 1 .

En la progression quadruple , il faut ôter 4 ou Ci , etc. , à l'infini ; en loule progression procédant de môme façon.

J'ajouterai encore colle pelite proposition :

Si d'un carré vous ôtez 2 , le reste ne peut être divisé par aucun nombre premier qui surpasse un carré de 2. Comme, prenez pour carré 10000, duquel ôtez 2, il reste 9998, je dis que ledit reste ne peut être divisé ni par 11 , ni par 83, ni par 167, etc. Vous pouvez éprouver la même règle aux carrés impairs, et, si je voulais, je vous la rendrais belle et générale; mais je me contente de l'avoir indiquée seulement.

Avant que de Gnir , voici une autre proposition , laquelle vous fournira peut-être quelque application , comme vous y êtes très-heureux.

Si un nombre est mesuré par un autre , et que le nombre divisé soit encore divisé par un autre nombre moindre que le premier diviseur, en ce cas, si vous ôtez du quotient de la seconde division , multiplié par la différence des deux diviseurs , le reste de la seconde division , ce qui restera sera mesuré par le premier diviseur.

Exemple : 121 est mesuré par 11; divisez encore 121 par 7, le quotient sera 17, et le reste de la division , 2; multipliez le quotient 17 par 4, différence du premier et du second diviseur ; et du produit 68 ôtez 2 , le reste , 66, sera aussi mesuré par 11 , premier diviseur.

Que si le second diviseur est plus grand que le premier , en ce cas, si vous ajoutez au quotient de la seconde division multiplié par la différence des deux diviseurs le reste de la seconde division , ce qui restera sera mesuré par le premier diviseur.

Exemple : î 17 est mesuré par 3 ; divisez encore 1 17 par 4, le quotient sera 29, et le reste de ladite division, 1 . Ajoutez au quotient 29 multiplié par la différence des diviseurs , qui ne change ici rien parce que c'est l'unité, le reste de ladite division . qui est 1; la somme 30 sera aussi mesurée par 3, premier diviseur.

J'ai déjà trop écrit , et il me semble qu'il est temps que vous parliez , après avoir employé si mal votre temps à lire celle longue lettre , qui vous confirmera que je suis, etc. , etc.

— ikC, —

( Note-. ) Normal avait découvert les propositions suivantes relatives aux résidus quadratiques (Opéra varia, Lettres, W allisii opéra , tome 2 ).

4-2 est résidu quadratique de tout nombre qui n'est divisible ni par k ni par aucun nombre de la forme 8 n + 3 ou 8 n -f- 5 , et non résidu de tous les autres , par exemple de tous ceux de la forme 8 n + 3 , 8 n -f- 5 , tant premiers que composés.

— -2 est résidu de tout nombre qui n'est divisible ni par 4, ni par aucun nombre premier de la forme 8w-r-5ou8ra-r-7.

— 3 est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par 8, ni par 9 , ni par aucun nombre premier de la forme 6 n -f- 5 et non résidu de lous les autres.

+ 3 est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par h t ni par 9, ni par aucun nombre premier de la forme 12 n + 5 ou 12 n 7 et non résidu de lous les autres.

Lettre de M. de Fermai a Mer senne.

Dans cette longue lettre , dont la date n'est pas indiquée , Fermât dit à Mersenne que les inventions numériques de Frénicle le ravissent; il désirerait connaître quelques-unes de ses méthodes. Fermât avoue que les siennes , quoique sures , conduisent à de grands calculs. — 11 écrit aussi à Mersenne que le livret de Dcs-Argues sur les coniques, où il s'est montré inventeur, lui a paru très -intelligible et très- ingénieux. Il ajoute qu'il réduisait bien le solide de la roulette à des solides plus simples , mais qu'il lui paraît impossible de le réduire à des sphères, des cônes, ou des cylindres.

Fermât écrit dans cette lettre qu'il a depuis longtemps trouvé des procédés pour former des carrés magiques de toutes les manières possibles ; il a aussi formé des cubes magiques.

H cite plusieurs exemples de carrés magiques, mais il ne démontre rien. — Par exemple, si on prend les nombres naturels 1 , 2 , 3... 36 , il peut les ranger, dit-il , en carrés magiques , d'une douzaine de manières. En voici une :

La somme des colonnes verticales, horizontales et diagonales est toujours la même. Voici un second arrangement :

Fermât termine ainsi sa lettre :

En voilà assez pour donner de l'exercice à M. de Frénicle, car je ne sais guère rien de plus beau en l'arithmétique que les nombres que quelques-uns appellent planelarios et les autres magicos. El de fait, j'ai vu plusieurs talismans où quelques-uns de ces carrés , rangés de la sorte , sont décrits, et , parmi plusieurs , un grand d'argent qui contient le 49 rangé selon la méthode de Bachet ; ce qui fait croire que personne n'a connu la générale ni le nombre de solutions qui peuvent arriver à chaque carré. Si la chose est sue à Paris, vous m'en éclaircirez; en tout cas, je ne la dois qu'à moi seul.

Lettre de Fermai à Mer senne.

Mon révérend Père,

J'ai reçu avec grande satisfaction votre lettre , accompagnée de celle de M. Frénicle, qui me conGrme en l'estime que je faisais de lui. J'y réponds succinctement, et, premièrement, sur ce qu'il a douté que j'eusse une méthode générale pour ranger tous les carrés pairs à l'infini , je vous prie de l'assurer du contraire; car il est très-certain qu'il y a plus de dix ans

que je la découvris , et en donnai dès lors des exemples sur des carrés plus hauts que ceux de Bachot, comme M. Despagnet vous pourrait témoigner. Il est vrai que je n'avais pas songé de déterminer exactement en combien de façons ces carrés pourraient être ordonnés , et j'avoue que je n'avais pas vu toutes les manières qui y conduisent, puisque je doutais même que le carré pût demeurer magique en levant une seule enceinte. Mais ayant trouvé une règle pour les ordonner en beaucoup de façons , je crus qu'elle les contenait toutes ; ce qui me semble excusable , puisque je vous envoyai ma lettre aussitôt après la première méditation que j'eus faite sur ce sujet. Depuis que j'ai reçu la dernière de M. Frénicle, j'ai aussitôt découvert la question du carré 22 ; en sorte qu'en levant trois enceintes, il reste magique, et du restant encore 2 et qu'il demeure magique, et puis une seule, du reste , à la môme condition : je me contenterai pour ce coup de vous envoyer le carré qui reste après les trois premières et les deux secondes enceintes ôlées , duquel si vous levez une seule enceinte , le reste demeure magique, comme vous verrez.

122 126 125 361 332 363 364 365 366 Ltfi 112 Uii 347 118 338 339 LM U3 342 112 344 345 139 [M 325 lûM 169 168 318 319 320 321 163 162 324 160 292 293 191 190 299 298 297 186 185 184 302 193 270 280 272 273 211 210 209 208 278 279 205 215 248 227 250 251 230 232 231 233 256 257 258 237 226 249 228 229 252 254 253 255 234 235 236 259 204 214 206 207 277 276 275 274 212 213 271 281 182 192 301 003 189 188 187 296 295 294 183 303 171 315 323 223 161 165 166 162 317 316 120 314 li9 346 142 116 640 341 111 343 1A1 110 337 336 369 359 360 121 123 112 121 120 109 367 368 358

Parce que le temps me manque , je diffère à vous envoyer les cinq enceintes qui manquent pour parfaire le carré entier de 22 , jusqu'au départ du prochain courrier. Après cela vous devez croire que , dès j'aurai le loisir , j'irai aussi avant sur ce sujet qu'il est possible.

Pour ce qui est des cubes , je n'en sais pas plus que M. Frénicle ; pourtant , je puis les ranger tous , à la charge que les diagonales seules des carres , que nous pouvons supposer parallèles à l'horizon, seront égales aux côtes des carrés; ce qui n'est pas peu de chose. En attendant qu'une plus longue méditation découvre le reste, je dresserai celui de 8 , 10, 12, à ces conditions , si 51. Frénicle me l'ordonne. Pour les carrés qui ont des cellules vides, j'y travaillerai au plus tôt.

Ce que j'estime le plus est cet abrégé pour les nombres parfaits ; à quoi je suis résolu de m al tacher , si M. Frénicle ne me fait pas part de sa méthode. Voici trois propositions que j'ai trouvées, sur lesquelles j'espère de faire uu grand bâtiment.

Les nombres moindres de l'unité que ceux qui procèdent de la progression double, comme 1,3, 7, 15, 31 , 63... soient appelés les nombres parfaits parce que toutes les fois qu'ils sont premiers ils les produisent ; mettez au-dessus de ces nombres autant en progression naturelle, 1, 2, 3... qui soient appelés leurs exposants.

La suite sera 1«, 3*,7 S , 15*. 31 5 , 63«, 127 7 255 8 , 2047".

Cela posé, je dis : 1° que, lorsque l'exposant d'un nombre radical est composé, son radical est aussi composé; comme parce que 6, exposant de 63, est composé, je dis que 63 est aussi composé; 2° lorsque l'exposant est premier , je dis que son radical, moins l'unité, est mesuré par le double de l'exposant : comme parce que 7, exposant de 127, est nombre premier, je dis que 126 est multiple de 14; 3» lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical ne peut être mesuré par aucun nombre premier que par ceux qui sont plus grands que l'unité, qu'un multiple du double de l'exposant, ou que le double de l'exposant : comme parce que 11 , exposant de 2047, est nombre premier, je dis qu'il ne peut être mesuré que par un nombre plus grand de l'unité que 22 , comme 23 , ou bien par un nombre plus grand de l'unité qu'un multiple de 22 ; en effet, 2047 n'est mesuré que par 23 et 89 , duquel, si vousôtez l'unité, reste 88, multiple de 22. Voilà trois fort belles propositions que j'ai trouvées et prouvées , non sans

peine. Je les puis appeler les fondements de l'invention des nombres parfaits. Je ne doute pas que M. Frénicle ne soit allé plus avant ; mais je ne fais que commencer , et sans doute ces propositions passeront pour très-belles dans l'esprit de ceux qui n'ont pas beaucoup épluché ces matières , et je serai bien aise d'apprendre le sentiment de M. de Uoberval.

Lettre de Fermai a M, de Carcavi, Conseiller au grand

Conseil, a Paris.

Monsieur ,

Vous m'obligez toujours , et je connais dans la continuation de vos soins celle de votre affection, de quoi je vous rends mille grâces. Pour la géométrie, je n'ose pas encore m'y attacher fortement depuis mon incommodité ; je n'aurai pourtant pas beaucoup de peine à trouver les deux de vos propositions : pour celle de la parabole, je ne l'ai pas examinée ni tentée; je remets tout ceci à ma première commodité. Mais, de peur que vous ne m'accusiez de n'envoyer rien de mon invention , je vous envoie trois nombres parmi plusieurs autres que j'ai trouvés , dont les parties aliquolcs font le mulliple.

Le nombre suivant est sous-triple de ses parties aliquotes , 14942123276641920.

Celui-ci est sous-quadruple : 1802582780370364661760.

Et celui-ci aussi : 87934476737668055040.

Puisque je me trouve sur cette matière , en voici deux que j'ai choisis parmi mes sous-quinluplcs :

Le premier se produit des nombres suivants multipliés entre eux : 8388608.2801.2401.2197.2187.1331.467.307. 289.241.125.61.41.31.

Et l'autre se produit des nombres suivants multipliés entre eux 134217728 . 243. 169 . 127. 125.113.61.43.31.29. 19.11.7.

En voici encore un sous-double de ses parties de mon invention , lequel , multiplié par 3 , fait un sous-triple : ledit nombre est : 51001180160.

C'est parmi quantité d'autres que j'ai trouvés que j'ai choisi par avance ceux-ci pour vous en faire part, afin que vous en puissiez juger par cet échantillon. J'ai trouvé la méthode générale pour trouver tous les possibles , de quoi je suis assuré que M. Roberval sera étonné, et le bon Père Mersenne aussi , car il n'y a certainement quoi que ce soit dans toutes les mathématiques plus difficile que ceci, et, hors M. Frénicle, et peut-être M. Dcscarlcs, je doute que personne en connaisse le secret, qui pourtant ne le sera pas pour vous, non plus que mille autres inventions dont je pourrai vous entretenir une autre fois, et pour exciter par mon exemple les savants du pays où vous êtes, je leur propose de trouver autant de triangles en nombres qu'on voudra , de même aire , ce que Diophanlc ni Vietc n'ont trouvé que pour trois seulement.

Lettre de Fermât à M. de Carcuvi.

Monsieur ,

Je suis marri de la perle du paquet de M. de S. Martin. Je lui écrivais sur le sujet des nombres , et lui faisais part de quelques propositions , et surtout de la suivante que M. Frénicle m'avait autrefois proposée , et qu'il m'avoua tout net ne savoir point : trouver un triangle rectangle auquel le carré de la différence des deux moindres côtés surpasse le double du carré du plus petit côté d'un nombre carré. Je lui avouai aussi pour lors que je n'en savais pas la solution , et que je ne voyais pas même de voie pour y venir ; mais depuis je l'ai trouvée avec d'autres infinies. Voici le triangle 153, 1G17, 1525. Il sert à la question suivante, pour laquelle M. Frénicle se mettait en peine de ce préalable : trouver un triangle rectangle dont le plus grand côté soit carré, et le plus petit diffère d'un carré de chacun des deux autres. Si vous jugez à propos de faire part de cette proposition à mondit sieur de Saint-Martin , je m'en remets à vous; je ne resterai pas de lui écrire par la première voie.

J'ai donné à M. l'Archevêque tin petit mémoire de corrections sor le Theon Smyrnœus , que je crois qu'il enverra à l'auteur avec le manuscrit de l'astronomie. Je serai ravi que cette occasion me serve à être connu de M. Butliaud , de qui le mérite étant connu à tout le monde, m'a été pleinement confirmé par ce nouveau travail sur le Theon , où j'ai particulièrement admiré la correction du décret de Timolhée , qui ne pouvait être due qu'à une main de cette importance.

24 Août 1654. — Lettre de Pascal à Fermai.

Pascal, dans cette lettre relative au calcul des probabilités, rappelle succinctement la solution de Fermât sur le problème des partis. Il écrit à Fermât :

Voici comment vous procédez quand il y a deux joueurs.

Si deux joueurs , jouant en plusieurs parties, se trouvent en cet état, qu'il manque doux parties au premier et trois au second , pour trouver le parti il faut ( dites-vous) voir en combien de parties le jeu sera décidé absolument : il est aisé de supputer que ce sera en quatre parties ; d'où vous concluez qu'il faut voir combien quatre parties se combinent entre deux joueurs , et voir combien il y de combinaisons pour faire gagner le premier et combien pour le second , cl partager l'argent suivant cette proportion. J'eusse eu peine à entendre ce discours-là , si je ne l'eusse su de moi-même auparavant ; aussi vous l'aviez écrit dans cette pensée. Donc , pour voir combien quatre parties se combinent entre deux joueurs, il faut imaginer qu'ils jouent avec un dé à deux faces (puisqu'ils ne sont que deux joueurs ) comme à croix et pile , et qu'ils jettent quatre de ces dez (parce qu'ils jouent en quatre parties); et maintenant il faut voir combien ces dés peuvent avoir d'assiettes différentes. Cela est aisé à supputer; ils en peuvent avoir 16, qui est le carré de 4, Car , figurons-nous qu'une des faces est marquée a , favorable au premier , et l'autre b , favorable au second ; il est aisé d'écrire les seize assiettes ; et parce qu'il manque deux parties au premier joueur, toutes les faces qui

ont deux a le font gagner, donc il en a onze pour lui , et parce qu'il manque trois parties au second , toutes les faces où il y a trois b le font gagner; donc il y en a 5.

Donc il faut qu'ils partagent la somme comme 11 à 5. Voilà votre méthode quand il y a deux joueurs , sur quoi vous dites que s'il y en a davantage il ne sera pas plus difficile de faire les partis par la môme méthode.

( Note. ) Pascal et Robcrval firent des objections contre la généralité de la méthode de Fermât ; mais après l'avoir mieux examinée, Pascal lui écrit le 27 octobre 1654 :

Votre dernière lettre m'a parfaitement satisfait ; j'admire votre méthode pour les partis , d'autant mieux que je l'entends fort bien ; elle est entièrement vôtre, n'a rien de commun avec la mienne, et arrive au môme but facilement. — Voilà noire intelligence rétablie. Mais, Monsieur, si j'ai concouru avec vous en cela, cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques , cela me p:»ssc de bien loin , et ne suis capable que de les admirer.

29 Août 1654. — Lettre de Fermai a Pascal.

Monsieur ,

Nos coups fourrés continuent toujours, et je suis aussi-bien que vous dans l'admiration de quoi nos pensées s'ajustent si exactement , qu'il semble qu'elles aient pris une même roule et fait un même chemin : vos derniers traités du Triangle arithmétique ei de son application, en sont une preuve authentique; et si mon calcul ne me trompe, votre onzième conséquence courait la poste de Paris à Toulouse, pendant que ma proposition des nombres figurés , qui en effet est la même, allait de Toulouse à Paris. Je n'ai garde de faillir , tandis que je rencontrerai de celle sorte; et je suis persuadé que le vrai moyen pour s'empêcher de faillir , est celui de concourir avec vous. Mais si j'en disais davantage , la chose tiendrait du compliment, et nous avons banni cet ennemi des conversations douces et aisées.

Ce sci ait maintenant à mon tour à vous débiter quelqu'une de mes inventions numériques ; mais la fin du parlement augmente mes occupations , et j'ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répit juste et quasi nécessaire. Cependant je répondrai à votre question des trois joueurs qui jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une , et que les autres n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de l'argent doit se faire en dix-sept , cinq et cinq ; de quoi la raison est manifeste et se prend toujours du même principe, les combinaisons faisant voir d'abord que le premier a pour lui dix-sept hasards égaux, lorsque chacun des autres n'en a que cinq.

25 Septembre. — Lettre de Fermât à Pascal.

Monsieur ,

N'appréhendez pas que notre convenance se démente , vous l'avez confirmée vous-même en pensant la détruire, et il me semble qu'en répondant à M. de Hobcrval pour vous, vous avez aussi répondu pour moi. Je prends l'exemple des trois joueurs, au premier desquels il manque une partie, et à chacun des deux autres deux , qui est le cas que vous m'opposez. Je n'y trouve que dix-sept combinaisons pour le premier, et cinq pour chacuu des deux autres; car quand vous dites que la combinaison ACC, est bonne pour le premier et pour le troisième, il semble que vous ne vous souveniez plus que tout ce qui se fait après que l'un des joueurs a gagné, ne sert plus de rien. Or, cette combinaison ayant fait gagner le premier dès la première partie, qu'importe que le troisième en gagne deux ensuite, puisque, quand il en gagnerait trente, tout cela serait superflu ? Ce qui vient de ce que, comme vous avez très-bien remarqué, cette fiction d'étendre le jeu à un certain nombre de parties, ne sert qu'à faciliter la règle , et ( suivant mon sentiment ) à rendre tous les hasards égaux, ou bien, plus intelligiblement , à réduire toutes les fractions à une môme déno-

niinalion. El afin que vous n'en douliez plus , si au lieu de trois parties vous étendez, au cas proposé, la feinte jusqu'à quatre; il y aura non-seulement 27 combinaisons, mais 81 , cl il faudra voir combien de combinaisons feront gagner au premier une partie plutôt que deux à chacun des autres, cl combien feront gagner à chacun des deux autres deux parties plutôt qu'une au premier. Vous trouverez que les combinaisons pour le gain du premier, seront 51 , et celles de chacun des autres deux 15. Ce qui revient à la môme raison , que si vous prenez 5 parties ou tel autre nombre qu'il vous plaira, vous trouverez toujours 3 nombres en proportion de 17 , 5, 5, et ainsi j'ai droit de dire quo la combinaison ACC n'est que pour le premier et non pour le troisième , et que C C A n'est que pour le troisième et non pour le premier, et que partant, ma règle des combinaisons est la môme en 3 joueurs qu'en deux , et généralement en tous nombres.

Vous aviez déjà pu voir par ma précédente que je n hésitais point à la solution véritable de la question des 3 joueurs dont je vous avais envoyé les trois nombres décisifs 17,5,5. Mais parce que M. Roberval sera peut-être bien aise de voir une solution sans rien feindre, et qu'elle peut quelquefois produire des abrégés en beaucoup de cas, la voici en l'exemple proposé.

Le premier peut gagner, ou en une seule parlie, ou en deux, ou en trois.

S'il gagne en une seule partie , H faut qu'avec un dé qui a trois faces il rencontre la favorable du coup. Un seul dé produit

3 hasards; ce joueur a donc pour lui ydes hasards, lorsqu'on

ne joue qu'une partie.

Si on en joue deux, il peut gagner de deux façons, ou lorsque le second joueur gagne la première et lui la seconde, ou lorsque le troisième gagne la première et lui la seconde. Or, deux dés

produisent 9 hasards : ce joueur a donc pour lui — des hasards

lorsqu'on joue deux parties.

Si on en joue trois, il ne peut gagner que de deux façons, ou lorsque le second gagne la première , le troisième la seconde

et lui la troisième, ou lorsque le troisième gagne la première, le second la seconde, et lui la troisième; car , si le second ou le troisième joueur gagnait les deux premières, il gagnerait le jeu, et non pas le premier joueur. Or, trois dés ont 27 hasards ; donc ce premier joueur a ^ de hasards lorsqu'on joue trois parties.

La somme des hasards qui font gagner ce premier joueur ,

est par conséquent y, ^ et ^ ce qui fait en tout £2.

Et la règle est bonne et générale en tous les cas ; de sorte que, sans recourir à la feinte, les combinaisons véritables en chaque nombre des parties portent leur solution , et font voir ce que j'ai dit au commencement , que l'extension h un certain nombre de parties n'est autre chose que la réduction de diverses fractions à une même dénomination. Voilà en peu de mots tout le mystère , qui nous remettra sans doute en bonne intelligence, puisque nous ne cherchons l'un cl I autre que la raison et la vérité.

J'espère vous envoyer à la Saint-Martin un abrégé de tout ce que j'ai inventé de considérable aux uombres. Vous me permettrez d'être concis, et de me faire entendre seulement à un homme qui comprend tout à demi-mot.

Ce que vous y trouverez de plus important regarde la proposition que tout nombre est composé d'un , de deux , ou de trois triangles; d'un , de deux, de trois ou de quatre carrés; d'un, de deux , de trois , de quatre ou de cinq pentagones ; d'un , de deux, de trois, de quatre, de cinq ou de six hexagones, et à l'infini. Pour y parvenir , il faut démontrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de quatre, est composé de deux carrés, comme 5, 13, 17, 29, 37, etc.

Etant donné un nombre premier de cette nature, comme 53 , trouver par règle générale les deux carrés qui le composent.

Tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 3, est composé d'un carré et du triple d'un autre carré, comme 7, 13 , 19 , 31 , 37, etc.

Tout nombre premier qui surpasse d'un ou de trois un mul-

liplc de huit, est composé d'un carré et du double d'un autre carré, comme 11, 17, 19, 41, 43, etc.

Il n'y a aucun triangle en nombres, duquel l'aire soit égale à un nombre carré.

Cela sera suivi de l'invention de beaucoup de propositions que Bachet avoue avoir ignorées, et qui manquent dans le Diophantc.

Je suis persuadé que dès que vous aurez connu ma façon de démontrer en celte nature de propositions , elle vous paraîtra belle , et vous donnera lieu de faire beaucoup de nouvelles découvertes; car il faut , comme vous savez, que multi pertranseant ut aitgeatur scientia.

S'il me reste du temps , nous parlerons ensuite des nombres magiques, et je rappellerai mes vieilles espèces sur ce sujet. Je suis, de tout mon cœur , Monsieur, votre , etc. Fermât.

Je souhaite la santé de M. de Garcavi comme la mienne , et suis tout à lui.

Je vous écris de la campagne , et c'est ce qui retardera par aventure mes réponses pendant ces vacations.

Lettre de Fermât a Pascal.

Monsieur ,

Si j'entreprends de faire un point avec un seul de en huit coups; si nous convenons, après que l'argent est dans le jeu, que je ne jouerai pas le premier coup , il faut , par mon principe , que je lire du jeu un sixième du total pour être désintéressé, à raison dudil premier coup. Que si encore nous convenons après cela que je ne jouerai pas le second coup, je dois,

pour mon indemnité, tirer le sixième du restant, qui est ^ du

total , et si après cela nous convenons que je ne jouerai pas le troisième coup , je dois , pour mon indemnité , tirer le sixième

du restant , qui est du total. Et si après cela nous convenons

encore que je ne jouerai pas le quatrième coup , je dois tirer le

sixième du restant, qui est du total. Et je conviens avec

vous que c'est la valeur du quatrième coup , supposé qu'où ait déjà traité des précédents. Mais vous me proposez dans l'exemple dernier de votre lettre (je mets vos propres termes) que si j'entreprends de trouver le six en huit coups et que j'en aie joué trois sans le rencontrer; si mon joueur me propose de ne point jouer mon quatrième coup, et qu'il veuille me désintéresser, à

cause que je pourrais le rencontrer, il m'appartiendra de la

somme entière de nos mises; ce qui pourtant n'est pas vrai , suivant mon principe, car, en ce cas , les trois premiers coups n'ayant rien acquis à celui qui lient le dé, la somme totale restant dans le jeu, celui qui tient le dé et qui convient de ne pas jouer son quatrième coup , doit prendre pour son indemnité un sixième du total ; et s'il avait joué quatre coups sans trouver le point cherché , et qu'on convînt qu'il ne jouerait pas le cinquième, il aurait de même pour son indemnité un sixième du total ; car la somme entière restant dans le jeu , il ne suit pas seulement du principe , mais il est même du sens naturel que chaque coup doit donner un égal avantage. Je vous prie donc que je sache si nous sommes conformes au principe , ainsi que je crois, ou si nous différons seulement en l'application. Je suis, de tout mou cœur, etc. Febmat.

9 Août 1659. — Lettre de Fermât à M. de Carcavi. Monsieur,

J'ai été ravi d'avoir eu des sentiments conformes à ceux de M. Pascal ; car j'estime infiniment son génie, et je le crois trèscapable de venir à bout de tout ce qu'il entreprendra. L'amitié qu'il m'offre m'est si chère et si considérable, que je crois ne point devoir faire difficulté d'en faire quelque usage en l'impression de mes traités. Si cela ne vous choquait point , vous pourriez tous deux procurer celte impression, de laquelle je consens que vous sovez les maîtres ; vous pourriez éclaircir ou augmenter ce qui semble trop concis, et me décharger d'uu soin que mes occupations m'empêchent de prendre : je désire même

que cet Ouvrage paraisse sans mon nom , vous remettant , à cela près , le choix de toutes les désignations qui pourront marquer le nom de l'auteur que vous qualifierez votre ami. Voici le biais que j'ai imaginé pour la seconde partie, qui contiendra mes inventions pour les nombres : c'est un travail qui n'est encore qu'une idée , et que je n'aurais pas le loisir de coucher au long sur le papier; mais j'enverrai succinctement à M. Pascal tous mes principes et mes premières démonstrations ; de quoi je vous réponds à l'avance qu'il tirera des choses nonseulement nouvelles et jusqu'ici iuconnnes, mais encore surprenantes. Si vous joignez votre travail avec le sien, tout pourra succéder et s'achever en peu de temps, et cependant on pourra mettre au jour la première partie que vous avez en votre pouvoir. Si M. Pascal goûte mon ouverture, qui est principalement fondée sur la grande estime que je fais de son génie, de son savoir et de son esprit , je commencerai d'abord à vous faire part de mes inventions numériques.

Adieu , je suis , monsieur , etc. F ermat.

25 Juillet 1660. — Lettre de Fermât a Pascal. Monsieur ,

Dès que j'ai su que nous sommes plus proches l'un de l'autre que nous n'étions auparavant, je n'ai pu résister à un dessein d'amitié dont j'ai prié M. de Garcavi d'être le médiateur : en un mot, je prétends vous embrasser et converser quelques jours avec vous; mais parce que ma santé n'est guère plus forte que la vôtre, j'ose espérer qu'en cette considération vous me ferez la grâce de la moitié du chemin , et vous m'obligerez de me marquer un lieu entre Clermont et Toulouse , où je ne manquerai pas de me rendre vers la fin de septembre ou le commenmencement d'octobre. Si vous ne prenez pas ce parti , vous courrez hasard de me voir chez vous, et d'y avoir deux malades en même temps. J'attends de vos nouvelles avec impatience, et suis de tout mon cœur , tout à vous. Fermât.

1 G Février 1659. — Lettre de Fa-mat à M.

Monsieur mon cher maître ,

Je suis embarrassé en affaires non géométriques; je- vous envoie pourtant un petit écrit que le père Lalouvère m'a fait porter ce malin. J'ai reçu le Traité de M. Pascal depuis deux jours , et n'ai pu m'appliquer encore séricusemeut à le lire ; j'en ai pourtant conçu une grande opinion, aussi-bien que tout ce qui part de cet illustre. Je suis tout à vous. Fermât.

Problème de géométrie proposé par Pascal.

Fermât donne la solution d'un problème que Pascal lui a proposé, dont voici l'énoncé : On donne la base d'un triangle, l'angle opposé, et le rapport de la différence des côtés qui comprennent cet angle à la hauteur : construire le triangle.

Fermât propose les problèmes suivants :

Mener une tangente en un point de l'hélice de Baliani : M. Roberval connaît celte hélice. Nous attendons des érudits la solution de ce problème , ou , s'ils le préfèrent , nous la donnerons, et de plus une méthode générale sur le contact des courbes.

Mais pour que la question du triangle ne paraisse pas être restée stérile en nos mains, nous proposerons les questions suivantes :

On donne la base , l'angle au sommet , et la somme de la hauteur et de la différence des côtés qui comprennent l'angle: construire le Iriangle.

On donne la base , l'angle au sommet et le rectangle formé avec la différence des côtés qui comprennent l'angle et la hauteur : construire le triangle.

On donne la base, l'angle au sommet , et la somme des carrés de la hauteur et de la différence des côtés : trouver le triangle.

Et plusieurs autres semblables dont la solution est plus aisée pour les savants que celle de la tangente à l'hélice de Baliani. Il faut remarquer que dans les questions relatives au Iriangle on ne doit pas faire usage de solides lorsqu'elles peuvent être traitées au moyen des plans.

Problèmes proposés par Fermai.

On propose à Wallis et aux autres mathématiciens de l'Angleterre la question suivante :

Trouver uu cube qui , ajouté à toutes ses parties aliquolcs , fasse un carré ; par exemple, 343 est le cube de 7 ; toutes ses parties aliquotes sont 1 , 7 , 49, qui ajoutées à 343 font 400 , carré de 20.

On cherche un autre cube de même nature.

On cherche aussi un nombre carré qui , ajouté à toutes ses parties aliquotes , fasse un cube.

J'attends ces solutions : si l'Angleterre ou la Gaule Belge ou Celtique ne les donnent pas , la Gaule Narbonnaise les donnera et les offrira et les dédiera au chevalier Digby , comme un hommage d'une amitié récente.

20 Avril 1657. — Lettre de Fermai à M. le chevalier

Kcnclme Digby.

Dans cette lettre , Fermât écrit à Digby qu'il a carré , depuis longues années, les hyperboles et les paraboles dont Wallis s'est occupé. — Dans la recherche des centres de gravité des segments de ces figures, il arrive des singularités que Fermât signale : t II arrive une chose merveilleuse en celle recherche et laquelle j'ai découverte et démontrée , c'est que quelquefois ledit espace ( celui compris entre une branche de l'hyperbole asymptotique à l'axe des x et l'axe des x) quoique fini, n'a pas de centre de gravité fixe ( à une distance finie ) et quelquefois il en a. Car si , par exemple , l'hyperbole est y x 2 = m 3 , l'aire est finie cl le centre de gravité à l'infini , ce qui n'arrive pas pour l'hyperbole y x* = m 4 . Si M. Wallis veut avoir la démonstration de celte proposition et de la règle générale pour trouver lesdits centres de gravité , je vous l'enverrai pour lui en faire part. »

Problème proposé par Fermât.

A peine y a-l-il quelqu'un qui propose ou qui comprenne les questions purement arithmétiques ; n'est-ce pas que l'arith-

méliqoe fui d'abord traitée géométriquement plutôt qu'arilhmétiquement ? c'est assurément ce qu'indiquent plusieurs ouvrages des anciens et des modernes. Diophante lui-même le fait supposer , bien qu'il se soit écarté un peu plus que les autres de la géométrie , puisqu'il restreint l'art analytique aux seuls nombres rationnels, l^es zététiques de Vietc prouvent assez que cette branche est susceptible de considérations géométriques ; dans ces zétéliques la méthode de Diophante est étendue à la quantité continue et par cela même à la géométrie. C'est pourquoi l'arithmétique réclame comme son patrimoine particulier la doctrine des nombres entiers ; ébauchée légèrement dans les éléments d'Euclide, elle n'a pas été assez cultivée par ceux qui l'ont suivi , à moins quelle ne fût consignée dans ces livres de Diophante que l'injure des temps nous a enlevés. Que les jeunes gens s'appliquent à étendre son domaine ou à la renouveler. Pour leur fournir une lumière anticipée , nous proposons le problème suivant à démontrer ou à construire ; s'ils le trouvent , ils avoueront qut 1 les questions de cette nature ne sont inférieures ni pour la subtilité , ni pour la difficulté , ni pour le mode do démonstration , aux plus célèbres de la géométrie.

Etant donné un nombre quelconque non carré , on peut donner une infinité de nombres carrés qui , multipliés par ce nombre donné et ajoutant au produit l'unité , fassent un carré. Exemple : on donne le nombre non carré 3 ; ce nombre multiplié par 16 , une unité étant ajoutée donne 49 , qui est carré ; au lieu de 3 et de 16 , on peut trouver une infinité de nombres qui aient la même propriété. Nous demandons la règle générale pour un nombre donné quelconque non carré. Qu'on cherche , par exemple , le carré qui , multiplié par H9 ou 109 ou 433 , et ajoutant 1 au produit, fasse un carré.

20 Juin 1657. — Lettre de Fermai à M, Kenclme Bigby.

Monsieur ,

J'ai reçu votre lettre à la veille du départ de M. Borel , qui ne me donne quasi pas de loisir de vous faire un mot de ré-

ponso. Vos deu\ lettres anglaises m'ont été traduites par un jeune anglais qui est en cette ville et qui n'a point connaissance de ces matières , de sorte que sa traduction s'est trouvée si peu intelligible , que je n'y ai pu découvrir aucun sens réglé : et ainsi je ne puis vous résoudre si ce mylord a satisfait à mes questions ou non. Il me semble pourtant au travers de l'obscurité de cette traduction bourrue, que l'auteur des lettres a trouvé mes questions un peu trop aisées , ce qui me fait croire qu'il ne les a pas résolues , et parce qu'il pourrait équivoquer sur le sens de ces propositions , j'ai demandé un cube en nombres entiers , lequel ajouté à ses parties aliquotes fasse un carré. J'ai donné , par exemple , 343 qui est cube cl aussi nombre entier, lequel ajouté à toutes ses parties aliquotes fait 400 qui est un nombre carré , et parce que cette question reçoit plusieurs autres solutions , je demande un autre nombre cube en entier qui , joint à toutes les parties aliquotes , fasse un carré , et si le mylord Brounckcr répond qu'en entier il n'y a que le seul nombre 343 qui satisfasse à la question , je vous promets et à lui aussi , de le désabuser en lui en exhibant un autre. Je demandais encore un carré en entier qui , joint à toutes ses parties aliquotes , fasse un cube. Pour la question proposée dans l'écrit latin que je vous envoyai , elle est aussi en nombres entiers, et partant les résolutions en fractions (lesquelles peuvent Atre fournies a quolibet de trivio arithmetico ) ne me satisferaient pas.

Du 15 Août 1657. — De Fermât à Digby.

Dans cette lettre , Fermât revient sur la détermination des centres de gravité des segments d'hyperbole d'une longueur infinie quoique d'une aire limitée ; il demande que Wallis lui donne la règle générale , pour distinguer le cas où le centre de gravité est délerminable et celui où il ne l'est pas.

Fermai propose aussi de diviser un nombre composé de deux cubes , tels que 28 qui est égal à 1 , plus 27 , en deux autres cubes rationnels ; c'est une question qu'il traile dans les notes de Diopbante.

Enfin , Fermât propose aux Anglais les doux questions suivantes ^

•Il n'y a qu'un seul carré en entier qui joint au binaire ( à 2 ) fasse un cube et que ledit carré est 25 , auquel si vous ajoutez 2 , il se fait 27 qui est un cube.

Mais je dis aussi , que si on cherche un carré qui , ajouté à 4 , fasse un cube , il ne s'en trouvera jamais que deux en nombres entiers , savoir : 4 et 121 , car 4 ajouté à 4 fait 8 qui est cube , et 121 ajouté à 4 fait 125 qui est aussi cube , mais après cela toute l'infinité des nombres n'en saurait fournir un troisième qui ail la même propriété.

Je ne sais ce que diront vos Anglais de ces propositions négatives et s'ils les trouveront trop hardies.

Ici nous terminons notre extrait , qui nous parait renfermer tout ce qui dans les lettres de Fermai peut réellement intéresser les géomètres. Pour donner au lecteur une idée de l'estime dont il jouissait auprès des hommes les plus illustres de son temps, nous transcrivons quelques lignes d'une lettre de Pascal , en réponse à l'invitation que lui faisait Fermai de venir à Toulouse.

c Si j'étais en santé , je serais volé à Tolose , et je n'aurais pas souffert qu'un homme comme vous Ht un pas pour un homme comme moi. Je vous dirai aussi que quoique vous soyez celui de toute l'Europe que je tiens pour le plus grand géomètre, ce ne serait pas cette qualité qui m'aurait attiré... Voilà, Monsieur, l'état de ma vie présente, dont je suis obligé de yous rendre compte , pour vous assurer de l'impossibilité où je suis de recevoir l'honneur que vous daignez m'offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître ou en vous ou en messieurs vos enfants , auxquels je suis tout dévoué , ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »

Toulouse, Imprimerie de Jean-Malihieu Douladoure.

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Lilho. Dehr rue i Kiihtrs, 4-3-

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