IV. Considérons la somme ^"^^ — l ^^ n ft es termes de

la progression arithmétique précédente commençnnt par i ,

on peut mettre cette somme sous celte forme n "\- n ^ n ~ * ^ .

Si on fait à:=p— i , on voit que cette somme sera un nombre polygonal , et que le nombre d'angles sera la raison de la progression plus 2.

V. On donne le côté du nombre polygonal. Trouver ce nombre. On donne x et p. Traduire la formule

(p— a). On donne pet la valeur du polygonal.

Trouver x. Les règles de Diophante reviennent à la résolution de l'équation du second degré.

VI. Etant donné un nombre N , trouver de combien de manières il peut être polygonal. En appellant p— 2 = a

jc= A ~ a±v ^ A ~~^ a ~*~ 8NA . Si on donnait n, il faudrait

trouver le nombre entier a qui rendrait x entier positif. Le texte de Diophante paraît altéré. Bachet fait remarquer tout ce qu'il laisse a désirer.

Problème de Diophante, — Etant donné un nombre polygonal , trouver le côté.

obs. de fermât. Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression îles nombres naturels commençant par V unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre; lu multiplication du triangulaire, par le nombre qui suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal; le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo-triangulaire , et ainsi à F infini par une méthode générale et uniforme; et je ne pense pas qu'on puisse donner sur les nombres un théorème plus beau et plus général. Je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la démonstration à la marge.