MOYENNE

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1^^ Partie. Statistique générale

Bien qu'il n'y ait que 82 observations qui fussent exactes, on remarquera que les autres viennent se grouper autour d'elles régulièrement et d'autant plus nombreuses qu'elles s'en écartent moins.

77. L'emploi de la moyenne objective est fréquent dans les sciences d'observation. Ainsi, la valeur de l'intensité normale de la pesanteur en fonction de la latitude géographique, donnée par le directeur de l'Institut géodésique de Postdam, M. le

Helmert, est déduite de 1,395 mesures résultant d'observations pendulaires. En statistique cet emploi est beaucoup moins fréquent, parce qu'en général l'observation statistique n'est pas répétée à l'égard d'un même objet, mais est faite en des lieux différents sur une multitude d'objets différents, quoique homogènes.

A la rigueur, on peut concevoir en statistique des observations répétées portant sur un objet unique; telle l'observation du budget d'une famille ouvrière pendant plusieurs semaines ou plusieurs mois, les conditions de cette famille restant les mêmes.

78. Au contraire, la moyenne subjective ou idéale [average des Anglais) est usitée très fréquemment par les statisticiens. C'est celle qui résulte de la mesure de phisieitrs objets homogènes. Si les objets sur lesquels porte l'observation sont bien choisis et réellement homogènes, on verra que les différences se

De l'exposition

groupent régulièrement autour d'un type, qui est la moyenne.

On trouve dans le i3^ volume du Journal médical d'Edimhoîir g, dit Quételet, les résultats des 5,738 mesures prises sur les poitrines des soldats des différents régiments écossais... La plus petite mesure est de 33 pouces environ et la plus grande de 48; la moyenne de toutes les mesures donne un peu plus de 40 pouces pour la circonférence de la poitrine d'un soldat écossais ; c'est aussi le nombre qui correspond au plus grand nombre de mesures; et, comme la théorie l'indique, les autres groupes diminuent de grandeur à mesure qu'ils s'éloignent de celui-ci. {Lettres sur la théorie des prohabilités ^ p. i36.)

79. La moyenne subjective se nomme citoyenne typique lorsqu'elle vient du calcul portant sur des unités vraiment homogènes. On lui donne, dans le cas opposé, le nom de moyenne indice. La vraie moyenne est la moyenne typique. L'autre n'a qu'une valeur secondaire et l'on ne peut y recourir que dans les cas d'extrême nécessité ; elle n'est pourtant pas dépourvue de toute utilité et notamment elle peut rendre des services pour établir des comparaisons dans l'espace et dans le temps.

80. D'après ce qui précède, on peut définir la moyenne : l'expression de l'état quantitatif normal d'un phénomène déterminé,

La moyenne n'est vraiment exacte que pour autant qu'elle soit calculée dans certaines conditions. Elle doit porter sur : des données homogènes quant à

jio Partie. Statistique générale

la nature de l'objet, quant à Tépoque de l'observation, quant à l'endroit où se fait l'observation ; 2^ elle doit envisager des données suffisamment nombreuses; 3^ enfin, on ne doit jamais prendre la m03^enne des moyennes.

81. A cause des facilités mêmes qu'elles effilent, on est souvent porté à abuser des moyennes, dont le calcul devient pour ainsi dire machinal. Beaucoup de faits sont importants à observer non seulement au point de vue numérique, mais surtout au point de vue de leurs qualités. On peut facilement imaginer des cas d'après lesquels le point de vue diffère; exemple : le salaire moyen. La moyenne s'applique à des états quantitatifs et non qualitatifs.

Si le salaire est étudié au point de vue social de la condition des ouvriers, un salaire extrêmement bas ou fort élevé est intéressant à relever, la moyenne ne servirait donc qu'à masquer des situations qui doivent être connues. — Par contre, un industriel pourrait fort bien rechercher la moyenne des salaires dans son usine pour se faire une idée de l'augmentation, par exemple, de son prix de revient.

82. Sous le rapport du mode de calcul, on distingue en premier lieu la moyenne arithmétique simple.

Cette moyenne s'obtient en additionnant l'un à l'autre chaque terme de la série et en divisant la somme par le nombre des termes :

De Texposition

83. La moyenne arithmétique simple est la valeur la plus probable des données composant une série statistique à poids constant. En effet, comme chaque terme intervient dans le diviseur pour une valeur égale à Tunité, il importe que les différences entre les termes ne soient pas trop sensibles, ce qui exclut Temploi de cette moyenne dans les séries dynamiques à poids variable

La moyenne arithmétique simple possède plusieurs propriétés mathématiques intéressantes. La première s'exprime en disant que la somme des écarts positifs de chaque terme par rapport à la moyenne — , égale la somme des écarts négatifs, — ou encore que la somme algébrique de tous les écarts est égale à zéro.

Exemple. Soit la série :

La seconde propriété mathématique s'énonce : la somme des carrés des écarts de chaque terme par rapport à la moyenne est un minimum par rapport à la somme des carrés des écarts résultant d'une autre valeur quelconque que celle de la moyenne obtenue.

i''^ Partie. Statistique générale

Exemple. Soient les écarts positifs et négatifs donnés à l'exemple précédent. On en fait le carré, en ayant soin de considérer tous les écarts comme positifs.

écarts \ t^.^ > carrés

84. La moyenne arithmétique peut encore se calculer en tenant compte de la valeur différente des termes. On dit alors qu'elle est « composée » ou « pondérée ».

Supposons que Ton doive chercher le prix moyen d'une marchandise vendue, pendant plusieurs jours, à des prix différents et en quantité variable. Nous avons :

L. 5o hect. à fr. 25 M. 25 hect. à fr. 22 M. 35 hect. à fr. 24 J. 90 hect. à fr. 27

Pour obtenir la mo3^enne pondérée, nous multiplions entre eux les éléments qui se combinent et nous divisons le total par la somme des quantités. Nous avons donc :

De l'exposition

85. La moyenne arithmétique composée ou pon-' dérée est d^un usage fréquent, surtout pour la formation des index-numbers (^). Dans ce genre de recherches, on a à comparer aux prix d'une année, uniformément ramenés à loo, les prix d'une autre année. Mais il est évident que les variations de prix auront d'autant plus d'importance que la consommation de l'article envisagé est elle-même considérable. Pour que chaque marchandise intervienne dans le total avec un poids proportionné à son importance, on assigne des côtes différentes à chaque produit et on opère ensuite comme pour obtenir la moyenne pondérée. C'est ce que montre l'exemple suivant :