IV. De la loi des grands nombres

126. Celui qui met en œuvre un matériel statistique, comme celui qui utilise les résultats d'une statistique, a à se préoccuper du point de savoir si les chiffres réunis par lui ou ceux qu'il consulte ne sont pas en opposition avec la loi des grands nombres. Savoir exactement en quoi consiste cette loi est donc aussi indispensable au lecteur d'une statistique qu'à celui qui la dresse.

Conformément à notre programme, nous nous bornons donc au côté plutôt pratique. Le caractère mathématique de la loi des grands nombres a été mis en lumière par un grand nombre de statisticiens et de spécialistes. Nous renvoyons à leurs travaux les personnes qui voudraient étudier spécialement ce côté de la question. On trouvera à cet égard des indications bibliographiques à la fin de ce paragraphe.

127. Lorsqu'on étudie les résultats d'une observation statistique prolongée pendant plusieurs années, on constate qu'en des cas fréquents les données numériques restent sensiblement les mêmes. Il y a donc des tendances qui se manifestent malgré les circonstances accidentelles qui pourraient en troubler

De l'interprétation

io3

l'apparition. Les statisticiens ont donné à ces phénomènes le nom, un peu ambitieux, de lois statistiques ; cette expression, légèrement inexacte, a été la cause de nombreux malentendus.

La loi statistique s'applique à certains phénomènes physiques se présentant avec régularité, comme le rapport des naissances masculines aux féminines. On a aussi donné le nom de loi statistique aux régularités observées dans le domaine de la vie morale, grâce aux recherches que la statistique a dirigées vers certains problèmes de cet ordre, observables à l'aide de données numériques : nuptialité, natalité, divorces, suicides, criminalité, etc. Mais la loi que les statisticiens ont en vue dans ce cas ne se confond pas avec la notion philosophique de loi : elle n'a pas un caractère impératif.

128. Un exemple des régularités relevées par la statistique dans le domaine physique est celui de la taille humaine Les hommes sont petits ou grands à raison d'une foule de circonstances. Cependant les grandeurs ne se répartissent pas au hasard. Si nous indiquons sur Taxe des abscisses la taille d'un grand nombre d'hommes et si nous portons en ordonnées le nombre d'individus qui atteignent cette taille, nous voyons que la courbe tend visiblement vers une moyenne. Entre les extrêmes et le point central il y a, comme le dit un auteur, une courbe progressive et souvent systématique qu'on a appelée courbe hinomiale ou courbe de possibilité.

129. Cependant, si au lieu de considérer un grand nombre de faits nous ne prenons qu'un fait isolé il y

1^'^ Partie. Statistique générale

a beaucoup de chances pour qu'il ne soit pas conforme à la loi générale, à la régularité qui domine l'ensemble. Même dans les constantes les mieux établies, comme le rapport des naissances masculines aux féminines, nous n'avons guère de chance de vérifier le fait si nous envisageons seulement un village ou une petite ville. Au contraire, le mode d'action des corps nous apparaît après un nombre d'observations très réduit.

130. La raison de la distinction semble résider dans le degré de complexité des phénomènes considérés. A un petit nombre de causes agissantes, il suffit d'un nombre minime d'expériences pour pouvoir se manifester toutes. A des causes très nombreuses, il faut un nombre d'expériences beaucoup plus grand si je veux avoir la certitude qu'elles ont eu toutes la possibilité de se manifester.

131. Parmi les causes, il en est de constantes^ c'est-à-dire de très fréquentes, et d'autres qui sont rares et qu'on nomme accidentelles. Il est rationnel que les causes constantes exercent leur influence sur un grand nombre de cas, qui leur obéissent, et que les causes accidentelles ne déterminent qu'un nombre de cas beaucoup plus restreint. C'est pour cette raison que la moyenne est la valeur la plus probable entre toute une série de données. (Voir

De l'interprétation

io5

132. Avec une admirable simplicité, Quetelet nous expose en ces termes les théorèmes de Bernouilli et de Poisson qui sont à la base de toute cette démonstration :

Cet habile géomètre (Jacques Bernouilli), dit-il, avait employé une partie de sa vie à démontrer ce résultat, qui nous parait si simple aujourd'hui, savoir : que la moyenne donnée par une série d'expériences tombe près du nombre cherché, dans des limites d'autant plus étroites que les épreuves ont été plus multipliées... Mais Bernouilli a établi ses calculs dans l'hypothèse que le nombre cherché était fixe et constant. Il peut arriver que cette quantité éprouve de petites variations... Or, le principe de Bernouilli est encore applicable dans ce cas, et c'est ce qui a été démontré par M. Poisson, au moyen d'une savante analyse. Heureusement, le secours du calcul ne nous est pas nécessaire ici, pour concevoir que les petites variations qu'on trouve, peuvent être rangées parmi les effets de causes accidentelles qui s'effacent à la longue quand on multiplie suffisamment les épreuves. Dans le cas qui nous occupe, les expériences doivent en général être très multipliées : c'est pour ce motif que M. Poisson a nommé loi des grands nombres l'extension du principe de Bernouilli (^). [Théorie des probabilités, p. 214.)

(^) Voici le résumé fait par Poisson de la découverte qu'il a faite. Nous croyons intéressant de le citer textuellement, car il est rare de le trouver reproduit : « Les choses de toute nature sont soumises à une loi universelle qu'on peut appeler la loi des grands nombres. Elle consiste en ce que, si l'on observe des nombres très considérables d'événements de même nature, dépendant de causes qui varient irrégulièrement, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, c'est-à-dire sans que leur variation soit progressive dans aucun sens déterminé, on trouvera

io6 1''^ Partie. Statistique générale

133. Quetelet a eu la patience de vérifier par l'expériencie la loi des grands nombres. Vingt boules blanches et vingt boules noires ayant été placées dans une urne, il fut procédé à une série de tirages, la boule tirée étant chaque fois remise dans Turne, de manière que toutes les circonstances de Texpérience restassent les mêmes. Les résultats des tirages sont résumés dans le tableau suivant.

Nombre

Degré

Nombre des boules

Rapport

des

de

des nombres

boules tirées

précision

blanches

noires

précédents