Une relation doubleinent quadratique eniie doux

variables a et v

est telle, par définition, qu'elle fpsse correspondre deux valeurs de v à une valeur de u, et réciproquement. Si on la suppose mise sous forme entière, c'est-à-dire si/ (h, v) est un polynôme en u et v, ce polynôme doit donc être du second degré par rapport à chacune des variables. En ordonnant/(«, v) par rapport à v, par exemple, on aura un polynôme du second degré dont les coefficients seront des polynômes du second degré en u. La relation doublement quadratique la plus générale est donc de la forme

(2) (Al «-■4-B,//-i-C,)t'--i-(A,«--f B2«-hCî)''

On voit qu'elle contient neuf coefficients homogènes et dépend, par suite, de huit paramètres. On en conclut que :

Une relation doublement quadratique entre deux variables est en général déterminée par la connaissance de huit couples de valeurs correspondantes.

Par suite :

Une correspondance ( 2 , 2 ) est en général déterminée par la connaissance de huit couples d'éléments correspondants.

Ces théorèmes souffrent un cas d'exreplion dont il sera question plus loin.

LES RELATIONS DOUBLEMENT Qt'AURÀTIQL'ES. 10 i

196. Soient a el b les sommets de deux faisceaux de droites contenus dans le même plan. Si l'on établit entre les rayons de ces faisceaux une correspondance (2,2) le point de rencontre de deux rayons homologues décrit en général une quartique ayant a el b pour points doubles.

En effet, à tout rayon am du premier faisceau correspondent deux rayons du second faisceau. Par suite, tout rayon am rencontre la courbe C, lieu du point de rencontre des rayons homologues, en deux points généralement distincts du point a. En outre, le rayon ba, considéré comme appartenant au second faisceau, a dans le pren)ier faisceau deux rayons homologues, ab' et ab", qji rencontrent tous les deux ba au point a. 11 en résulte que la courbe C est rencontrée par tout rayon du premier faisceau en quatre points, dont deux sont confondus au ()oint a. Le point Z? donne lieu à une conclusion semblable, et la proposition est établie.

Les tangentes à la courbe C au point double a sont les droites ab' et ab".

Exceptionnellement, il peut arriver que l'une des droites abi et ab" se confonde avec ab. La courbe C se décomposera alors en la droite ab et une cubique ayant en a et 6 deux points simples.

Plus exceptionnellement encore, il se peut que les deux droites aZ>' el/zè" soient confomlues avec ba. Alors la courbe C se décomposera en la droite ab, comptée deux fois, et une conique.

Réciproquement, si C est une quartique plane quelconque ayant eu a et b deux points doubles, il existe une correspondance (2, 2) entre les rayons qui joignent ces points à un point variable sur C, et qui engendrent les faisceaux de sommets respectifs a et b.

Ce résultat est encore vrai si C est une cubique plane dont a et b sont des points simples quelconques.

197. Voici encore un exemple important de correspondance,(a, 2).

Soient Q unequadrique quelconque, Q'el Q" les deux demiquadriques qu'elle porte, C une biquadratique quelconque tracée sur Q. Si G' et G" sont des génératrices respectives

102 CHAI». VII. — LES RELATIONS DOl BLKMENT QUADRATIQUES.

de O el (le Q", se coupant en un point variable de C, il existe entre ces génératrices une correspondance (2, 2).

En elTet, toute génératrice (i' rencontre C en deux points : donc il lui correspond deux génératrices (i". De même....

liéci|)roqueineni, s'il existe entre G' el G" une correspondance (2, 2) quelconcpie, le point de rencontre de ces deux génératrices décrit une biquadratique gauclie tracée sur Q. En elVet, prenons huit couples de génératrices homologues (G'|, (i'i ), ((ï'o,Go), . . ., (G's, Gj.), se coupant respectivement aux points //?,, ««o, . . ., /;?«• Il existe en général une biquadratique gauclie unique G tracée sur Q el passant par les huit points /»,, //«.,, . . ., /«g : c'esl la base du faisceau ponctuel des quadriques qui passent par ces huit points. Si maintenant G' et G" sont deux génératrices variables se coupant sur G, il existe entie elles une correspondance (2, 2) qui se confond nécessairement avec la proposée, puisque les deux correspondances sont définies par les huit mêmes couples (G',, G','), (*Go, Gâ)v ..., (Gij.. (ij; ). La propusilion est ainsi établie.

Iî)8. Nous pouvons maintenaul recomiailro l'existence du cas d'exception signalé à la tin du n° 195. (Considérons toujours la e,uadrique Q et donnohs-nous seulement sept couples de génératrices (G',. G'i ), ..., (G'-, G'7), appartenant respectivement aux domi-quadriques Q' el Q". Il existe une infinité de correspondances [-2, 2) entre les génératrices de Q' et celles de O', pour les(|uelles (G,, (t'J), ..., (G'-, G!) sont des cou|)les de génétatrices liomob^giies. Chacune de ces correspondances définit une biquadratique gauche tracée sur Q, et passant par sept |)oints fixes /?*,, ..., m-, qui sont les points d'interseclion respectifs des génératrices tl'un même couple. Les diverses biquadraticpies gauches considérées passent donc par un huitième point {\\(' /n^ de Q : en effet, l'une quelconcpie d'entre elles appartient à une infinité de quadriques passant par les |)oints /«,, ...,/»-, et l'on sait que toutes les cpiadriques salisfaisani à ces conditions passent par un huitième |)oinl fixe (n" IIV). Si donc Ci\. el G;^ sont les génératrices ^le Q' et de Q" (pii passent au point /«g, on voit (juc pour tontes les correspondances (2, 2) envisagées, (i'j, et G'^

y ÉLÉMENTS CRITIQUES. l53

sont un couple de génératrices homulogues. Comme enlîfi à toule correspondance (cî, 2) on peut associer une biquadratique gauche, et réciproquemenl, on peut énoncer le lliéorème suivant :

Toutes les correspondances (2. 2) pour lesquelles on donne sept couples d'éléments homologues admettent an huitième couple d'éléments homologues^ qui ne dépend que des sept premiers.

On déduit de là, par exemple, que toutes les quar tiques planes ayant deux points doubles fixes, et passant en outre par sept points fixes, passent par un huitième point fixe.

Éléments critiques.

199. Etant donnée une correspdudance {■>, 2) entre les éléments de deux variétés unicursales, on appelle éléments critiques de l'une des variétés ceux tels que les deux éléments homologues de l'autre variété soient confondus. Le nombre de ces éléments est de quatre : en effet, si nous exprimons une correspondance (2. 2) par une relation doublement quadratique mise sous la forme (2) du n" 195, les éléments critiques de la première variété auront pouç paramètres les valeurs critiques de u, c'est-à-dire celles pour laquelle l'équation (2) en i> a une racine double. Ces valeurs sont i-acines tie l'équation

4 (A,«»-f- B, u^Ci){\:,u'-'^B:,u + C,)— (A. u'-^ H,u -+- C.y-zno

qui est du quatrième degré en u. Il y a donc bien quatre valeurs critiques de u et, par conséquent, quatre éléments critiques dans la première variété. La seconde variété a, de^ même, quatre éléments critiques.

Les éléments critiques des deux variétés ne sont pas indépendants. On a en effet entre eux la relation importante que voici :

Le rapport anharmo nique des éléments critiques de la première variété est égal au rapport anliarmûnique des^

j54 chai». VII. — LES RELATIONS DOUBLEMENT QUADRATIQUES.

éléments critiques de la seconde variété, pris dans un ordre convenable.

Plus bricvemeni, on peut dire que les éléments critiques des deux variétés forment deux systèmes homo graphiques.

Pour démontrer cette proposition, nous aurons encore recours à la considération de la quadrique Q du n" 197.

Toute correspondance (2, 2) établie entre ^ » génératrices des demi-quadriques Q' et Q" donne lieu à une biquadratique gauche C. Une génératrice critique de Q' est telle qu'il fui corresponde deux génératrices confondues de Q" : il faut donc pour cela que c t'e génératrice soit tangente à C. Comme nous savons que le nombre des éléments critiques est de quatre, dans chacune des variétés considérées, nous voyons déjà qu'il existe quatre génératrices de Q' et quatre génératrices de Q" tangentes à C. I!. suffit de démontrer *que le rapport anharmonique des quatre premières est égal au rapport anharmonique des quatre autres.

A cet effet, projetons sur un pian la quadrique Q, en prenant comme centre de projection le sommet de l'un des quatre cônes du second ordre qui contiennent C. La quadrique Q a pour contour apparent une conique F, et la biquadratique C a pour projection une conique G {fig. 8), Toutes

les génératrices de y sont projetées suivant des tangentes à r, et le rapport anharmonique de quatre de ces génératrices est égal au ra[)port anharmonique des quatre tangentes qui sont leurs projections [car il existe une correspondance (1, i) entre les génératrices et les tangentes]. Les mêmes il