ÉLÉMENTS CRITIQUES. I

marques s'appliquent aux génératrices de Q". On voit immédiatement que les quatre tangentes communes aux coniques G et F sont les projections des quatre génératrices critiques de Q', et aussi des quatre "génératrices critiques de Q'. Les deux rapports anharmoniques considérés sont donc bien égaux.

200. La proposition précédente a de nombreuses applications parmi lesquelles nous citerons les suivantes :

1° Soient C et C deux coniques dans le même plan; considérons une tangente variable de G et un point variable sur C, tels que la tangente contienne le point; il existera visiblement une correspondance (2, 2) entre ces deux éléments variables. Les tangentes critiques de C sont les tangentes communes aux deux coniques; les points critiques de C'sont les points communs aux deux coniques. On voit donc, en vertu du théorème général, que :

Étant données deux coniques quelconques dans un même plan, le rapport nnharmonique de leurs quatre tangentes communes est égal au rapport anharmonique de leurs quatre points communs^ en considérant le premier rapport anharmonique sur l'une des coniques, et le second sur l'autre conique.

2° Soit C une quartique plane, ayant deux points doubles a et 6 : il existe une correspondance (2, 2) entre les rayons de ces faisceaux qui se rencontrent sur la courbe. Les rayons critiques du premier faisceau sont les tangentes issues du point double a à C, et les rayons critiques du second faisceau, les tangentes issues du point double b. Donc :

Étant donnée une quartique plane à deux points doubles, on peut lui mener quatre tangentes par chacun de ces derniers. Les deux faisceaux ainsi obtenus sont homographiques.

3° Si (] est une cubique plane dont a et 6 sont deux points quelconques, on peut énoncer le même théorème que précédemment. On peut dire awssi que :

Etant donnée une cubique plane, par l'un quelconque de

l56 CHAP. Vn. LES RFLATIONS DOUBLEMENT QUADRATIQUES.

ses points on peut lui mener quatre tangentes autres que celle au point considéré. Le faisceau ainsi obtenu a un rapport anharmonique constant.

Correspondances (2,2) involutives et théorèmes de Poncelet.

201. Jusqu'ici nous avons considéré des correspondances entre éléments de deux variétés distinctes. On peut supposer que ces deux variétés soiil confondues.

Considérons alors une correspondance (2, 2) entre élémetits d'une même variété. Soit

la relation doublement quadratique qui exprime celle correspondance. Si le pi'emier mernhre de la relation est symétrique par rapport à u et c, on dit que la correspondance est involutii'e.

Si l'on développe le premier membre, les termes qui ne sont pas symétriques d'eux-mêmes doivent être identiques deux à deux : ainsi les termes en ^-« et en tu"^ doivent avoir le même coefficient, de même les termes en t^ et en «*, de même les termes en t et en u. La forme la plus générale d'une relation doublement quadratique involutive est donc la suivante :

A f- u- -+- H ( f- « + tu- ) 4- C ( f - -+- //- ) -f- D «« 4- E ( < -t- « ) -+- F = o.

La relation dépend do cinq paramètres. Donc une correspondance (2, 2) involutive est déterminée par la connaissance de cinq couples d'éléments homologues. On va voir qu'il n'y a jjus ici d'exception.

202. Soient C et C deux coniques; si deux points m et n décrivent C, de telle manière que la droite mn reste tangente à C, il existe entre ces points une correspondance (2, 2) involutive, comme on le reconnaît immédiatement. Les points critiques de C, dans celle correspondance, sont ceux d'où l'on peut mener à C deux tangentes confondues : ce sont donc les points d'intersection des deux coniques.

CORKESPONDANCES INVOLLTIVES ET lIlÉORfeMES DE l'O.NCELKl. 1 57

|{écipi-o(|(iemenl, s'il existe une correspondance {n, a) involiiiive entre deux points vaiiables de la conique C, leur droite de jonction enveloppe une coniqiie C qui rencontre C aux (jiiatrc points critiques de la correspondance. On le voit par un raisotuieinenl en tout semblable à celui du n". 107. On s'appuiera ici sur ce qu'une conique est déterminée par cinq larigenlos. Mais on n'aura pas de théorème sembla}j!e à celui du n° 198, parce qu'en aucun cas, les coniques lanjienles à quatre droites données ne sont, par cela même, tangentes à une cinquième droite fixe.

On verrait de même que, si deux points décrivent une conique C, de manière à rester conjugués par rapport à une autre conique fixe C", il existe entre ces deux points une correspondance (2, ■?.), et réciproquement. En rapprochant ces résultats, on voit (jue :

Si deux- points décrivent une conique C de telle manière que leur droite de jonction reste tangente à une seconde conique jixe^ ces j)oints restent conjugués par rapport à une troisième conique^ et réciproijuement .

Tous les Ihèorèinesde ce paragraphe admettent des propositions corrélatives qu'on énoncera sans [)eine.

203. Soient {fig.Ç))C et C deux coniques quelconques dans un même plan. Considérons un contour polygonal de

Fi g. 9.

// côtés, «1 «2 • • • "/i+i inscrit à la première et circonscrit à la seconde. Il est facile de voir que la droite de fermeture de ce contour. a^a„^x^ (^f^veloppe une conique G' , appartenant au

l58 CHAP. Vn. — LES RELATIONS DOUBLEMENT QUADRATIQUES.

faisceau ponctuel déterminé par C et C, quand le point a, se déplace sur la conique C. En effet, partant du point «i^ le point «2 peut être choisi de deux manières différentes, mais la construction est ensuite com.plètement déterminée. Donc au point a, correspondent deux points a,,^.,, et réciproquement. Autiement dit, il existe entre les points a^ et a!„+i une correspondance (2, 2), d'ailleurs évidemment involutive, puisque les points a, et/ïrt+, jouent le même rôle. Les points critiques, dans cette correspondance, sont ceux à partir desquels le contour polygonal ne peut être construit que d'une manière, c'est-à-dire les points d'intersection de C et de C. Le théorème est ainsi démontré.

Cette remarquable proposition est due à Poncelet, de même que celle qui fait l'objet du paragraphe suivant.

204-. Supposons que deux coniques soient telles qu'il existe un polygone fermé de n côtés inscrit à l'une et circonscrit à l'autre. Nous allons démontrer qu'il en existe alors une infinité C). ,

Soit {fig- 10) a, «2 . . . «n un' polygone de n côtés inscrit à

la conique C et circonscrit à la conique C. Déplaçons le point a, sur C, et amenons-le à une position quelconque*»), puis construisons un contour polygonal de « côtés, inscrit à C, circonscrit à C, et ayant son premier sommet en otj. Il

(') Ce théorème a été "énoncé au n" 89, en note. Il est démontré aux n" 89 et 99, pour les cas de n = 4, « = 3.