EXERCICES

18. A une conique fixe cl aux hyperboles équilalères concentriques et passant par les foyers on mène les tangentes communes. Lieu de leurs points de contact avec ces hyperboles.

19. Étant donnés deux points fixes a et a', lieu des points m et m' tels que le quadrilatère am a m' soit inscriplible à un cercle et quô la parabole inscrite à ce quadrilatère ait pour foyer un point donné: Enveloppe de la droite mm' et enveloppe de la/parabole considérée.

20. Les hyperboles équilatères conjuguées à un triangle passent par les centres des cercles inscrits et exinscrils.

21. On considère les triangles conjugués à une conique et d'orthocentre donné : lieu de leurs sommets et enveloppe de leurs côtés. Lieu des centres des cercles inscrits à ces triangles.

22. On considère une hyperbole équilatère H de centre w, et le cercî? qui passe par les poinls communs à cette courbe et à une droite fixe D : montrer que le pôle de la seconde corde commune, par rapporlà H, reste fixe quand celle conique vatie en conservant le même centre.

23. S'il existe des triangles inscrits à un cercle C et circonscrits à un cercle C, le demi-produit de leurs diamètres est égal, en valeur absolue, à la puissance par rapport à C du centre de C.

24. Étant données deux hyperboles équilatères concentriques H et H', pour qu'il existe des triangles inscrits à H et circonscrits à H', il faut

•l h suffit que les foyers de H' soient sur les directrices de H.

25. On considère deux coniques coaxiales, C et C, telles qu'il existe des triangles T inscrits à C et circonscrits à C : les normales à G aux sommets de T sont (n" 101) concourantes.

1° Le centre w de l'hyperbole d'Apollonius correspondante est sur C

1° Le lieu du point de rencontre des normales est une conique.

3' Les cercles circonscrits aux triangles T coupent orthogonalement un cercle fixe.

4" Les normales à C aux poinls de contact des côtés du triangle T sont concourantes.

5" Le cercle qui passe par ces trois poinls de contact passe pài' <o.

26. Étant données deux coniques; les triangles déterminés, l'un par trois de leurs poinls communs, l'autre par trois de leurs langer.les communes, sont homologiques.

l64 EXERCICl-S.

27. Étant donnés deux triangles homologiques ABC elA'B'C, le triangle des droites ( BC, B'C), (AC, A'C), (AB', A'B) el le triangle des points ihc', b'c), {ac\ a'c), iab', a'b) sonl aussi homologiques.

28. On considère les hyperboles équilatères qui passent par un point fixe el sont bitangenles à une conique donnée. Enveloppe de la corde de contact.

29. Les sphères qui passent par trois points fixes d'une cubique gauche la coupent en trois autres points dont le plan a une direction fixe.

30. Toutes les quadriques qui passent par cinq points d'une biquadralique gauche la coupent en trois autres points dont le plan passe par un point fixe de la biquadratique.

31. Soient a, «2^304, b^ bi b^ 64 et cj c-ic^c., les points où une biquadratique gauche coupe trois plans. Les plans a,^ic,, a^boc^, asbiC-^ elai^iCt coupent la courbe en quatre autres points situés dans un même plan.

32. Lieu des sommets des cônes qui contiennent une conique fixe el dont un axe passe par un point fixe du plan de cette courbe.

33. Étant donné un quadrilatère symétrique par rapport à unediagonale, le lieu des foyers des coniques inscrites est un cercle.

34-. Étant données deux coniques a'yant leurs foyers en ligne droite, lieu des umbilics des coniques liomofocales.

3o. On considère deux quadriques de révolution dont les axes se rencontrent: leurs plans tangents communs touchent une troisième quadrique de révolution, dont l'axe esl dans le plan des deux premiers. Les six foyers principaux forment les sommets d'un quadrilatère.

36. Lieu des sommets des tétraèdres conjugués à la fois à deux quadriques qui varient en restant concentriques et liomothétiques.

37. Liant donnés cinq points dans l'espace, les cinq quadriques admettant 1 un pour centre et conjuguées au tétraèdre des quatre autres sont homothéti<iues.

38. Lieu des points d'un plan lois que les cônes du second degré avant ce.^ points pour sommets et passant par cinq points fixes soient tangents à ce plan. Enveloppe de la génératrice de contact.

39. Lieu de l'orthocentre des triangles déterminés par une cubique équilaière sur do? plans parallèles.

EXERCICES. lôù

40. Étant donnée une sphère 2 ;idmeltanL pour centre un point d'un^ cubique équilatère, il existe une infinité de iclraèdres inscrits à la cubique et conjugués à S. Les splicres circonscrites à ces tétraèdres passent par deux points fixes do la cubique. Lieu des centres de ces sphères.

41. Lieu des points de contact des tangentes de direction donnée menées aux paraboles inscrites à un triangle.

42. Lieu des points de contact des tangentes de direction donnée menées aux paraboles qui passent par deux points et dont l'axe a une direction donnée.

43. Lieu des points de contact des tangentes de direction donnée menées à des quadriques homothétiques et passant par une conique fixe.

44. Par un point fixe on mène les tangentes à chacune des coniques d'un système homofocal; les normales aux points de contact se coupent sur une droite fixe.

45. Lieu du point de rencontre des normales menées aux coiiiques d'un système homofocal en leurs points de rencontre avec une droite fixe,

46. Étant donnés un point u) et deux droites A et B, on considère les coniques de foyer w adn»cttant pour directrices correspondantes : l'une A et l'autre B, et tangentes, la première à B et la seconde à A; leurs paramètres sont égaux.

47. Enveloppe des coniques de foyer et de paramètre donnés, tangentes à une droite fixe, ou passant par un point fixe.

48. Étant données deux coniques admettant un même foyer a», on prend sur chacune d'elles deux points m et m', tels que l'angle m w m' ait une valeur donnée. Lieu du point de rencontre des tangentes en m et en m'.

49. Étant donnés deux triangles abcela'b'c\ lieu des points m et m' de leurs plans, tels que les distances wa, mb et inc soient respectivement égales aux dislances m'a\ m'b' et m'c'.

50. Étant donné un hexagone 123456 inscrit à une conique, les points 5, 6, (i5, a6), (i6, -25), (35, 46), (36, 45) sont sur une même conique.

l06 EXERCIC.KS.

.'il. Etanl donnes, dans un [ilan, qnalre couples de poinls (n, a'), (Z;, b'). (c, c'). (d. d' ), il existe çéncralenicnl dans ce pian deux conples de poinls i.r. .<•') tels que chacun des (]ualro quadrilatères analogues au quadrilatère aa'. r.v' soil inscriplible.

b'i. Soit Q une quadrique passant par le sommet d'un cône équilalère S. l.es plans interceptés sur Q par les arêtes des trièdres trireclangles situes sur S enveloppent un cône de second degré.

33. Ktanl données deux coniques telles (pi'il existe des triangles inscrits à l'une et circonscrits à l'autre, les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont sur une conique. L'enveloppe de ces cercles est une cyclique.

M. Toutes les cycliques qui passent par sept points passent par un huitième.

5o. Toutes les cycliques qui passent 4)ar cinq points 6xes d'une cyclique donnée la coupent en trois autres points. Le cercle qui passe par ces trois points coupe la cyclique en un quatrième point fixe.

56. 11 existe une infinité de coniques touchant une cyclique en quatre points équidislants du centre des déférentes.

57. Etant donnés trois couples de points {a, a'), (hf b') et (c, c'), lieu des poinls m tels que les cercles mao.\ mbb' et mec' se coupent en un point ///'. Enveloppe de la droite mm' .

38. Étudier la transformation qui associeentre eux les points où deux plans fixes coupent les droites d'une congruence linéaire {projection gauc/ie).

39. Étant donnés deux triangles abc et a'b'c' dans un même plan, lieu des points m et m' tels que les droites mn, mb et me soient respectivement parallèles aux droites m'a , m'h' et m'c'.

60. Si trois coniques sont bilangenlcs a une même conique et circonscrites à un triangle a/^c, les trois autres points où elles se coupent deux à deux déterminen' un triangle homologique au triangle abc.

61. Toulq quartique à trois poinls doubles admet quatre tangentes doubles qui déterminent quatre triangles homologiques au triangle des points doubles.

62. Étant donnée une conique fixe C et deux points fixe?/? et ç, on associe les poinls m et m' tels que la conique qui passe par ces points et par les points d'intersection de G avec leurs polaires passe aussi par/) et </. On définit ainsi une transformation du second ordre dont

KXERCICES. 167

les points doubles sonl les poiiUs de rencontre des tangentes menées à C de/? et </. Cas particulier où pcj louclie C.

63. Toutes les quadriques conjuguées à cinq segments dont les extrémités appartiennent à deux plans fixes sonl aussi conjuguées à un sixième segment analogue.

64. On considère dans l'espace deux (juadrilatères plans, admettant pour couples de sommets opposés : le premier a et a', h et h', c et c : le second, a et a', ^ et p', y et y', «, l> et c étant en ligne droite, ainsi que a, p et y. Si l'on relie par six tiges articulées les sommets a et a', a et a', b et P', ^ et //, c et y', y 6t c\ on obtient un système déformable.

65. Étudier la transformation de contact qui associe à tout point de l'espace la droite commune à ses plans polaires relativement à deux quadriques fixes. Montrer qu'à un plan correspond une cubifiue gauche.

66. Dans la transformation de Lie, toutes les droites isotropes ayant une même direction correspondent aux points d'un plan <|ui passe par une droite fixe X. Cette droite appartient au complexe linéaire (k) des droites auxquelles correspondent des cônes isotropes. .Aux éléments de contact de X correspondent ceux de l'ombilicale.

67. Etant donné un élément de contact arbitraire, déterminer celui qui lui correspond dans la transformation de Lie. Ce dernier correspond en général à deux éléments de contact conjugués au complexe (.A). Aux éléments de contact de ce complexe correspondent une infinité d'éléments de coniact, qui sont ceux d'un même plan isotrope le long d'une droite isotrope, linfin les éléments de coniact de l'ombilicale correspondent à une infinité d'éléments de contact du complexe (.A), appartenant à une droite de ce complexe rencontrant X.

.68. A toute demi-quadrique engendrée (»ar des droites du complexe (A) correspond un cercle, qui se réduit à une droite, quand la demi-quadrique contient X. •

69. Si l'on considère (m hyperboloïde formé [var des droites dç (,.'v) s'appuy.mt sur X, ses génératrices du môme système que X se transforment en sphères concentriques.

70. Étant donné un point fixe w, à tout [loint m on associe le cercle de centre it), admettant pour axe la droite ww, et dont le rayon est égal à la distance w/w : on définit ainsi la transformation apsidale. Un plan se transforme ainsi en cylindre de révolution; en déduire la con-

l68 EXERCICES.

struclion de deux éléments de contact correspondants. (La transfornraée d'un ellipsoïde de centre to est une surface de l'onde.)

71. Soient ABCD un tétraèdre circonscrit à une quadrique, a et p I » points où cette dernière rencontre l'arête AB, y et o les points où elle rencontre l'arrête CD. Démontrer que les deux divisions ABaJi, CD-yS sont homographiques. Théorème corrélatif.

72. Toutes Jes quadriques qui touchent huit droites fixes rencontrant deux droites données touchent une irr.mité d'auires droites fixes rencontrant Jes deux mêmes droites.

73. Toutes les quadriques qui touchent sept droites fixes rencontrant deux droites données touchent une huiiième droite fixe rencontrant les deux mêmes droites.

lit. Par une corde quelconque d'une biquadralique gauche donnée, on peut mener quatre plans tangents à cette courbe. Le faisceau ainsi obtwiu a un rapport anharmonique constSlnt.

73. Étant données deux quadriques, si Ton peut construire avec in génératrices de l'une d'elles, appartenant alternativement a l'un et l'autre système, un polygone gauche inscrit à la seconde quadrique, il existe une infinité de tels polygones.

76. Etant donnés deux cercles (dans le même plan ou non), si Ton peut construire un polygone ayant in côtés, d'une même longueur donnée, et dont les sommets se trouvent allernafivement sur l'un et l'autre cercle, il existe une infinité de tels polygones.

Étudier les cas particuliers suivants :

!"• Les deux cercles, de même rayon, sont dans le même plan, n étant égal à 3.

1° L'un des cercles se réduit à une droite située dans le même plan que l'autre cercle.

77. Si les tangentes au point' double d'un limaçon de Pascal font entre elles un angle de 120" (ayant pour bissectrice l'axe du limaçon), on peut construire une infinité d'hexagones à la fois inscrits et circonscrits à ce limaçon.

78. Si par une droite variable, tnngcnle commune à deux sphères données, on mène les plans tangents uux diverses quadriques (nécessairement de révolution) circonscrites à la l'ois aux deux sphères, on forme ainsi un faisceau de grandeur constante.

bXEHCJCES. 169

79. Si par une droite variable, langerrte commune quelconque à deux qiiailriques liomofocales ilonnées, on mène les plans langenls aux diverse» quadriques 'homorocalcs ;i ces dernières, on forme ainsi un faisceau de grandeur consiante,