CHAP. I. — PRÉLIMINAIRES

Lorsque ie point m décrit une courbe (/«), la courbe C reste tangente à une enveloppe (C), qui est, par tléfinilion, le lieu des points où se coupent deux positiobs infiniment voisines de la courbe C. A toutes les courbes qui i-assent par deux points-, m, et /7i,, de la courbe {m) correspondent ainsi des enveloppes tangentes aux courbes Ci et C,; si le point m., tend sur (m) vers le point m,, la courbe C2 tend à se confondre avec Cl et les points communs à Ci et à Cj tendent, d'après la définition même de l'enveloppe (C), vers les points où celle-ci touche Cl. Aux courbes tangentes en «i, à (m) coiTespondenl donc deux courbes tangentes à (C) aux points de conlacf de Cj. La transformation en question est donc bien nnr transformation de contact.

19. Supposons, par exemple, ([ue la courb'e C ait pouréquation

autrement dit, que la courbe C) soit amenée à coincitler avec (], par la translation qui transporte m^ en m^. Si le point m décrit une droite, il est bien évident que i'oriveloppe de C se compose de tangentes parallèles à cette droite; on en déduit <|ue, si le point m décrit une courbe quelconque (m), les points où C touche son enveloppe sont les points de contact des tangentes menées à cette courbe parallèlement à la tangente en m à {m).

20. Comme autre exemple, supposons que. o) désignant un point fixe du plan, on fasse correspondre à tout point m la perpendiculaire D menée en /w à la droite ',)m. Si le point m décrit une courbe (m), cette perpendiculaire enveloppe une courbe qu'on nomme Vanlipodaire de la courbe (m): inversement, la courbe {m) est nommée la podaire de cette enveloppe par rapport au point «. D'après ce qui précède, le point où la droite D touchfi son enveloppe ne dépend que de la tangente en nt h la courbe (/>?); il ne changera donc pas si nous substituons à cette courbe le cercle qui la louche en mei qui pBsse par w; mais, dans ce cas. l'enveloppe de D est évidem*. ment le point a. diamétralement opposé à u dans ce cercle.

PRfRUÈRES NOTIONS SUR LES TK ANSFORMATIOIXS. l3

Oa voit donc que le point a, où D touche ranlipodMtrcde (m). est lel que la normale en m à {m) passe par le milieu de w.a: on relronve ainsi une conétruclion bien coniuiedc la normale à la podaire d'une courbe.;

'21. Dans l'espace, les iranformalions de contact penvenl, en outre des transformations ponctuelles, s'obtenir de deux manières : dans la première, on fait correspondre une courbe, et dans la seconde une surface, à tout point de l'espace.

Ouisidérons d'abord le second cas : à tout point m (a, ;î,-/), on fait correspondre une surface S d'é(iuation

Si le point m décrit une surface [//^], la surface S reste généralement tangente à une surface enveloppe [S] en un nombre fini de points, qui sont les points communs à trois positions infiniment voisines de S. A toutes les surfaces tangentes en /H à ['«] correspondent ainsi des surfaces tangentes à [S] aux points de contact de S.

Dans le premier cas, à tout point m{y., j3, y), ou fait correspondre une courbe C d'équations

Si le point m décrit une courbe {m), la courbe C engendre une surface (C) ; à toutes les courbes de l'espace tangentes entre elles en tni point m correspondent ainsi des surfaces ^6i se touchent en loîis les points d'une courbe C. Si, maintenant, la courbe {/n) engendre une surface [w], la surface (C) reste tangente à une enveloppe [C|, qui touche cbacime des courbes C considérées en un nombre fini de points; ces poirits seront les mômes i)Our toutes les surfaces [/» J tangentes entre elles en m.

22. On voit que, par une transformation de contact, à une surface ou à une courbe tangente à un^plau donné en un point donné (ou encore à ce point donné lui-même), on fait correspondre, suivant les cas, une surface ou une courbe admettant

l4 CHAI'. I. PRÉLIMJNAIRES.

des plans tang-ents lixes en un ou plusieurs points fixes. II y a donc lieu d'envisager, avec Sophus Lie, l'élément géométrique constitué par l'ensemble d'un [)oint et d'un plan passant par ce point : on le nomme élément de conlacl.

On dira qu'un élément de contact appartient à un point, quand il sera formé de ce point et d'un plan mené par ce point; il appartiendra à luie courbé ou à une surface, <|uand il sera formé d'un point de cette courbe ou rie celte surface et d'un plan la touchant en cf^point.

On voit ainsi qu'un point, une courbe ou une surface possèdent une double infinilé d'éléments de contact; nous dirons que ceux-ci forment uua multiplicité. On peut dire, dès lors, que :

Par une transformation de contact, à toutes les multiplicités qui admettent un certain élément de contact commun, correspondent des multiplicités auxquelles appartiennent un ou plusieurs éléments de contact fixes.

Dans ce qui va suivre, après avoir indiqué les notions indispensables sur les divisions honiographi(|ues el en involution, nous étudierons spécialement les transformations homographiques et corrélatives, (jue nous appliquerons à l'élude des coniques et quadratiques. Nous nous occuperons ensuite de la transformation par rayons vecteurs réciprociues et ind^iuerons quelques exemples d'autres transformations.