EMPLOI DES IMAGINAIRES

le coefficienl de p'' : la droite m, mj est alors dite tani^cnle en m, à la surface; comme, d'ailleurs, le coeflicienl considéré est de degré />, par rapport aux coordonnées du point m,, on voit que ce point appartient à un cône de degré/?; dans le cas d'un point simple, ce cône se réduit à un plan, qui est le plan langent a la surface au point m,.

Si le point w, est un point à l'infini (c'est-à-dire, par définition, tel que la somme de ses coordonnées soit nulle), le plan tangent devient un plan asymptole à la surface.

Des considérations analogues s'appliquent aux courbes planes.

10. En particulier, si l'on considère l'intersection d'une surface par son plan tangent en w,, et si ni^ désigne un point de ce plan, l'équation er) p envisagée précédemment contient pj en facteur, d'après la définition môme que nous venons de donner du plan tangent; par suite, le point m, est point double de la courbe d'intersection. Ainsi :

L'intersection d' une surface par un de ses plans tangents présente un point double ou multiple au point decontact.

La réciproque est immédiate.

11. En particulier, une surface du second degré coupe un de ses plans tangents suivant une courbe du second degré présentant un point double w,. Soit m^ un autre point de cette courbe : l'équation en p, relative à la droite m^ m^, ne renfermant qu'un terme en p*, eidevant avoir une racine différente de zéro, est identiquement satisfaite; par suite, tous les points de la droite niiPio appartiennent à la courbe du second degré obtenue; on en déduit que celle-ci se compose de deux droites, réelles ou imaginaires. Ainsi :

L intersection d'une surface du second degré par un de ses plans tangents se compose de deux droites, réelles vu imaginaires.

Si une surface du second degré admet un point double, tout plan passant par ce point la coupera suivant une courbe

<S CHAP. 1. — l'nÉLIMINAIRrS.

du second degré admettant aussi ce point pour point double, c'est-à-dire, d'après ce qui précède, suivant deux droites. La surface considérée sera alors un cône du second degré.

En dehors de ce cas, une surface du second degré n'aura que des points simples, où elle admettra des plans tangents: par suite :

Par toiiL i>oint d'une surface du xecond degré, il passe deux génératrices.

Soit A l'intersection des plans tangents à une surface du second degré en deux de ses points, m et tn' \ les génératrices qui passent par ces points s'obtiendront évidemment en les joignant aux deux points, a et a\ où la quadrique coupe la droite A. On voit ainsi que les quatre génératrices issues des points m et m' se coupent deux à deux ; mais les génératrices telles que 77îa el w'fl' né se rencontrent pas. On peut donc distirjguer deux systèmes de génératrices, tels que toute génératrice de l'un des systèmes coupe toutes celles de l'autre système, sans en rencontrer aucune du système dont elle fait partie.

On en déduit encore que :

Toute surface du second degré peut être engendrée par une droite mobile assujettie à rencontrer trois droites fixes.

12. Au moyen de la théorie de l'élimination on peut montrer que :

Trois surfaces, de degrés m, n et p, ont., en général, mnp points communs^ réels ou imaginaires, distincts ou confondus, à distance finie oa infinie.

Si l'une de ces surfaces est un plan, on voit que :

Deux courbes planes, de degrés rn et n, se coupent généralement en mn points.

L'intersection de deux surfaces de degrés m ei n est, par suite, une courbe qui coupe en mn points un pian quelconque, c'est-à-dire une courbe à'ordre mn. En particulier, deuxsur-

KM^LOI DES IMA(;iNAIRES. 9

faces du second degré se coupent suivant unecouibe du quatrième ordre, qu'on apiiello une biquadraciaue gauche.

13. D'après la définition du plan (n° 3) les quatre coordonnées des points d'un plarx sont reliées par une équation linéaire et homogène, et réciproquement. En particulier, les points à l'infini, dont les coordonnées ont une somme nulle, doivent être considérés comme apiiartenam à un même plan, qu'on appelle \e plan de t infini . C'est là un résultat purement analytique, qui provient uniquement de la définition analytique du plan.

Toutes les surfaces de mêmes directions asymploiiques coupent le plan de rinfi*ni suivant une même courbe plane. lie même, dans le plan, toutes les courbes de mêmes directions asymptotiques passent par les mêmes points de la droite de l'infini ûg ce plan.

14. Il est essentiel de bien se rendre compte que les définitions précédentes permettent simplement d'employer le langage géométrique pour exprimer dos opérations analytiques; le point n'est plus qu'une expression eonveniionnelle. et n'a plus qu'un sens purement analyti(itie ; il ne représente rien de géométrique, lorsqu'il est imaginaire, pas plus qu'une surface à coefficients imaginaires, le tétraèdre de référence étant supposé réel.

Mais la définition même dès quantités imaginaires, considérées ainsi en (léométrie, notis permet d'exprimer en langage géométrique des opérations analytiques, qui, de cette manière, s'énoncent parfois très simplement, malgré lenicomplication. Nous pourrons d'ailleurs, dans lios raisonnements, nous laisser guider par les considérations géométriques, qui se présenteront naturellemenl à l'esprit, en supposant réalisées certaines relations contingentes entre les éléments à envisagci'. Les énonces auxquels nous aJjoutirons n'auront pas, dans leur expression générale, d'interprétation géométrique ; mais, dans divers cas particuliers, chacun d'eux pourra correspondre à des propriétés géométriques différentes.

lO CHAP. I. — PRÉLIMINAIRES.

Premières notions sur. les transformations.

16. Comme nous l'avons dit nu début, l'emploi systématique ûe?, transforma lions des figures constitue une des caractéristiques de la Géométrie moderne.

Transformer une figure, c'est en déduire, par des procédés bien déterminés, une autre figure, de sorte que certains éléments se correspondent deux à deux, et des propriétés de l'une des figures on déduit des propriétés de l'autre.

On peut diviser les transformations en deux grandes classes: les premières font se correspondre les éléments de deux courbes ou de deux surfaces : c'est, par exemple, le cas des représentalions géographiques sur un plan, qui font correspondre à tout point d'une sphère un point d'un plan. Les autres transforment au contraire les éléments de tout l'espace.

16. Parmi les transformations de la première classe, la projecUon stéréographique était déjà connue de Ftolémée.

L'étude delà perspective fournit ensuite naturellement des figures en correspondance; mais Desargues et Pascal semblent être les premiers qui aient eu recours à des considéralions de figures correspondantes pour découvrir des théorèmes. C'est dans le Traité des Planico niques de la Hire (1673) (|u'apparaît pour la première fois une méthode suffisamment générale de transformation projective, obtenue par des constructions dans le plan, et qui revient k la transformation homologique. Mais ce n'est que dans le Traité des propriétés projectives de Poncelet que se trouvent employés systématiquement deux procédés de transformation, à savoir la transformation homoiogiqu» et la transformation par polaires réciproques. Ces transformations furent bientôt généralisées |)ar Chasles, dans son Mémoire sur la dualité et l'homographie (i83o), où sont développées les propriétés de la transformation homographique et de la transformation corrélaliie. Ces deux transformations permirent à Chasles de faire une élude très complète des courbes et des surfaces du second degré.

Crie autre transformation, d'imé importance capitale, Tut

PREMIÈRES NOTIONS SUR LES TRAJiSFORMATIONS. Il

imaginée un peu plus tard (i836) par Bellavilis, et recul de Liouville (1847) ^^ nom de transformation^ />«/■ rayons vecteurs réciproques. Dans le i)lan, celle transformation n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de la transformation quadratique dont la découverte semble due à Steiner (').

Depuis, sous l'inflence de Cremona, de Sophus Lie, etc., on a imaginé des transformations plus générales ; nous parlerons sommairement de quelqueS-unes des plus simples à la fin de cet Ouvrage.

17. La transformation homographique et la transformation quadratique appartiennent au type des transformations ponctuelles, dans lesquelles les figures se correspondent point par point ; à un lieu de points de la première figure correspond ainsi un lieu de points de la seconde.

A une courbe F, passant par deux points a et 6 d'une courbe C de la première figure, correspond donc, dans la seconde, une courbe Y' qui passe par les points a' et b', transformés de a et b, et situés sur la courbe C, transformée de C. Si le point b tend sur C vers le point a, C et F deviennent, par définition, tangentes en a ; b' tend alors vers a' et les courbes C et F' deviennent également tangentes en «'. Ainsi, des courbes et, par suite, des surfaces tangentes se transforment en courbes et en surfaces tangentes ; autrement dit, les transformations ponctuelles sont des transformations de contact.

18. On peut obtenir des transformations de contact (*) par un procédé beaucoup plus général. Considérons d'abord, pour simplifier, le cas de figures planes.

Au lieu de faire correspondre, à tout point /n(a, (3) du plan, un autre point dont les coordonnées soient des fonctions déterminées de a et [3, associons-lui une courbe C, dont l'équation soit de la forme

{') Jo^urn. Je Crelle. ^ III, 1828.

(') C'est le grand géomètre norvégien, Sophus Lie, qui a montré l'importance de ces transformations.