Nous avons défini précédemment (5) le rapport

de deux segments d'une même droite; étant donnés quatre points en ligne droite, m,, m^. m^ et /«j, le rapport

ni^m^ ' ni!,m2

est appelé le rapport anharmonique (') de ces quatre points considérés dans l'ordre m^m^^m^m.^ et se représente par le symbole {m^nin^m^m-^).

(') Celte dénomination est due à Ghasles (Aperçu historique. Note 1%], qui a fait du rapport anharmonique la base de son Traite de Géométrie supérieure. Pappus ( iv siècle après J.-C.) avait déjà considéré ce rapport et montré qu'il est projectif. {Collections mathématiques. Propos. 129.)

tG CHAP. !l. — Dr VISIONS El FAISCEAUX IIOMOGUAPIHQUKS.

Dans le cas où ce rapport est égal à — i , on l'appelle harmonique et l'on dit que les points m^ el m^ divisent harnioniquementle segment /n,mj. Contune on a évidemment

les points m^ et m^ divisent aussi harmoniquement le segment m^m,,.

Étant donnés trois points en ligne droite, «, b et c, il est bien éviden? qne la donnée du rapport {abcni) = k définit la position d'un point m sur la droite abc, et, réciproquement, à tout point m de cette droite correspond une valeur de k. Quand le point m coïncide avec les points a, b ou c, k prend une valeur infinie, nulle ou égale à l'unité. Enfin le point à

l'infini de la droite correspond à la valeup-y de k.

2'î. On dit qu'il existe une relation ho nio graphique entre deux variables, réelles ou complexes, k et /,', quand celles-ci sont \\ée.% algébriquement^ de sorte qu'à toute valeur de l'une corresponde une valeur unique de l'autre. Cette relation algébrique doit donc contenir /.■ et k' au premier degré, c'està-dire être de la forme

akk' -f- bk -\- ck' -+- dzzzo,

les coefficients éliuit réels ou imaginaires- Trois seulement de ces coefficients sont distincts : une relation hon^ographique se trouve donc déterminée par la donnée de trois couples de valeurs corres]K)ndanles de /.• et de k'.

Si A' et A' (iéfinissent, |Coinme nous venons de l'indiquer (23), sur deux droites U et D' les i>ositions de deux points m et m', on dit que ces points déterminent sur les bases D el D' deux divisions honiographiifites, et les points ni el m' son! dits homologues.

25. Cela posé, soient a, b, v trois points quelconques de la droite 1); a','b\ c' trois i)oinls quelconques de la droite D'; enfin m et m' deux points varitijjles sur ces droites, tels que les rapports' anharmoniques {abcm) et {a' b' c' m') soient égaux. La r'elation entre ces rapports étant homographique.

DIVISIONS ET FAISCEAUX HOMOCRA PHIQUES I7

les points m et m formcnl deux divi>ioris homographiqufcS. dans lesquelles se correspondenl h's poinis a et a\ b et h' , ç et c', ces couples de points hornolojiriies éiant obl^^niis (n "23) lorsque les deux rapports anliarrnoiiiqiios considérés deviennent infinis, nuls ou égaux à l'unité. La correspondance homofiraphique {m, ni) est dont celle qui se trouve délinie (n" 24) par la donnée des trois couples aa' , hb' et ce de points homologues, et l'on a ce ihéoremc :

Dans deux divisions honiof^rnphirjws, deux groupes homologues de quatre points ont même rapport anharmonique .