Le point à l'infini de I), qui correspond (n" '23j à la

cet valeur — du rapport {abcm), a, en général, pour homologue

un point à distance finie sur D , à moins que l'on n'ait

c' a' ca

W^Tb'

On voit donc que deux divisions honiog raphiq ues oit tes points à l'infini se correspondent sont des divisions semblables.

27. On oblient un exemple très simple de divisions homographiques de la manière suivante : Étant données trois droites, D, D' et A, faisons se correspondre sur 0 et D' les points m et m' où ces droites rencontrent un jjlan variable issu do A. A tout point m ne correspond qu'un point m' et réciproquement ; les points m et m' déterminent donc sur D et. D' deux divisions homograpliiques.

On voit ainsi (n° ^fi que le rapport anharmonique des qu;jtre points où la droite I) rencontre quatre plans menés par A est égal n relui des quatre points où ces plans coupent une autre droite quelconque, D' ; autrement dit :

Ae rapport anharmonique des quatre points où quatre plans issus d une même droite rencontrent une transversale quelconque est constant.

On appelle ce rapport anharmonique le rapport anhar-

l8 CHAP. II. — DIVISIONS ET FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES.

monique des quatre plans : il n'est d'ailleurs bien défini que si l'on considère les quatre pians dans un ordre bien déterminé. C'est aussi le rapport anharmonique des quatre droites concourantes suivant lesquelles ces quatre plans coupent un plan quelconque.

28. Si 1), D' et A sont trois génératrices d'un même système d'une surface du second degré, les droites mm' qui rencontrent ces trois droites engendreront cette surface. On voit ainsi que :

Le rapport anharmonique des quatre points où quatre génératrices d'un même système rencontrent une génératrice quelconque de l'autre système est constant (').

Le pian mm' ^ est d'ailleurs tangent à la surface considérée au point p. où mm' coupe A; à tout point jjl de A correspond ainsi un pian tangent passant par p. ; le rapport anharmonique de quatre points \x étant, d'après le théorème précédent, égal à celui des quatre points m correspondants, on voit ainsi que :

Le rapport anharmonique de quatre plans tangents menés par une même génératrice est égal à celui des quatre points de contact.

•29. Supposons maintenant que les droites D et D' soient dans un même pian: la droite mm,' passe alors par un point (ixe, celui où ce plan coupe la droite A. Il faut remarquer que, dans ce cas, le point commun aux deux bases coïncide avec son propre homologue.

Iléciproquement, considérons deux divisions homograpliiques, dont les bases D et D' concourent en un point a, qui est à lui-même son homologue. Soient b, b' ei c, c' deux autres couples de points homologues, et soit oo le point où se coupent les droites bb' et ce. Les points m et m', où une transversale menée par w coupe D et D', forment sur ces droites deux divisions homographiques, où se correspondent

(^) Chasles, Aperçu historique, Note IX.