THÉORIE MATHÉMATIQUE DU BIMETALLISME

Dans une Note sur le 15 1/2 légal, publiée parle Journal des Economistes dans son numéro de décembre 1876, j’ai indiqué comment on pourrait, si on le voulait, établir mathématiquement que, en fixant un rapport entre la valeur de l’or monnaie et la valeur de

1 Extrait du Journal des Economistes, n° de mai 1881.

l'argent monnaie, l’Etat fixait par cela même indirectement le même rapport entre la valeur de l’or marchandise et la valeur de l’argent marchandise; mais que cette concordance, s’établissant et se maintenant soit par monnayage d’argent avec démonétisation d’or tant qu’il y avait de l’or à démonétiser, en Cas d’excédent du premier rapport sur le second, soit par monnayage d’or avec démonétisation d’argent tant qu’il y avait de l’argent à démonétiser, en cas d’excédent du second rapport sur le premier, n’était assurée que dans certaines limites; et qu’en outre le résultat de la fixa* tion du rapport de valeur entre les deux métaux monétaires pouvait être, suivant les cas, de n’en laisser qu’un seul dans la circulation.

Je fondais toute cette théorie sur le fait que « une marchandise seule peut être monnaie, » que « pour devenir monnaie, elle n’en demeure pas moins marchandise, et n’en a pas moins, comme telle, un prix déterminé par la loi de l’offre et de la demande, » et qu’enfin « ce prix peut être exceptionnellement et momentanément tantôt supérieur, tantôt inférieur au prix de la monnaie. »

M. Cernuschi, dans sa réponse, m’ayant nettement contesté ce point de départ, je crois devoir, dans les circonstances actuelles, le maintenir absolument et en démontrer rigoureusement les consé-* quences. Je n’aurai pour cela qu’à résoudre le problème posé par moi dans ma note de 1876. Je le résoudrai, comme je l’ai posé, en me plaçant successivement dans l’hypothèse de l’étalon unique et dans l’hypothèse des deux étalons solidaires.

Soient (fig. 1 et 2) deux axes rectangulaires : un axe des prix Op horizontal, et un axe des quantités Oç vertical. Et soit (A) une marchandise servant de monnaie, qui existe en quantité totale Q a , et dont une quantité Q' a est demeurée sous forme de marchandise pendant qu’une quantité Q" a a été mise sous forme de monnaie.

J’ai expliqué dans mes Eléments d'économie politique pure (30 e leçon) que la courbe de prix de (A) monnaie en une autre marchandise (B), en fonction de la quantité, était, si on néglige un terme négligeable, une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes (fig. 1) dont l’équation est

c’est-à-dire une courbe telle que le produit de ses ordonnées, représentant les quantités de (A) monnaie, par ses abscisses, représentant les prix de (A) monnaie en (B), était constant et égal à ^importance H de la circulation à desservir exprimée en (B). Il n’y a là rien de nouveau, et c’est une chose admise par les économistes

les plus autorisés que le prix de la monnaie est égal au rapport de l’importance de la circulation à desservir à la quantité de cette monnaie et réciproquement.

J’ai également expliqué dans mes Eléments (26® et 59® leçons) que la courbe de prix de (A) marchandise en (B), en fonction de la quantité, était une courbe A q A p (fig. 2) dont l’équation est q = Fa (p),

c’est-à-dire une courbe telle que, la quantité de (A) allant toujours en diminuant depuis une quantité représentée par la longueur OAq, et qui est celle nécessaire pour la satisfaction de tous les besoins à discrétion, jusqu’à zéro, le prix de (A) va toujours en augmentant depuis zéro jusqu’à un prix, infini ou non, représenté, parla longueur OA p . Cette courbe n’est pas plus nouvelle que la précédente, et M. Cournot, qui l’a posée le premier, s’en est utilement servi dans ses Recherches sur les 'principes mathématiques delà théorie des richesses.

Gela posé, j’ai démontré dans la 30 e leçon de mes Eléments , et il est bien facile de comprendre, que la courbe de prix en (B) de (A) considérée à la fois comme marchandise et comme monnaie, en fonction de la quantité, est une courbe passant par le pointG (fig. 2), dont l’équation est

et qui s’obtient graphiquement en superposant, pour toutes les abscisses, les ordonnées de la courbe h"H.h' aux ordonnées de la courbe A q A p . En effet, cette construction effectuée, soit OA une longueur représentant la quantité totale de (A), Q a ; si on mène l’horizontale AG jusqu’à la rencontre de la courbe supérieure, et que, du point G, on abaisse la perpendiculaire GP, on aura, dans l’abscisse OP, la représentation du prix P a de (A) marchandise et monnaie correspondant à la quantité Q a . Et de plus, on aura, dans les longueurs O a = PF et aA = FG, la représentation des quantités respectives ,Q' a et Q" a de (A) marchandise et de (A) monnaie alors qu’il ne se fait aucune transformation de (A) marchandise en (A) monnaie ni de (A) monnaie en (A) marchandise.

Si, au lieu de partager la quantité Q a en Q' a et en Q a ", comme il a été fait ci-dessus, on l’avait partagée au hasard en deux quantités représentées l’une par Oa' > Oa et l’autre para'A = Oa' (fig. l)<Oa, le prix de (A) marchandise aurait été représenté par Op' < OP, et le prix de (A) monnaie par 0^' > OP, et l’on transformerait de la marchandise en monnaie, ce qui diminuerait Oa', augmenterait Oa',et, par conséquent, augmenterait Op' et diminuerait Ott'. Et si on avait partagé au hasard la quantité Q a en deux quantités repré-

sentées l’une par Oa"<Oa et l’autre par a "A == Oa"> Oa, le prix de (A) marchandise aurait été représenté par O p" > OP, et le prix de (A) monnaie par 0^" < OP, et l’on transformerait de la monnaie en marchandise, ce qui augmenterait Oa", diminuerait Oa", et, par conséquent, diminuerait Op" et augmenterait Ott". Nptre construction fournit donc exactement la solution du problème de la détermination : l°du prix de la marchandise monnaie (A), 2° de la quantité de (A) marchandise, et 3° de la quantité de (A) monnaie, telle qu’elle se fait, dans la réalité, par des tâtonnements que représentent très bien les figures 1 et 2.

Ainsi : — Dans le cas d'un étalon unique , le prix commun et identique en une autre marchandise quelconque de la marchandise monnaie comme marchandise et comme monnaie s'établit par monnayage ou par démonétisation selon que le prix de la monnaie est supérieur au prix de la marchandise ou réciproquement.

Les deux courbes h"Wi! , A q A p , et la longueur OA, étant ainsi les éléments de l’établissement du prix de la marchandise monnaie et de la détermination des quantités respectives de marchandise et de monnaie, sont aussi, par cela même, les éléments de variation de ce prix et de ces quantités. Il suffirait donc d’examiner successivement les effets des déplacements des courbes h"Rk', A q A p , et les effets des changements de la longueur OA pour se rendre compte de tous les phénomènes de variation du prix de la marchandise monnaie et des quantités respectives de marchandise et de monnaie. Par exemple, la courbe h"Rh' s’éloigne ou se rapproche de l’origine 0 suivant l’augmentation ou la diminution de l’importance de la circulation à desservir ; la courbe A q A p s’éloigne ou se rapproche de l’origine 0 suivant l’augmentation ou la diminution de l’utilité de (A) comme marchandise. Or, suivant que ces deux courbes s’éloignent ou se rapprochent de l’origine, le prix de (A) augmente ou diminue. Donc ce prix augmente ou diminue avec l’augmentation ou la diminution de l’importance de la circulation à desservir et de l’utilité de la marchandise. Quant à la longueur OA, elle augmente ou diminue avec l’augmentation ou la diminution de la quantité de (A). Or, suivant que cette longueur augmente ou diminue, le prix de (A) diminue ou augmente. Donc ce prix diminue ou augmente avec l’augmentation ou la diminution de la quantité de la marchandise.

La construction géométrique ci-dessus correspond à la résolution algéhrique des trois équations

en vue de la détermination des trois inconnues P a , Q'a et Q" a .

Ainsi, comme je le disais dans ma Note $ur le 15 1/2 légal , il y a bien, dans ce cas, 3 équations, pour déterminer 3 inconnues.

Soient, à présent, (A) et (0) deux marchandises employées concurremment comme monnaie ; soient Q a et Q 0 leurs quantités totales respectives, Q' a et Q' 0 les quantités demeurées sous forme de marchandise, Q" a et Q" 0 les quantités mises sous forme de monnaie. Soient P a et P 0 leurs prix en une troisième marchandise quelconque (B). On a, comme je le disais dans la même note, pour déterminer ces 6 inconnues, les 5 équations :

Q"aPa + Q"oPo=H [1]

exprimant que la quantité de monnaie (A) et la quantité de monnaie (0) desservent ensemble la circulation ;

Q'a=Fa(Pa) [2] Q' 0 = Fo(Po) [3]

exprimant comment les prix de (A) marchandise et de (0) marchandise résultent des quantités de (A) marchandise et de (0) marchandise;

Qa=Q'a+Q"a [4] Qo=Q'o + Q"o [5]

exprimant que les quantités totales de (A) et de (0) sont égales aux sommes des quantités de (A) marchandise et de (A) monnaie et des quantités de (0) marchandise et de (0) monnaie.

Et l’on peut, si l’on veut, pour achever de déterminer le problème, poser l’équation

Po = «P a [6]

fixant un rapport de valeur entre P a et P 0 . C’est ce qui a lieu quand l’Etat déclare que 1 de (0) et w de (A) équivaudront l’un h l’autre dans les payements.

Portant la valeur de P 0 , tirée de l’équation [6], dans les équations [1] et [3], puis les valeurs de Q' a et Q' 0 , tirées des équations [2] et [3] modifiée, dans les équations [4] et [5], il vient

Qa = F a (Pa) + Q" a Q 0 = F 0 ( w P a ) + Q"o ,

soit

Portant ces valeurs de Q" a et Q" 0 dans réquation [1] modifiée, il vient

[Qa - Fa (Pa) ] P a + [Q 0 -|F 0 («P a )] “Pa=H, soit

Q.+ «Qo = F. (P.) -f Jt + „F„ («P.),

équation d’où 1 on peut tirer P a , et susceptible d’une résolution géométrique très simple.

Soient (fig. 3, 4 et 5) deux axes rectangulaires : un axe des prix Op horizontal, et un axe des quantités Og vertical.

Soit la courbe passant aü point H (fig. 3) l’hyberbole équilatère rapportée à ses asymptotes dont l’équation est

soit A q Ap (fig. 4) la courbe de prix de (A) marchandise en (B), en fonction de la quantité, dont l’équation est 0 — Fa (p);

et soit OqOp (fig. 5) la courbe de prix de (0) marchandise en (B), en fonction de la quantité, dont l’équation est ' q = F 0 (p)«

Je fais subir à cette dernière la transformation suivante. Je porte, à partir de l’origine Q, sur l’axe horizontal, des abscisses 1.5, 2,

2.5,3. . . égales au - des abscisses 15, 20, 25, 30 ... (w dans la

figure est égal à 10). Et, sur des parallèles à l’axe vertical menées par les extrémités des premières abscisses, je porte, à par tir de l’axe horizontal, des ordonnées 0' q , s', s", s'".. . égales à w fois les or-* données r, r 1 , r", r '".. . J’obtiens ainsi la courbe O'qO'p dont l’équation est

q = <oFo('*p).

Cette transformation s’expliquera tout de suite si l’on considère que, dans lè système du rapport fixe des Valeurs entre (A) et (O)* 1 de (O) peut être remplacé par w de (A) à un prix « fois moindre, La courbe 0' q 0' p est donc en quelque sorte la courbe de prix de (0) sous forme de (A).

Ces préliminaires terminés, la résolution géométrique deTêquation

se fait ainsi. Je superpose graphiquement, pour toutes les abscisses, les ordonnées de la courbe passant au point H (fig. 3) aux ordonnées de la courbe Aq A P |(fig.4); et j’obtiens ainsi la courbe t*'K m" dont l’équation est

Je superpose ensuite graphiquement, pour toutes les abscisses, les ordonnées de la courbe 0' q 0' P (fig. 5) aux ordonnées de la courbe n'K m" (fig. 4), et j’obtiens ainsi la courbe v'Xn" dont l’équation est

q = Fa (p)+y+ wF ° M-

Alors, soit OA une longueur représentant la quantité totale de (A), Q a , et AB une longueur représentant « fois la quantité totale de (0), w Q 0 ; si on mène l’horizontale BN jusqu’à la rencontre de la courbe supérieure, et que, du point N, on abaisse la perpendiculaire NP, on aura, dans l’abscisse OP, la représentation du prix P a de (A) marchandise et monnaie correspondant à la quantité Q a . Et, de plus, on aura,,dans les longueurs PI et IM, la représentation des quantités respectives Q' a et ,Q" a de (A) marchandise et de (A) monnaie, alors qu’il ne se fait aucune transformation de (A) marchandise en (A) monnaie, ni de (A) monnaie en (A) marchandise. En outre, on aura, dans l’abscisse 50 (fig. 5) = toOP (fig. 4), la représentation du prix P 0 de (0) marchandise et monnaie correspondant à la quantité Q 0 . Et, de plus, on aura, dans les longueurs NK et KM, la représentation des quantités respectives <oQ' 0 et «Q" 0 de (0) marchandise et de (0) monnaie, alors qu’il ne se fait non plus aucune transformation de (0) marchandise en (0) monnaie, ni de (0) monnaie en (0) marchandise. (5n démontrerait, exactement comme dans le cas de l’étalon unique, que si, au lieu de partager les quantités Q a et Q 0 en Q' a et Q" a et en Q' 0 et Q" 0 , comme il a été fait ci-dessus, on les avait partagées au hasard en des quantités différentes, il y aurait eu, selon les cas, transformation de (A) marchandise en (A) monnaie ou de (A) monnaie en (A) marchandise, et transformation de (0) marchandise en (0) monnaie ou de (0) monnaie en (0) marchandise. Il suffirait, pour cela, de supposer les trois parties de la longueur PN différentes de PI, IK et KN et différemment placées entre l’axe O p et les trois courbes A q A p , p/K m", et v'Nn". Je m’abstiens de répéter cette démonstration afin d’abréger et pour ne pas compliquer la figure qui doit me servir à démontrer autre chose.

Ainsi : — Dans le cas de deux étalons solidaires , comme dans le cas d’un étalon unique , le prix commun et identique en une autre marchandise quelconque de chacune des deux marchandises monnaies comme marchandise et comme monnaie s'établit par monnayage ou par démonétisation selon que le prix de la monnaie est supérieur au prix de la marchandise ou réciproquement.

Les trois courbes H, A q A p , O q O p , les longueurs OA, AB, et le rapport <■>, étant ainsi les éléments [de] l’établissement du prix des deux marchandises monnaies et de la détermination des quantités respectives de marchandise et de monnaie, sont aussi, par cela même, les éléments de variation de ces prix et de ces quantités. Ici encore, il suffirait donc d’examiner successivement les effets des déplacements .des courbes H, A q A p , ,O q O p , et les effets des

changements des longueurs OA, AB, et du rapport w pour se rendre compte de tous les phénomènes de variation du prix des deux marchandises monnaies et des quantités respectives de marchandise et de monnaie. Et en comparant les résultats de cette étude faite dans le cas de deux étalons solidaires avec les résultats de la même étude faite dans le cas d'un étalon unique on pourrait se prononcer en toute connaissance de cause sur les mérites respectifs du monométallisme et du bimétallisme au point de vue de la plus grande fixité possible de valeur du numéraire et delà monnaie. J’étudierai seulement ici les effets des changements des longueurs OA et AB correspondant aux changements des quantités Q a et Q 0 .

Supposons d’abord que Q a représenté par OA demeurant con- MN

stant, Q 0 représenté par-augmente jusqu’à une quantité re¬

présentée par ■ m H - , ou diminue jusqu’à une quanti té'représentée m"n" „ ,

par-. La figure 4 montre que, dans le premier cas, la quan¬

tité totale d’argent représentée par p'm! serait marchandise, et que la circulation monétaire serait exclusivement desservie par l’or, tandis que, dans le second cas, la quantité totale de l’or représentée par — serait marchandise, et que la circulation monétaire serait exclusivement desservie par l’argent. Elle montre aussi que, si Q 0 augmentait jusqu’à une quantité supérieure à

-, ou diminuait jusqu’à une’quantité intérieure a ———, le

prix de l’argent restant égal à p' ou à p'\ tandis que le prix de l’or deviendrait inférieur à p', ou supérieur à p ", le rapport de la valeur de l’or marchandise à celle de l'argent marchandise serait intérieur à a dans le premier cas et supérieur dans le second.