I. Extraction des racines des monômes
i 54. Pour obtenir la racine m*"* d'un monôme, il faut extraire la racine m de son coefficient et diviser tous ses exposants
par m. En effet, pour élever un monôme à la puissance m, il faut former la puissance m de son coejQicient, et multiplier ses exposants par m (n° 96). Donc, pour revenir de la puissance m d*un monôme à sa racine, il faut faire les opérations inverses, ce qui conduit à la règle énoncée. Exemples :
155. De là résulte, qu'un monôme ne peut pas être une puissance parfaite du degré m, à moins que son coefficient ne soit une puissance exacte de ce degré, et que tous ses exposants ne soient divisibles par m. Ainsi le monôme Ga^b'" n'est pas un carré parfait, parce que le coefficient 6 n'€st le carré exact d'aucun nombre, et le monôme Sa^b"^ n'est pas un cube parfait, à raison de ce que les exposants 5 et 7 ne sont pas divisibles par 3.
Dans le cas où les conditions précédentes ne sont pas remplies, on se contente d'indiquer les opérations à effectuer ; ainsi
[/ 6a^6'" = 0^6^/6, |/"8a*6^ = 2a"6^; ou bien encore on laisse
ces expressions sous la forme l/"6a®é'% |/^8a*6^ en les simplifiant au moyen d'un procédé que nous ne donnerons que dans le chapitre suivant.
i 56. Toute racine de degré pair d'une quantité doit être
Jm
affectée du double signe +; ainsi l/^A*"'=+A quelle que soit la quantité A; car (n^ 97), (-f A)'"'=A"", et ^— A)*"=A*".
£ar. i/'9=±3, et en effet -j-3x4'3 = 9> — 3x — 3 =^9; l/"a' = +a, car-4-oX + a=*a', — aX — a — a\
On voit de même que /"i6a«6'*==+2a'6, et k^û'^6" =-^±a^\
167. Toute racvne de degré impair d'une quantité, a le signe de cette quantité. Ainsi
«m+l înuf t
En effet (n" 98),
(|A)«»+« = -j- A««H-i et ( — A)'"'+' = — A*"»+'.
d'algèbre. 73
i 58. Toute racine de degré pair d'une quantité négative n'existe pas. En effet, si une telle racine existait, elle serait positive ou négative ; or, c'est ce qui né peut être, puisque toute puissance pair d'une quantité positive ou négative est toujours affectée du signe plus (n** 97).
On donne à ces expressions le nom d'imaginaires; et par opposition, on donne celui de quantités réelles^ aux expressions or-
dinaires. Ainsi 1/ — 4»^^ — <*% i^—a^, V — à'b^j sont des quantités imaginaires.
159. Za racine m*™* d'un produit^ égale le produit des racines m des facteurs, ou algébriquement
1/ AxBxC = V'AX f/fi X V'C En effet (n^ 99)
(V^AxV^BxV^C....)»=(V^A)"X(V^B)-X(C/cr
(V^AXV'BX\/C....)'»= AXBXC C. Q. F. D,
< 60. Toute quantité imaginaire du second degré est de la forme + q V — i , q étant une quantité réelle commensurable ou incommensurable. En effet, la forme la plus générale qu'on puisse donner à une imaginaire du 2® degré est \/ — A, A étant une quantité positive quelconque. Or — A=^Ax — i et d'après le n*» précédent V"^^^^\/k\^^^ ou yT^^^ + qV"^ en posant \/a = + y .
Exemples : ^^ — 4 = \^4 / — 1 = ±2 1/ — i,
II sera démontré, dans le second livre, que toute quantité imaginaire provenant de l'extraction d'une racine de degré pair d'une quantité négative, est de la forme p+q V~ — i , p et 9 désignant des quantités réelles.
IL Extraction de la racine carrée des polynômes.
161. Avant d*énoncer la règle, nous démontrerons le principe suivant, sur lequel elle repose. Si l'on retranche d'un polynôme le carré des n premiers termes de sa racine carrée, le premier terme du reste exprime le double produit du premier terme de cette racine, par /c n + 1^*. (On suppose que ce polynôme, sa racine et le reste sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une lettre commune.) Désignons par P ce polynôme, par S les n premiers termes de sa racine carrée, et par T la seconde partie de cette racine, nous aurons \/p=S+T, ou en carrant (n« 100), P=S*+2ST+TV Retranchons S* des deux membres de cette égalité et mettons T en facteur dans le second, nous obtiendrons P — S* = (aS-f T) T ; l'excès du polynorae P sur le carré S^ des n premiers termes de sa racine est donc le produit de 2S4-T par T, produit dont le premier terme est évidemment le double du premier terme de S multiplié par le premier terme de T (n** 53), c'est-à-dire le double du premier terme de la racine multiplié par le n-j- ^^"*^ C. (?. F. D.
162. Actuellement, pour extraire la racine carrée d'un polynôme, on l'ordonne par rapport à v/ne lettre, en commençant par les plus hauts exposants, puis on extrait la racine carrée de son premier terme, pour atioir le premier terme de la ra-cine (n^ 109).
On supprime le premier terme du polynôme, on divise le premier terme du reste par le double du premier terme de la racine, et Von obtient pour quotient son second terme (n°161).
On retranche du polynôme donné, le carré des deux premiers termes de la racine, ou pour simplifier, on retranche du premier reste le produit du double du premier terme de la racine joint au second, par ce même second terme, et on divise le premier terme du reste trouvé, par le double du premier terme de la racine, afin d'en obtenir le troisième (n® 1 61 ).
On soustrait du second reste, le double des deux premiers termes de la racine joint au troisième, multiplié par ce troisième terme, et l'on a un troisième reste, dont, le premier
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terme divisé par le double du premier terme de la racine en fournit le quatrième (n** 161), etc.
Si en continuant ainsi, on parvient à un reste nul, on dit que le polynôme donné est un carré parfait.
Soit pour exemple, à extraire la racine carrée du polynôme ^ab^ — iia'i^ — 6a^b^+ga^b^+^b^, on Fordonne par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a, et on dispose les calculs comme ci-dessous.
Qo/^b'—Ga^b'—iia'b^+iab'+^b^ \ 'iab—a b'-i^b' ga^b^
1«' Reste. —Gà'b'- 1 la'b^+^ab'+J^b^
6a'b — ab'
—ab'
—6aH'-^a*b^
S*' Reste. —ma^b^+^ab^+Zib^
3« Reste o
163. Les termes extrêmes du carré d*un polynôme ordonné étant égaux aux carrés de son premier et dernier termes (n° 109), il s'ensuit que tout polynôme ordonné dont les termes extrêmes ne sont pas positifs et carrés parfaits, ne peut être lui-même le carré d'^un autre polynôme. Ainsi à'—iab—b^, 'ia'—7,ab-\-b ne sont pas des carrés parfaits. Il en résulte encore que la racine carrée d'un polynôme est imaginaire lorsque ses termes extrêmes sont négatifs. Ainsi la racine de — a' — b' est imaginaire.
1 64. Un binôme ne peut être un carré parfait : car la racine carrée d'un binôme ne peut être ni un monôme ni un binôme, puisque le carré d*un monôme est un monôme, et que celui d*un binôme est un trinôme. Ainsi, comme Ton pourrait être tenté de le croire, les racines de a^-\-b', et a* — 6" ne sont pas a+i et a — b.
1 65. On peut conclure qo'wn polynôme n'est pas un carré
parfait, lorsqu'on a trouvé à la racine un terme, dcms lequel l'exposant de la lettre principale est moindre que la moitié' de Texposant de cette même lettre dans le dernier terme de ce polynôme. Cela résulte évidemment de ce que le dernier termie d'un polynôme, s'il est un carré parfait, doit être le carré du dernier terme de la racine.
166. Lorsque le polynôme donné n'est pas un carré parfait, on est conduit, en suivant le procédé d'extraction, à une série de termes affectés des puissances négatives de la lettre principale. Pour vérifier cette assertion, on peut extraire la racine de a*4-i par exemple, et Ton trouvera
Si Ton voulait obtenir la racine ordonnée suivant les puissances positives et croissantes de la lettre principale, il faudrait ordonner le polynôme donné, en commençant par les plus faibles exposants. On trouve par ce moyen que
2 8 i6 128 ' 256 III. Extraction de la racine cubique des polynômes.
\ 67. Si Von retranche d'un polynôme le cube des n premiers termes de sa racine, le premier terme du reste est le produit du triple carré du premier terme de cette racine par le n-|-I^'"^ (On suppose ces trois quantités ordonnées par rapport aux puissances décroissantes d'une lettre commune). Soit P le polynôme en question, S les n premiers termes de sa racine cubique et T ce qu'il faut ajouter à S pour compléter cette racine, en sorte que vP=S4-T. D'où, en cubant (n° 105), p=S^+3S'T-f3ST'+T^; retranchons SMans les deux membres de cette égalité et mettons T en facteur dans le second, il vient P— S^ = (3S'+3ST+T*)T. Or, le premier terme du produit de 3S'-}-3ST+T' par T est visiblement (n° 53) trois fois le premier terme de S' par le premier terme de T, ou, ce qui revient au même, le triple carré du premier terme de la racine cubique de P multiplié par le n-}- 1^"^
468. De là résulte le procédé suivant pour extraire la racine cubique d'un polynôme. On l'ordonne par rapport aux puissances décroissantes d'une lettre^ et on extrait la racine cubique de son premier terme; le résultat est le premier terme de la racine cherchée (n® 109).
On supprime le premier terme du polynôme et on divise le second par le triple carré du premier terme de la racine ; le quotient en est le second terme (n® 167).
Ori forme le cube des deux premiers termes, on le retranche du polynôme donné, et l'on divise le premier terme du reste par le triple carré du premier terme de la racine, afin d'en obtenir le troisième (n® 167), etc.
On continue à opérer de la même façon, et, si l'on arrive à un resté nul, le polynôme donné est un cube parfait.
En appliquant cette règle au polynôme
on trouve que sa racine cubique est a' — Zab — ai*.
