PARTIE I. SECT. I11. CHAP

: 150. On sent bien que le remou fait gonfler les eaux de la riviere jusqu'à une distance assez grande de la tenue, mais que son effet diminue de plus en plus, jusqu au point où il cesse d’être sensible, et où la riviere estréduite à sa profondeur ordivaire : nous supposons toujours que le lit conserve sa pente et sa largeur ordinaire. Ainsi la hauteur du lit, à partir du point où le remou cesse d’être sensible, jusqu'à la tenue, va toujours en croissant; et comme la dépense est constante, les vitesses décroissent sensiblement en raison inverse des hauteurs, ce qui ne peut avoir lieu sans que la pente à la surface ne varie par là même cause. La surface de l’eau de la riviere forme donc, dans toute l’étendue du remou , que nous nommerons son amplitude, une courbe concave, tangente à la surface naturelle de l’eau de la riviere, à l'extrémité de cette amplitude. La nature et l'étendue de cette courbe he peuvent être connues rigoureusement que.par la formule du mouvement uniforme, qui, saus ce point de vue, devient trop compliquée.

Soit FKLB la coupe longitudinale d’une riviere

dont la pente soit +, la profoudeur FK ou BL—, et la largeur /': soit aussi une tenue placée en B, qui fasse gonfler l’eau de la quantité BA, qu'on peut nommer H.

. J'observe d'abord que si la surface de l’eau, au- | dessus de la tenue, pouvait être de niveau comme AG, le remou finirait en G, point dont 1l serait aisé de calculer la distance au point À; mais il n’est pas possible que la surface de l'eau en amont de

Fig,18.

l’écluse soit horizontale : car pour cela il faudrait qu’elle n’eût aucun mouvement, ce qui est contraire à la supposition que Peau fournie par la riviere reverse en À. L’eau y a donc une pente qui doit être proportionnée à la capacité du lit dans lequel elle coule : or, le lit étant plus profond près de l’écluse, à cause de la hauteur de la-tenue, la pente y doit étre moindre que par-tout ailleurs; et si cette pente est représentée par la ligne inclinée AD, cette ligne sera tangenté à la courbe au point À , et elle rencontrera au point D la ligñe FD, qui est le prolongement de la surface dela riviere. Cette ligne FD est elle-même tangente à la courbe FIA. Parmi toutes les suppositions qu’on peut faire sur la nature de cette courbe, atrétons-nous üh moment à celle du cercle, qui donne AD=—DPF, et proposons-nous le problème suivant.

PROBLÈME

151. En supposant toutes les données du problème précédent, etdans l’hypothese que la courbe formée par la surface de l’eau au-dessus d’une tenue est un arc de cercle; déterminer l'amplitude du remou, et sa hauteur à une distance quel: conque de la tenue.

Puisque la ligne AD doit être tangente à la surface de l’eau, pres de la tenue A, et avoir même pente que le courant au-dessus du reversoir, à} faut d'abord chereher quelle est cette pente. Tout est connu ici, k largeur, la profondeur de lit, le rayori moyen, par conséquent, et la vitesse; qui. est égale .

PARTIE. I. SECT. III. CHAP. III, 209 à la dépense de la riviere divisée. par la section. Ainsi la pente se déduira de ces données (62), et on aura = : soit tirée l'horizontale DC.

Considérons à-présent les deux triangles CDB, CDA, qui.ont l’un et l’autre leur sommet au point D. La hauteur CB exprime la pente Waturelle de la riviere sur la longueur DB, ou sur CD, qui lui est sensiblement égale; la hauteur CA exprime la pente de l’eau au-dessus de la tenue, sur da longueur DA, ou sur CD, qui lui est sensiblement égale; d’où il faut conclure que CB : CA : : B: 6, c'est-à-dire comme les dénominateurs des deux pentes. Mais AB est connu , puisque c'est la hauteur du remou, que nous avons nommée H: ainsi on peut faire la proportion B— 8: & : : CB — CA :

: CA : : AB: CA. Donc CA = TX = #2 ; mais HBs B—6 ?

c'est-à-dire que la tangente DA, ou la moitié de l'amplitude du remou est égale au produit des deux dénominateurs des pentes par le remou, divisé par la différence des mêmes s. dénominateurs ; et l’a1

plitude entiere FA = ==— ; ce ? qu il fallait d'abord trouver.

DA est égale à CAXB: ainsi on a DA —

On demande ensecondlieu dé déterminer la hauteur du remou, à une distance quelconque de la tenue AB. Pour cela il faut considérer que l'arc AIF appartient à.un cercle dont le diametre est presque infini par rapport à ABou H: car, nommant R de rayon, on à, par k propriété de cercle, AB : Tome Z. 14

BF : : BF : AB+2R; d'où l'on tire 2BR—— — ÀB ; et comme AB est toujours dans la pratique trespetit par rapport à BF, il suit que AB est sensiblement égal au quarré de la tangente, divisé par deux fois le rayon de l'arc AIF. On peut faire le même raisonnement pour ID, ou pour toute autre hauteur du remou : elle sera toujours sensiblement égale au quarré de la distance du point F, divisé par 2R ; c’est-à-dire que la hauteur du remiou décroît comme les quarrés des distances du point où on le éonsidére, au point F, extrémité de l'ampli: tude du remou.

152. Pour appliquer cette théorie à un exemple, nous prendrons les mêmes donneés que dans le paragraphe 149, où nous avions / — 480 ; h — 36; 3 = == 5; V — 23,45 ; et la dépense D — 405216 pouces cubes. Nous avons trouvé la hauteur du remou, ouH — 66,182 : la section, audessus de la tenue, sera donc égale à 40 x 8m,515 — 340%,6064; la paroi sera de 57%,03032 ; le rayon moyen sera égal à 5r,972373—71",668476;

sa racine quarrée sera 8,4657, et V” r — 0,1 — 8,3657; la. vitesse au-dessus de la tenue sera égale à 8,282; ainsi on trouvera (62) le nombre 335,52 pour valeur de VB, et B — 55469,6.

La tangente à l'eau du reversoir étant égale à

5 devient 347754r,5, et l'amplitude entiere sera 695509 pouces, ou ‘environ 9660 toises; le rayonR=—3619248:64 pouces, ou 50267337 toises: on trouvera que le remou, au point I,'est égal au

PARTIE I. SECT. IIL CHAP. HI! 211 quart decelui AB, ou égal à 16,545 , et on pourra le calculer pour:tont autre point.

. 153, Examinons à-présent si la supposition’ que nous avons faite, que la courbure de la surface de l'eau , au-dessus d'une tenue, étaitsensiblement un arc de cercle, remplit, du moins à-peu-près, là condition de l'égalité dé la dépense dans le lit de la riviere, à chaque point de l'amplitude du remou: Nous venons de voir que le remou ID, au point D, qui est'le milieu de l’amplitude totale, est de 16,545 ; ce qui donne 52,545 de hauteur de section à ce point. Ainsi la section y est de 25222r°,6: le rayon moyen 43, r09, dont la racine est 6,565 ! et par conséquent V” r—0,1—6,465. Il nous reste à trouver la pente: or, elle est la même que celle

de la corde FA; c'est-à-dire qu'elle est égale à =

or, AB = H= 66, 18 ; AG TRS == 69) AB + AC—2,45r, et, à cause de EC—CE, où a EA — AB + 24AC — 78; 42. Ainsi le pente cher- 73,792 ee qui répond au point I, est ‘égale À S55508 7 8848 | n Si on cherche, par la formule oïdinairé du mou vement uniforme la vitessé qui répond à cette pente et äu rayon moyen que nous venons de déterminer, on la trouvera égale à ro?,514, qui, étant multipliée par 4 ‘section 25212,6, donne une dépense de 492r#4 ‘pouces cubes, au ‘Yieu de 405216 seulement, qui est celle de: la riviere. Il faut : donc aonvenir que: l’hypothest du ‘cercle

qe ee et __—

doûne en même temps une amplitudé de rémou trop grande, une “hauteur de remou trop grande au point D, et par conséquent une section trop grande au même point ; mais comte la hauteur de la section ne peut pas diminuer, sans que K pente ne diminue aussien même temps, … résulte que l'erreur occasionnée par la supposition de l'arc de cercle est assez petite.

154. En réduisant le problème à ses véritables données, qui sont 1° la hauteur du temoùû AB: 2° la tangente AD, donnée de longueur, et de pôsition par rapport à une ligne horizontale, et 3° la direction de la seconde tangente BDF, on peut supposer que la courbe AIF appartieut, ou bien à une parabole dont l'axe est horizontal , et le sommet vers le côté d’amont, ou à une hyperbole équilatere, dont une asymptote est horizontale, et le sommet tourné du même côté; 6ù enfin à une ellipse dont le grand axe est vertical. Dans les deux premieres supposiüons, on trouve DF < AD, et la hauteur du remou en Dest trop petite pour donner, en la combinant avec la pente qui résulte de ces courbes, une dépense constamment égale à celle de la riviere ; mais dans l'ellipse, en faisant DF un peu plus petit que AD, on trouve’ des sections et des pentes qui satisfont assez bien à toutes les conditions du problème.

"Puisque l’arc de cercle donne, dans lea points intermédiaires du remou, une pente trop grande, il doit donner e ‘une Res totale de remou trop

ist

PARTIE L SECT.' III. CHAP. III. 213 pbtude, ne pet jamais égaler le double de la première tangente AD; mais elle doit toujours la surpasser; et telles sont les limites des plus grandes erreurs qu’on puisse faire à çet égard : on ne s’éçarterait donc pas beaucoup de la vérité, en prenant pour amplitude ++ de la tangente inférieure ; c'est-à-dire en fixant son extrémité sur la tangente DF, à une distance du point D égale à = AD; tirant ensuite une ligne droite entre les deux pointé extrêmes du remou, la courbure de la surface ne peut que garder à-peu-près le milieu de l'espace compris entre le milieu de cetté corde et les deux tangerites. Ainsi üne courbure: quélconque, tangente aux deux extrémités, une éllipse, par exemple, dont le petit axe serait horizontal, donnerait, par le calcul, où mème par une bpéfation graphique, tous les points de La courbe, avéc une précision suffisante.

‘ Ces considérations font voir qu’il est plus. curieux qu utile de chercher la’ véritable courbe du remou : son équation différentielle ne peut être intégrée que pär une séne peu convergente, et qui oblige à des calculs aussi longs qu inutiles, .

155. Detout ce qui précede npus pouvons tirer une méthode d'approximation, pour calculer les longueurs qui se trouvent entre deux hauteurs de section connues , dans l'étendue du remou , pourvu que la différence de ces hauteurs soit beaucoup moindre que le remou.

Supposons que AD, BC représentent deux sections de la riviere, sur une certaine longueur

Fig. 19.

234 PRINCIPES D'HYPRAGLIQUE.:

inconnue AB du remou : DC est'le fond de la riviexe, dont la dépense est connue:, et AEB la courbe formée par sa surface. Soient: nommées P et p la grande et la petite profondeur BCet AD,

a l'amplitude partielle ‘cherchée AB, La pente de

la riviere : puisque | la courbe AEB differe très-peu d'un arc de cercle, si on tire la corde AB, et les deux tangentes. égales AG, BG ,ainsi que la ligne EF par.le point Gr la hauteur de sectiop EF sera la bauteur. moyenne, qui répondra à la pente au point E, pour donner la dépense constante de 1 rivigre; et cette pente, calculée par la formule du mouvement yniforme, sera sensiblement celle de a. naiyre, et plus petite que celle de la corde AB:

car. cette pente est un. peu trop grande, comme nous l'avons vu ci-dessus, Mais si on suppose la hauteur EF augmentée de la petite fleche de l'arc ABB, c'est-à-dire moyenne arithmétique entre AD et BC, ét qu'on cherche de même, par le moyen de la, formule du mouvement uniforme (62), la pente =, qui conviendrait à cette sæction. pour donner la dépense constante dé la riviére, cetté ‘pente sera encore un peu plus petite que la pre- ‘miere , et que celle de la corde ‘AB ; mais elle différera cependant très-peu de la:vraie pente,

qui convient à la vraie hauteur de section EF: ‘Ainsi on aura sensiblement ( 151); et à-très-peu

de chose près, AB, ou a— —(®— = 7 Æ : : cette valeur

de l'amplitude partielle du remou sera d'autant

PARTIE I. SECT. III: CHAP. III. 215 plus exacte, que P—p ou BK sera plus petit ; et on obtiendrait fort exactement l'amplitude entiere d’un grand remou , en la calculant ainsi par parties, d’après les différentes hauteurs de section, prises à volonté entre les extrêmes. |

156. Dans les expériences que nous avons faites sur les remous, nous n'obtenions que des amplitudes partielles, parce que notre canal était trop court pour que le remou occasionné par le reversoir püt s'étendre librement en amont, comme il fait dans les rivieres : 1l était borné par'la prise d’eau du réservoir, et la hauteur à ce point, ou P» était égale : à la charge sur ha tête du canal, moins la hauteur due à-la vitesse de la section qui y avait lieu. Quant à la hauteur au reversoir, ou P, nous Tavons déduite (145) de la dépense, et trouvée sensiblement conforme à celle de l'expérience. Ainsi ,, par exemple, dans: la cent quatre-vingtonzieme expérience , la dépense était de 17r127°,4 par seconde, la hauteur prés du reversoir ou P—3,055+4,083—7",138 ; la hauteur près de la prise d’eau, ou p—#4",625—0,344—{4",a8r: La -moyenne -entre ces deux hauteurs est 5r°,7095, qui, multipliée par 17,25, largeur du canal, donne ‘une section de 98,4889, et une vitessé moyenne de 11,294 : or, la pente qui convient à cette vitesse

et à la section est(6a) égale à —— = 5; la pente du (P—p) Bs B—è donne a—1634 pouces, ou 22 toises 3 pieds 7 pouces, qui est, à-très-peu de chose près, la

canal, ou : était ——. Ainsi la formulé a—

lougueur de natre canal, comprise entre la tête et le reversoir. Il en est de.même des déux autres expériences, qui danhent la longueur dé 22 toises, avée encore plus de précision , quoique Îles données soient très-différentes.

. Dans la cent quatre-vingt- dqurieme expérience

où, aura P=—5a7a; p=$,666 ; & ——"" ;

., 16820 ? 5 — Li a— ar toises 5 pieds 4 pouces 9 lignes. Dans Ja cent quatre-vingt-treirieme expérience on aura

P—10,0; Pi = mp tr3— 3:42 toises Opi.OpO. : :

| 157. Eafn , pour £nir cette discussion de la hanteur et de l'amplitude des remous, la méthode . pratique la plus générale et la plus commode, à laquelle il parait qu’on doit s’en tenir, est de chercher d’abord, par la formule du mouvement uniforme quelle est l'expression £ de la pente

que ld kürface de l'eau doit avoir au-dessus d'une ténue quelconque ; et nommant H la hauteur du

remou, ; 51 = la pente naturelle du Lit de la riviere, et

À l'amplitude entieré du remou, on fera ÂA— ‘1

50 Quant aux. hauteurs partielles du remou,

on'les fera proportionnelles aux quarrés des distances, à partir de l’extrémitédu remou; ce qui donnera aisément, en y ajoutant la. profondeur ordinaire de la riviere, les hauteurs qui répondent à des distances connues, ou les distances qui répondent à des hauteurs connues.