CHAPITRÉ II
Des lois des forces centrales.
199. Supposons que le corps P (fig. 2 ) tourne autour du centre C en un temps qu’on nommeraT, à une distance P C, qu’on nommera D, et avec une force centrifuge égale à F. Si on augmente la vitesse de la révolution du corps, en sortç qu’il parcoure le n>ême cercle dans un nouveau temps égal à ^ , ou qu’il tende à parcourir la tangente P h dans le même temps qu’il tendait à patcourir la tangente P ^ , sa nouvelle force centrifuge sera représentée par h i, qui est à la première comme h i est k a 6 . Or, on démontre en géométrie, que hi : a b :: PA’:Pa% c’est-àdire, comme les quarrés des vitesses, ou comme les quarrés des temps inverses de là révolution^ ainsi en nommant /"la force centrifuge ki,' qui est produite dans le temps t, on aura F : f::tt: TT,
d ou 1 on tiref— — — >
300 . Dans cet état , si on change la distance D du corps P , au centre C de la révolution , en un autre que nous nompierons d, et qu’on fasse tourner le corps dans le temps t, on voit que la force centrifuge Im, qui répondra à ce mouvement, sera à celle Ai, comme la distance KC est à la distance RC. On aura donc, èn nommanty, la' nouvelle force centrifuge,/’: f : : D.r‘d; et en met-
tant à la place de f sa valeur — on ai^ra en-
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core — — 'y • • D : a , d ou 1 on tire
et si on multiplie chaque membre par tt, on aura JFTT = Dytt, formule qui exprime les rapports des distances des temps de révolution et des forces centrifuges quand la gravité est constante, c’est-à-dire quand elle ne suit aucune loi relative aux distances des corps, au centre de leur révolution.
Nous n’avons point eu égard aux masses de’s^ corps qui tournent, parce que la force centrifuge leur est toujours proportionnelle; si on voulait la faire entrerdans la formule, en nommant M et tu les masses respectives , on aurait la forrhule McfFTlf
m T) ft t.
201. A-présent, si on suppose que la gravité ou la force d’attraction n’est plus la même quand ^e> distances varient , mais qu’elle augmente suivant^ une certaine loi^tquand Ids üistanbes diminuent, il faudra, pour que les corps puissent circuler librement,' que les temps dés révolutions'. àoîeril tellement proportionnés aux distances, la force centrifuge soit égale à là pesanteur dù'côrps vers le centre d’attraction ; et 'si on suiiposè que là gravité augmente en raison inverse des qtiàrré» des distances comme on lé'suppdse danà le Système de 'Néwton, ^nommant’ G et g'iés gravités dif-" fércntes, dri àura^ : G : ; DD : ; mais la fdrinüld
précédente dérüne de son côté F : D : icf T T;'
multipliant ces deux proportions rnné par l’autre/
a54 PRINCIPES DE PTRODTNAMIQÜE.
on aura g-F : G/: : D’f^ : d* TT, d’où l’on lire ^F É?'TT = G/D’l/, formule générale qui donne les rapports des gravités, des forces centrifuges , des distances et des temps, quand les gravités croissent en, raison inverse des quarrés de distance.
202. Quand les coqis circulent à la manière des planètes, soit dans des cercles, quand on suppose g=f et (i=F; soit dans des ellipses, en suppo.sant quey.- F : : g' : G, ou que /"GrrzFg^, si on efface dans les deux membres de la formule ces quantités égales , il reste^ TT = , d’où l’on
tire,^ : D’ : : fl : TT, ou enfin f : T;: l/t/’ l/D* , c’ést-à-dire, que les temps des révolutions des pla-
neies sont directement entre eux Comme les racines quarrées des çubes des distances, ou comme les puissances ^ des distances. C’est la loi découverte par Répler.
