OB

26 LIVRK I. — CHAPITRE M.

Le problème que nous nous étions proposé peut être considéré comme résolu. On voit que des coordonnées harycentriques a"X, b"Y, c"Tj du point m, on déduit celles du point m' rapporté au triangle A'B'C. En égalant les deux expressions de la résultante,

A 1 O ni on aura même le rapport -rr

Le résultat essentiel de cette recherche est le suivant : Les coordonnées trilinéaires du point m par rapport au triangle ABC peuvent être aussi considérées comme des coordonnées trilinéaires du point m' par rapport au triangle A'B'C; en sorte que toutes les propriétés d'une figure qui ne dépendent pas de la forme du triangle de référence s'étendront d'elles-mêmes à toutes celles qu'on en déduira par la perspective.

Si. Pour bien montrer la portée de la méthode précédente, nous l'appliquerons au cas où le triangle A'B'C a deux de ses sommets à l'infini.

Soient toujours {/ig. 2)0 le centre de perspective et ABC le

triangle de référence qui devra être choisi de manière que le plan OAB soit parallèle au plan P'. Le point m étant le centre de gravité de trois masses a"X, b'Y, c"Z placées respectivement en A, B, C, la droite 0mm' est la direction de la résultante de trois forces

rt"X X ÔÂ, 6" Y x'ÔB, c"Z xÔG

ayant leur point d'application en O. Par conséquent, les coordonnées du point m' de cette résultante relatives aux trois axes Ox,

LES COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQUES. 27

Oy, Os seront proporlionnelles aux composantes de cette résullante. Or si X,, Y, désignent les coordonnées de m' par rapport aux axes C'A', G'B', X,, Y, et OC seront les coordonnées du même point par rapport au trièdre Oxyz. On aura donc

t o^ X, Y, OC

OA X a"X OB X b" Y OC x c''Z Ces formules résolvent la question proposée.

25. On voit tout le parti qu'on peut tirer des définitions adoptées par Mobius. Il j en a d'autres, équivalentes. Par exemple, on sait que, si un point M est le centre de gravité de masses )>, , X^, X3, \; placées respectivement aux sommets a, [3, y, o d'un tétraèdre, ces masses sont proportionnelles aux volumes affectés de signe des tétraèdres M,3yo, Maro, Ma[iô, MajîJy. Dans son Mémoire sur les pyramides {^Œuvres complètes^ t. III), Lagrange avait eu l'idée de définir un point par les rapports de ces volumes; mais l'objet de son Mémoire ne l'entraînait pas à poursuivre cette idée.

Notre première définition concorde avec celle qui a été donnée |)ar Pliicker dans le Journal de Crelle. Il est évident qu'elle se prête immédiatement à une interprétation géométrique. Si l'on se reporte aux formules (i), on voit qu'on peut les mettre sous la forme

h,, /ia, /i3, hji étant des constantes et /?,, p^, p^i, f/, les distances du i^oint considéré aux quatre faces du tétraèdre.

Mais cette interprétation, qui est souvent adoptée, exige la définition de la distance d'un point à un plan, quand l'un au moins de ces éléments est imaginaire. Elle est en défaut quand une des faces du tétraèdre devient isotrope, ou est rejetée à l'infini, La seule définition générale est celle de Pliicker, et une autre que nous donnerons plus loin et qui repose sur la notion du rapport anharmonique.

26. Nous terminerons ce Chapitre en établissant une propriété fondamentale et caractéristique de la transformation homogra-

phique.

Soient

/ xi^ ax -\- by -^cz -+- dt,

\ yi = a'x -+- b' y -\- c' z -h d' t, ] zi = <t"x -+- b" y -^ c" z -t- d" t, { t, = a"'x + b"'y + c"'z -f- d"'t

= au

i-h-a l'i-h a Wi