Pi

= bui

-t- 6'Pi -+- b" iVi

+ b"'pu

= CUi

-h C'P] + c"(Vi

= dui

-H o?Vi + û?"iV]

les formules qui définissent une telle transformation. Il est aisé de démontrer qu'elles font correspondre un plan à un plan. En effet, si le point (xt^yt , 5( , /( ) se trouve dans le plan défini par l'équation

(i5) U1X1-+- (^iyi-{- WiZi^ piti = o,

il est clair que le point (.r, y, z, t) décrira le plan

(16) ux-{- vy -\- w z -{- pt =^ o où l'on a

Nous allons montrer que cette propriété est caractéristique.

\ppelons transformation ponctuelle toute transformation qui

fait correspondre un point à un point. Toute transformation

ponctuelle dans laquelle chaque plan a pour homologue un

plan est une transformation hom.o graphique.

La difficulté de la démonstration tient au grand nombre des constantes qui figurent dans les formules. Pour la faire disparaître, nous raisonnerons de la manière suivante :

Etant donnés deux tétraèdres ABCD, A,B,C(D,, il v a une infinité de transformations homographiques qui ariiènent Aen A,, B en B,, G en Ci, D en Di. Car soient, par exemple, x^ JK, -^, t\ Xi, yt, S), t, les coordonnées homogènes de A et de A(. En remplaçant dans les formules (i4) -2^,^, ^, i', -^i^JKm -«n 'i P^^' ^iX) c-, t, p:r<, pjK,, p5,, p/,, où p sera entièrement arbitraire, on obtient quatre relations entre les coefficients. Opérant de même avec B, B) ; G, Ci; D, D|, on aura en tout seize relations, déterminant séparément les coefficients a, 6, c, o?; a) , 6, , C) , c^, ; . . . et contenant d'ailleurs quatre arbitraires telles que p. Ge sont quatre systèmes

LES COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQUES. ^9

d'équations du premier degré dont le déterminant ne serait nul que si, contrairement à l'hypothèse, A, B, G, D étaient daus un même plan..

Gela posé, soit S la transformation ponctuelle cherchée. Puisque, par hypothèse, elle transforme les plans en plans, elle devra faire correspondre à un tétraèdre ABGD de la figure (F) à laquelle on l'applique, un tétraèdre A, B, G, D, de la ligure transformée (F,). i\ous venons de voir qu'on peut appliquer à la figure (F,) une transformation hoiTîOgraphique H qui donne une nouvelle figure (Fj) et amène le tétraèdre A, B, G( D, à coïncider avec ABGD. D'après cela, si nous considérons la transformation S' par laquelle (F2) se déduit de (F) et qui résulte de la composition de S et de H, cette transformation S' devra : 1° conserver les quatre points A, B, G, D; 2° transformer un plan en plan. Du leste, si nous démontrons le théorème pour S', il le sera pour S, puisque S résulte de la composition de S' avec la substitution inverse de H, qui est une transformation homographique ; et il est clair (jue la composition de deux homographies donne encore une homographie.

Examinons donc la transformation S' et, prenant pour tétraèdre de référence le tétraèdre ABGD, désignons par X, Y, Z, T; X', \', Z', T' les coordonnées de deux points homologues quelconques ; X', Y', Z', T', ou du moins leurs rapports, seront des fonctions de X, Y, Z, T. Mais puisque la transformation respecte les sommets du tétraèdre, il faudra qu'à tout plan passant par une de ses arêtes elle fasse correspondre un plan passant par la même arête. Par exemple, à un plan défini par l'équation

Y = hZ îvra correspondre un plan

et K devra être une fonction de h. Ainsi les équations qui définissent la transformation doivent être telles qu'on ait

et de même pour deux coordonnées ([uelconques.

3o LIVRE I. — CHAPITRE II.