CHAPITRE IV

LES CYCLIDES EN COORDOiXNÉES PENTASPHÉRIQUES,

Notions préliminaires sur les formes quadratiques homogènes. — Rappel delà loi

•. d'inertie. — Définition de la forme adjointe. Quand le déterminant de la forme devient nui, sans que tout ses mineurs le soient, la forme adjointe est un carré parfait. — Réduction de deux formes quadratiques à des sommes composées des mêmes carrés. — Discussion du problème dans le cas où l'équation dont il

, dépend a toutes ses racines inégales — L'une ou l'autre des deux formes contient au moins autant de carrés positifs, ou de carrés négatifs, que cette équation a de couples de racines imaginaires conjuguées.

'Application à l'étude des cyclides. Elles peuvent être représentées par une équation homogène du second degré si l'on emploie les coordonnées pentasphériques. — Tant qu'elles ne sont pas des inversRS de quadriques, leur équation peut être débarrassée de tous les rectangles. Il suffit, pour cela , de résoudre une équation du cinquième degré qui a, au plus, deux racines

, i , ijnaginaires.

279. Nous pouvons maintenant procéder à l'étude des cyclides en employant les coordonnées |)entaspliériques.

Mais auparavant, nous démontrerons quelques propriétés des formes quadratiques, qui nous seront utiles dans la suite.

Soit

/= 2S aucXiXic, aïk— aia {i, /' — i, 2, . . ., n)

l'équation qui définit une forme quadiatique. Si le déterminant

«H «12 ... (i\ii

<^ii

= I ^ilc I,

formé avec ses coeffiicients, est différent de zéro, nous savons que la forme sera réductible, et d'une infinité de manières, à une somme algébrique de n carrés. Nous savons aussi que, dans toutes

ces réductions, si les coefficients aïk sont réels, il y aura le même nombre de carrés positifs ou de carrés négatifs. C'est ce que Sylvester appelait la loi d'inertie des formes quadratiques. Nous allons rappeler également la notion de la forme adjointe. Posons

I df V

En vertu de l'hypothèse faite sur A, les Ui sont des fonctions indépendantes que nous allons substituer aux Xi. Gomme on a, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

J — ■" U-iXi,

on pourra éliminer les a^^ entre les équations (3) et (4) et l'on aura

qui fournira l'expression cherchée.

Si l'on désigne par A/;t le mineur de A obtenu en supprimant la ligne et la colonne à laquelle appartient aïk et en multipliant par ( — j)'^*> ^® second membre de l'équation (5) pourra s'écrire

Ay = 22 A,7,- Ui u/,..

On aura

<~ ) ^a-= A/ci— - pour i^/(,

■i aaiu

Ki =

dan

Adoptant une définition donnée par Gauss, nous dirons que le déterminant

Oui

a lin

Un

Un

= — "L^KikUiUk

<jui figure dans le second membre de l'équation (5) est la forme adjointe de /. Dans le cas où n est égal à 3 ou à 4? nous avons

déjà rencontré la forme adjointe lorsque nous avons étudié le principe de dualité.

D'après la définition de w/, on a évidemment

(9) df = l'Lui dxi.

Si l'on différentie l'équation (4);, on aura aussi, en tenant compte de l'équation précédente,

(10) df = nl.Xidui.

Le rapprochement de celte équation et de la précédente nous montrerait aisément que la forme adjointe de o reproduit f à un facteur près, qui est la puissance [n — ly^mc jg ^^ mais nous n'aurons [)as à faire usage de ce résultat.

280. Voici, au contraire, une pro})Osition qui joue un rôle fondamental dans notre analyse :

Quand le déterminant de la forme devient nul, sans que tous ses mineurs du premier ordre le soient, la forme adjointe devient un carré parfait.

Pour le démontrer, remarquons d'abord que la relation (8) montre qu'alors la formées ne sera pas nulle. D'après la relation bien connue

A /,■ A/,/, — A Ji = A ,

on voit même que quelques-uns des mineurs Ka ne seront pas nuls et que la forme cp contiendra au moins les cairés de certaines variables.

Supposons, par exemple, que A„« ne soit pas nul. Alors, si nous désignons, pour un instant, par a„^„, a„„^i, a„+,„, a„^, „^i les quatre éléments du déterminant o appartenant aux deux dernières lignes et aux deux dernières colonnes, l'identité bien connue

nous donnera ici

LES CYCLIDES EN COORDONNEES PENTASPHERIQUES.

c'est-à-dire

■^-^-im-

J/A proposition est donc établie. Nous allons l'appliquer à la démonstration d'un résultat essentiel, relatif à deux formes quadratiques.

Soient

ces deux formes. Considérons le faisceau des formes/-!- \g^ où X désigne un paramètre variable. Pour obtenir la forme adjointe At j '\-kg, il faudra poser

2 dxi 'i. dxi

Cl l'identité (5) nous donnera la relation

(.3) /-X^ = où l'on aura

Dans le cas général, l'équation A ().) = o aura ses racines inégales. Ce cas est le seul que nous étudierons, en renvoyant le lecteur, pour une étude complète, à un Mémoire sur la théorie algébrique des formes quadratiques^ inséré en 18^4 ^^ Tome 19 du Journal de Liouville^ 2" série.

Il est facile de voir que, pour chaque racine simple de l'équation A (X) = o, les mineurs de A ne sauraient être tous nuls. Car on a

A'(X) = Si:A,v,(X)6,/„

^ik étant le coefficient de a,* -h A^/a dans le déterminant A. Comme, par hypothèse, X n'est pas une racine multiple, A'(X) ne sera pas nul et, par conséquent, quelques-uns des mineurs A /a ne le seront pas.

Donc, pour chaque racine de A (a), la forme adjointe sera un carré parfait.

D'après cela, décomposons le second membre de Féquation ( i3) en fractions simples, nous aurons

Xk étant une des racines de A (X) et O^ désignant ce que devient la forme adjointe quand on y remplace X par A/f. <I>;t sera donc un carré parfait et l'on aura, par exemple,

*/t = ( «Al Ml -4- a/,2 «2 + • . • -i- a/v« Un )"

D'autre part, reportons-nous à l'expression de $/; sous forme de déterminant

«11-1- Xa 61, ... «!«-+- X/lèi,j Ml

Un O

Remplaçons-y les Uk par leurs valeurs (12), retranchons de la (/i + i)'^""® colonne les précédentes multipliées respectivement par Xi, X2, •••> ^'111 et de la ( /i + i )''^"'^ ligne les précédentes multipliées aussi respectivement par a?,, .To, . . . , .r„. 11 viendra la même expression de <Ï>a, dans laquelle les Uk seront remplacés par

ÔXk

Effectuant donc celte substitution dans la formule (17), nous trouverons

(,8) ,,= (,,i,,.[i,„^^+..,+ i„,„|£.]' = (X-),.)=Pî,

et, en portant cette valeur dans l'équation (16), nous trouverons Cette équation se décompose dans les deux suivantes :

et nous donne les deux formes/et ^, décomposées en deux sommes composées des mêmes carrés.

Il résulte évidemment de la démonstration que les fonctions linéaires Py^ de :r,, ^2-. .••, ^« so"t nécessairement indé-* pendantes. '

281. Nous pouvons compléter cette théorie par les remarquçs, suivantes :

A chaque racine de l'équation

correspond un système de solutions x^^ x^^ ..., Xn pour les équations

df d^

il est connu, et d'ailleurs facile à démontrer, que si l'on appelle A/a le mineur coefficient de a,vt + ^^tA? dans le déterminant A, ce système de solutions satisfait aux relations

Cî) |£=...= îp=,...= I,

p étant une inconnue auxiliaire. D'après cela, on aura

A'(X) = SSA//,6,/,= pi:i:6,-A-^-/a7/, = p ^(a-,, . . ., a7„)

et, par conséquent, la condition nécessaire pour que \ soit une racine multiple sera que le svstème de solutions des équations (22) satisfasse aussi à la relation

(24) S{Xu -fj, • .., Xn) — O,

qui entraîne évidemment la suivante :

Le raisonnementserait eu défaut si tous les mineurs de A étaient nuls; mais la conclusion subsisterait. Car alors il y aurait au moins deux systèmes de valeurs linéairement indépendants qui satisferaient aux équations (22), et, en les combinant linéairement, on en aurait au moins un pour lequel l'équation (24) serait vérifiée.

44o LIVRE V. — CHAPITRE IV.

282. Supposons maintenant que f el g soient deux formes à coefficients réels; il en sera de même de A (X) et, si l'équation (ai) a une racine réelle, le carré de la fonction P;t correspondante sera aussi réel. Donc, à toute racine réelle de A (X) correspondent, dans les deux formes, deux carrés f/^fQI., ^/tQ!. dans lesquels O* sera une fonction linéaire réelle; mais les coefficients réels a^t, bk pourront être soit positifs, soit négatifs.

Si l'équation (21) a une racine imaginaire, elle admettra aussi la racine imaginaire conjuguée. Les carrés correspondants à ces deux racines dans/ et dans g seront donc de la forme

(a + ^SOCP-f-QO^+Cs'

(P + Qif)2-i-(P

-QO-

On aura donc, dans g\,

c'est-à-dire, chaque racine imaginaire fera apparaître deux carrés de signes contraires.

Si, dans/, on posait

/« -+- [it ( P H- Qi ) = !>' + Q' i.

P' et Q' étants réels, on ferait apparaître de même, dans/, une décomposition en carrés contenant deux carrés de signes contraires.

Ce que nous disons de / et »•, nous pouvons le dire de toute forme réelle af -\- bg comprise dans le faisceau. Car il suffit de

jremplacer, dans le faisceau/+ X», a par -^-— - , puis de multiplier

par «, pour obtenir af-\- bg H- A^, ce qui nous donne, pour A = o, la forme que nous voulons considérer. Ainsi, nous pouvons énoncer ia proposition suivante :

IS une ou Vautre des formes /, ^, ou toute combinaison linéaire af -\- bg de ces formes, à coefficients réels a, b, aura au moins autant de carrés positifs, ou de carrés négatifs, qu'il y aura de couples de racines imaginaires conjuguées.

Ainsi, si p est le nombre des carrés positifs de af -\- bg et, par suite, n — p celui des carrés négatifs, on aura, k étant le nombre

LES CYCLIDKS EX COORDONNÉES PENTASPIIKRIQUES. 44 1

<1es couples de racines imaginaires,

D'après la loi d'inertie, rappelons que p est un invariant et peut s'obtenir avec une décomposition en carrés choisie arbitrairement.

iJ'après cela, on voit que, si le faisceau des formes af-\-bg comprend une Seule forme définie, c'est-à-dire une forme dont ■tout les carrés soient de même signe, l'équation en X aura toutes *es racines réelles. Nous n'avons pas besoin de signaler les applications de ce résultat à la Géométrie analytique : réalité des racines <Ie l'équation en S, réalité du tétraèdre conjugué commun à deux quadriques dont l'une est imaginaire, etc.

Si le faisceau des formes comprend une forme dont tous les carrés, satif un, soient de même signe, l'équation en A aura au plus un couple de racines imaginaires.

Tous ces résultatSjpourraient être établis par la méthode de substitution. Nous aurons à en faire usage plus loin, dans l'étude des /;y cl ides.

^283. Nous avons vu que leur équation, en coordonnées rectangidaires, est de la forme

'^0, 'i,, cp2 étant des fonctions de x, y, :;, d'un degré marqué par leurs indices.

Si l'on prend pour coordonnées pentasphériques les cinq quantités suivantes

/ a;x='i.x, Ti = -xy, x^^-iz,

qui donnent

on pourra transformer l'équation (a.')) en une autre, quadratique et homogène par rapport aux -r^.

442 LIVIŒ V. — CHAPITRE IV.

Assocîons-Iui la relation quadratique

g^— ^Xr

entre les coordonnées. Nous aurons deux formes quadratiques, auxquelles nous pourrons appliquer les résultats précédents. Auparavant il faut remarquer que, par suite de l'emploi des formules (26), la forme f ii' aura pas ses coefficients réels. Mais si, à la coordonnée ^5, on substitue la variable ^5= ix-^^ tous les coefficients de /"deviendront réels, et la forme g aura quatre carrés négatifs et un carré positif.

Tant que le déterminant Ae f -\-kg aura ses racines inégales, on pourra ramener les deux formes à des sommes composées des mêmes carrés. 11 suffira de résoudre l'équation du cinquième degré

«12 «13 CL\i

qui n'aura, on s'en assure aisément, que des coefficients réels et d'appliquer la méthode précédemment indiquée. Puisque la forme ^ a quatre carrés négatifs, l'équation en X aura, au plus, deux racine* imaginaires. 11 ne pourra donc se présenter que deux hypothèses : ou bien l'équation en X aura toutes ses racines réelles, ou bien elle aura deux racines imaginaires conjuguées, et trois racines réelles.

Il suit de là que, si elle acquiert une racine multiple, cette racine, étant la limite de racines réelles, ou de deux racines imaginaires conjuguées, sera nécessairement réelle.

Or nous avons vu que cette équation du cinquième degré ne peut avoir de racine multiple que s'il existe pourcette racine un système au moins de valeurs des xi vérifiant les équations

-^ + X -^ = 0 dxi ôxi '

Si l'on substitue, ce qui est évidemment permis, y + A^' ày, ces

LKS CYCLIDES EN COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 44^

équations prennent la foiune

Elles expriment, par conséquent, qu'il existe un point de la cyclide pour lequel toutes les dérivées de / par rapport aux ^j sont nulles.

Ce point, qui est évidemment réel et à dislance finie, sera un point double de la cyclide, car les dérivées de f par rapport aux coordonnées cartésiennes a;, y, z sont des fonctions linéaires des dérivées par rapport aux xi et, par conséquent, seront nulles en même temps que/.

Par conséquent, la cjclide dérivera d'une quadrique réelle par une inversion, également réelle.

284. En dehors de ce cas exceptionnel, on voit (|u'en faisant une substitution linéaire qui transforme ^xf en une autre somme de carrés SyJ, on peut ramener l'équation de la cyclide à la forme

Za^yf =0.

Ce résultat fondamental signifie rju\l existe f.ouj'ours, sauf dans le cas où la cyclide est V inverse d^une quadrique, un système de coordonnées pentasphériques dans lequel V équation de la surface est débarrassée des rectangles.

Cette proposition a des conséquences nombreuses. Dès à présent, elle nous permet d'établir à nouveau la propriété des cjclides découverte par Moulard. A tout point de la cjclide, défini par les coordonnées jKn ^2? •-•i y-o-, oii peut faire correspondre quinze autres points de la surface que l'on obtiendra en changeant d'une manière arbitraire les signes des cinq coordonnées. Ces seize points, nous l'avons vu, se déduisent de l'un quelconque d'entre eux par des inversions répétées dof)t les sphères principales sont les cinq sphères coordonnées. Ainsi :

// existe un groupe de cinq sphères orthogonales telles que la cyclide se transforme en elle-même quand on la soumet à une inversion admettant pour sphère principale une quelconque de ces sphères.

-fi4 LIVRE V. — CHAPITRE IV.

Comme nous l'avons déjà dil (n^270), les centres de ces sphères ont été nommés par Moutard pôles principaux de la cyclide. 11 avait réservé le nom de pôles secondaires à dix autres points que nous allons définir.

Considérons deux quelconques des sphères coordonnées, (Sj) et (Sa) par exemple. La cjclide demeurera invariable quand on Ja soumettra aux deux inversions dont (S| ) et (Sg) sont les sphères principales. Mais, d'après les résultats donnés au n^Sil, ces deux inversions peuvent être remplacées par une symétrie relative an plan radical (Pia) de (S,) et de (Sa), jirécédée ou suivie d'une inversion dont la sphère principale (Sio) a pour grand cercle le cercle commun à (S,), (So). Le centre de cette sphère, situé au point où la ligne des centres de (S,), (So) coupe le pian radical, avait été nommé par Moutard pôle secondaire de la cyclide. Il jouit de cette propriété que l'inversion par rapport à la sphère (Si 2) dont il est le centre transforme la cyclide en sa symétrique par rapport au plan (Pi 2). On peut dire aussi que, si l'on considère la sphère (S',,) concentrique à (Si^) et ayant pour ravon celui de (S12) multiplié par y/ — i, l'inversion piir rapport à (S',,) transformera la cyclide en sa symétrique relativement à la ligne des centres de (S,), (So).

285. Examinons maintenant comment est constitué, au point de vue réel, le système de nos cinq nouvelles sphères coordonnées. Il ne pourra se présenter que deux cas :

i" L'équation en \ aura ses cinq racines réelles. Alors, les carrés des fonctions yi seront réels et, par conséquent, en vertu de l'identité

quatre de ces fonctions seront réelles, et la cinquième sera une imaginaire pure. De plus, comme on a, pour tout système de coordonnées pentasphériques,

j', = A-j^ OU jK,==^.XP,,

(n° 247), on voit que le signe du carré yi sera le même que celui de RJ. Il y aura donc, dans le svstème de coordonnées pentasphé-

riques, quatre sphères réelles et une sphère donl le rayon sera une imaginaire pure. On sait que les quatre sphères réelles ont pour centres les sommets d'un tétraèdre dont les arêtes opposées sont perpendiculaires ei dont les hauteurs se coupent en un point intérieur, qui est le centre de la cinquième sphère, celle dont le rayon est une imaginair e pure. Nous avons déjà fait remarquer que cliacune des sphères admet pour tétraèdre conjugué celui qui est formé par les centres des quatre autres sphères.

Des cinq coor<ionnées d'un point réel, les quatre premières sont réelles ; celle qui est relative à la sphère imaginaire est elle-même une imaginaire pure.

2" Examinons maintenant le cas où l'équation en X a un couple déracines imaginaires. Alors deux des fonctions y/;, par exemple y* et ys, seront imaginaires conjuguées. La relation entre les coordonnées devant contenir quatre carrés positifs, il sera nécessaire, non seulement que y,, j^2j JK3 soient réels, mais encore que ces trois coordonnées se rapportent à des sphères de rayons réels. Ces trois sphères se couperont nécessairement en deux points réels A,, Aal les deux sphères imaginaires auront pour centres des points imaginaires, situés sur l'axe radical A^AoCt divisant harmoniquement le segment A( Ao.

En ce qui concerne les coefficients ai qui figurent dans l'équation de la cyclide, ils sont tous réels dans le premier des deux cas que nous venons d'examiner. D.ms le second, «i, «21 <^i seront réels; a^ et «5, au contraire, seront imaginaires conjugués.

Nous aurons à faire usage plus loin de toutes ces remarques. Nous allons maintenant étudier les propriétés de la cycliile qui résultent de la lorme simplifiée

I,aixj = o,

donnée à son équation.