I.KS CVCLIDIlS I.\ (OORDONMÏKS CAKTKSIKNNES

de conslriiclion. Par (îxeinple, si Cou envisage toutes les qaadriqaes (Q) relatives à an même point A, on voit qu'on engendrera la cubique en construisant les courbes de contact des cônes de sommet A circonscrits à toutes ces quadriqaes. Si Von en prend deux seulement^ (Q) et (Q'), le segment de la cubique situé sur toute droite passant par A sera déterminé, puisqu'il doit diviser liarmoniquement les deux segments analogues que la droite détache dans (Q) et dans (Q'j-

Parmi les qiiadriques (Qj, on peut signaler celle qui passe par A etconlienl les deux droites <Je la ctdjique qui se croisenlen A. ^//^ donne lieu à une inversion spéciale dans laquelle le pôle A est sur la quiidrique.

On peut aussi signaK'i-, |)arini les (juadriques (Q), les quatre cônes

qui passent par la biquadratique. Ils coupent la cubique suivant

deux droites passant par leur sommetetqui tiennentlieu de la courbe

de (onlacl des [)liiiis tangents menés au cône par le point V. Ils

IHL.donnent lieu au théorème suivant :

Etant donnée une droite (A) de la cubique^ on mène les cinq plans tritangents qui passent par cette droite. Soient M,, Ma, M;,, Mi, M5 les cinq points de contact de ces plans qui se trouvent Intrs de (A). Si (K/) est la biquadratique courbe de contact du cône de sommet M, circonscrit à la cubique^ les quatre cônes du second degré passant par (K/) auront pour sommets les (juaire points M/, autres ([ue M/. Le cône (jui a pour sommet un de ces points M/, contient les deu.r droites de la ruhique (jui passent en M^, et les plans tangents au cône suivant cn.s //eux droites ront passer par M/.

278. On peut obtenir les mêmes résultats par une méthode beaucoup plus intuitive quoique moins rigoureuse. Elle repose sur quelqties proprié'iés élémentaires des faisceaux de quadriques.

Soient ((^), (Q'j deux quadri([nes re()résentées en coordonnées ponctuelles par les é(jualions

Les quadri(|iit ■< dc-fiuies par l'équalion

432 LIVRE V. — CHAPITRI': III.

OÙ A désigne un paramètre variable, forment ce que nous avons appelé un faisceau ponctuel. D'après le théorème de Sturm, qui leur est évidemment applicable (n" 77), les quadriques du faisceau déterminent, sur une droite quelconque de l'espace, des segments qui forment une involulion et les points doubles de cette invoLution sont ceux dà la droite est touchée par les deux quadriques du faisceau qui lui sont tangentes. D'autre part, si les équations

définissent les plans polaires d'un point A de l'espace par rapport aux deux quadriques (Q), (Q'), l'équation

(58) P + XP'=o

représentera le plan polaire du mên)e point A par rapport à la quadrique définie par l'équation (56). Si donc on élimine \ entre les équations (56) et (58), on obtiendra une équation du troisième degré

(59) PQ'-QP'=o,

qui représentera le lieu des points de contact des tangentes menées de A à toutes les quadriques du faisceau. Or cette équation, qui est du troisième degré, contient autant de constantes arbitraires qu'il }' en a dans celle de la cubique la plus générale. En choisissant convenablement (Q), (Q'), on ne trouve que i6 constantes dans l'équation générale du faisceau. Si l'on adjoint à ces i6 constantes les trois coordonnées du point A, on voit cjue l'équation (dq) dépendra de 19 constantes^ autant qu'il y en a dans l'équation delà surface cubique la plus générale. Admettons donc, et c'est là le point faible de la démonstration, que l'équation de toute cubique générale pourra être écrite sous la forme (59).

Alors, on aura mis en évidence toute une série de coniques de la surface dont les plans sont représentés par l'équation (58) et passent, par conséquent, par la droite (A), intersection des plans définis par les équations

Toute droite passant par A coupera la cubique en deux points M

el M' qui, d'après le théorème de Slurm, diviseront harmonlqueinent le segment déterminé sur cette droite par toute quadrique du faisceau.

La cubique sera donc anallagmalique^ par rapport à Vin- \ersion quadrique déterminée par le point A et une quadrique quelconque du faisceau.

Ces résultats sont bien d'accord avec ceux que nous avons obtenus parla première méthode. Fl d'ailleurs, si l'on considère la quadrique du faisceau qui passe en A, le plan polaire de ce point par rapport à cette quadrique sera le plan langent en A, et les deux génératrices rcctilignes de la quadrique (|ui passent en A appartiendront également à la cubique. A sera donc le point de rencontre de deux droites de la cuhique ou, si l'on veut, le point de contact d'un plan tri langent.

Nous signalerons, en terminant, la conséquence suivante des résultats précédents.

Si l'une des quadriques du faisceau est une sphère ayant pour centre le point A, la cubique contiendra le cercle de l'infini et deviendra, par suite, une cjclide. On a donc le théorème suivant:

Toute cyclide du troisième degré est le lieu des points de contact des plans tangents menés par le centre d\ine de ses sphères directrices à toutes les quadriques qui passent par

I C intersection de celte sphère et de la cyclide. La déférente sera

■P la polaire réciproque par rapport à la sphère de celle de ces quadriques qui passe par le centre de la sphère.