Nous comme ncerons par remarquer que, si

(l) f{Xx, Xi, ..., a-5) = o

est réquation homogène d'une surface quelconque, réquation

où les X, désignent les coordonnées d'un point variable, représentera une des sphères tangentes à la surface au point de coordonnées Xi, ..., x^. En effet, l'équation précédente représente bien une sphère passant par ce point; car elle est vérifiée quand on y remplace X^ par xi. D'autre part, d'après l'équation (97) (n''261), la sphère et la surface ont même normale an point considéré. Donc elles sont bien tangentes.

Comme

Sa7/X,=: o

est l'équation de la sphère de rayon nul ayant pour centre le point de coordonnées j?/, on voit que l'équation générale des sphères

langenles en un point sera

On aurait le plan tangent en déterminant X par la condition

par laquelle on exprime que la sphère se réduit à un plan.

287. Appliquons ce résultat général à la cyclide, dont nous prendrons l'équation générale sous la forme réduite

(4) ^a/,xl = o.

Nous obtiendrons

pour l'équation générale des sphères tangentes au point de coordonnées X/(.

Pour qu'une sphère définie par l'équation

(6) ^ni/cX/.-— o

soit tangente à la cjciide, il faudra que l'on puisse identifier celte équation avec la précédente. En tenant compte de l'homogénéité, on peut prendre

et, en substituant dans l'équation de la surface et dans la relation identique entre les coordonnées, on sera conduit aux deux équations

dont l'une est la dérivée de l'autre. Donc, pour que la sphère soit .tangente, il faudra que l'équation du quatrième degré en a

^ ai -+- X

ail une racine double. On sait que cette condition d'égalité des racines se présente sous la forme

(lO) 13— 27J2=0,

où I est du second degré et J du troisième degré par rapport aux coeflîcienls de l'équation. Ici I sera une fonction homogène du quatrièuie degré des m/, et de même J sera du sixième degré; en sorte que la condition de contact d'une sphère sera du douzième degré par rapport aux coefficients de son équiition.

Si l'on cherche combien, par l'intersection de deux sphères données, on peut faire passer de sphères tangentes à la cyclide, il faudra, dans la condition de contact, remplacer mi par mi-\- km\ , et l'on obtiendra pour k une équation du douzième ordre.

Donc, par un cercle, on peut faire passer, en général, douze sphères tangentes à la cyclide.

Si ce cercle devient une ligne droite, les sphères qui le contiennent sont des plans. Donc la cyclide est de douzième classe.

Enfin, si les deux sphères données de coordonnées m,-, ni'^ sont conceniriques, toutes les sphères de coordonnées m, 4- Xm^ auront le même centre. Donc, dans une suite de sphères concentriques, il J en a douze qui sont tangentes à la cyclide. En d'autres termes, dhin point on peut mener douze normales à la cyclide.

Toutes ces propositions, si différentes en apparence, sont ici des conséquences d'un principe unique.

A^jouions que l'équation (10) est V équation tangenlielle de la surface si l'on y regarde les mi comme les coordonnées d'un plan.

288. Nous allons signaler maintenant des conséquences d'un autre genre. Etant donnée une sphère tangento, les coordonnées du point où elle louche la cyclide sont déterminées en général sans ambiguïté par les formules (7). Si l'on veut que la sphère soit doublement tangente, il faudra que l'une au moins des coordonnées du point de contact ne soit pas définie, que l'on ait par exemple

m/i = 0, A = — aii

auquel cas, l'équation en \ devant admettre la racine double — «a.

il faudra que l'on ait

(II) > ^— = o,

la somme étant étendue aux quatre valeurs de i qui sont différentes de k.

Aiusi, nous obtenons cinq séries de sphères doublement tangentes à la cyclide.

Nous avons vu que toute sphère coupe la cyclide suivant une courbe située sur une quadrique. Cette courbe, ayant deux points doubles, se décomposera en deux courbes plaues, c'esl-à-dire en deux cercles. Nous retrouvons ici une proposition déjà dérnonlrée au n° ^260 ; il y a sur la cydide dix séries de sections circulaires, se groupant eu cinq couples rattachés chacun à la mêuie série de sphères bitangentes.

Ces cinq séries de sphères doublement tangentes, les lieux de leurs cenires, les sections circulaires qui s'y rattachent forment un des ensembles les plus intéressants de la Géométrie. Nous allons successivement faire connaître ses piincipales propriétés.

289. Commençons par considérer une des séries de sphères bitangentes, celles qui sont orthogonales, par exemple, à la sjihère coordonnée (S^). l^es formules ('^) déterminent sans ambiguïté toutes les coordonnées de leui's points de contactt, sauf Xh qui, en vertu de la relalion identi(|ue enire les coordonnées, peut ie<evoir des valeurs égales et de signes coniraires. Donc, les deux points de contact <le chaque sphère bitangente (S) de la série considérée sont inverses l'un de l'autre pnr rapport à la sphère (Sa^); et les deux cercles suivant lesquels la sphère (S) coupe la cyclide, passant nécessairement par ces deux points de* contact, seront orthogonaux, l'un fi l'autre, à la sphère coordonnée ypk)-

On déduit de là, sans calcul^ que la surface lieu des centres des sphères bitangentes (S) est nécessairement une quadrique.

Désignons, en effet, par (C) l'un (juelconf|ue des cercles de la cyclide qui se irouvent sur une des sphères bitangentes (S). Toute sphère (S') passant par (C) ne pouria compléter son intersection avec la rydide (|u'en lui empruntant un seconl cercle (C). Elle sera donc bitangente à la cyclide aux deux points d'intersection D Q9

45o LIVRE V. — CHAPITRE V.

de (C) et de (C). Et, comme elle est orthogonale à (S/t)^ elle fera partie de la série des sphères bitangentes (S).

Comme (S') n'est assujettie qu'à contenir le cercle (C), son centre pourra être choisi arbitrairement sur l'axe du cercle (C), ce qui nous conduit immédiatement à la conclusion suivante :

La surface lieu des centres des sphères bitangentes (S) contient les axes de tous les cercles suivant lesquels ces sphères coupent la cyclide, et^ par conséquent^ c'est une surface doublement réglée^ c'' est- à-dire une quadrique.

Nous désignerons cette quadrique par la lettre (Qa)-

290. Nous pouvons maintenant nous rendre compte de la disposition des sections circulaires qui se rattachent à l'un quelconque de nos cinq modes de génération. Tandis que les sphères bitangentes forment une série doublement infinie, les cercles correspondants se distribuent en deux séries simplement infinies, correspondantes aux deux systèmes de génératrices rectilignes de (Qa).

Lorsque le centre de la sphère (S) décrit une des génératrices rectilignes, la sphère (S) elle-même passe par un cercle fixe de la cjclide dont l'axe est cette génératrice rectiligne et (pii se trouve dans le plan mené perpendiculairement à cette génératrice par le centre de (S^). Nous obtenons bien, comme on le voit, deux familles de cercles orthogonaux à (S^); les uns ont pour axes les génératrices d'un système de (Qa)j les autres ont pour axes les génératrices de l'autre système. Deux cercles appartenant à une même série ne se coupent pas; deux cercles appartenant à deux séries différentes se trouvent sur la sphère bitangente dont le centre est le point de rencontre de leurs axes et se coupent par conséquent en deux points, réels ou imaginaires.

Les plans des cercles passent par le centre de (Sy^) et sont orthogonaux aux génératrices de (Qa^); ils enveloppent, par conséquent, un cône du second degré concentrique à (S^v) et supplé- • mentaire du cône asymptote de (Qa)- Chaque j)lan tangent de ce cône coniient deux cercles dont les axes sont les deux génératrices de (Qa) qui sont perpendiculaires à ce plan. C'est donc ce que Ton appelle un plan tangent double de la surface. Comme tout plan

tangent double de la cyclide la coupe suivant une courbe du quatrième ordre ayant quatre points doubles, dont deux à l'infini sur le cercle, cette section doit se décomposer en deux cercles, saul dans le cas que nous rencontrerons plus tard, où elle se décompose en une droite et une cubique gauche. Sous cette réserve, on voit, comme nous l'avions déjà remarqué au n° 268, que l'emploi des sphères bitangentes nous donne tous les plans tangents doubles de la surface. Ils enveloppent cinq cônes du second degré.

291. Les propositions précédentes se rapportent aux cas les plus généraux et doivent, dans certaines hypothèses particulières, subir des modifications que l'on découvrira aisément. Par exemple, si l'une des sphères (Sy^) se réduit à un plan, les centres des sphères orthogonales (S) sont dans ce plan, la quadrique (Qa) vient s'aplatir et se réduire à la portion de ce plan limitée par une conique; les axes des cercles de section par les sphères (S) deviennent les tangentes à cette conique.

De même, si la cyclide se réduit au troisième degré, les plans des sections circulaires ne peuvent pas la couper suivant un autre cercle; ils ne peuvent la couper que suivant nue droite. Et en eflet, on a vu que, dans ce cas, la section de la cyclide par le plan de l'infini se compose du cercle de l'infini et d'une droite d. On peut mener, par cette droite d^ cinq plans Iritangents à la cyclide. Chacun d'eux est tangent à la cyclide en un point à distance finie et il contient deux droites d\ d" qui passent par ce point et vont nécessairement couper la droite <i. Les dix plans qui passent par ces droites donnent les dix séries de sections circulaires de la cyclide. Pour les plans passant par des droites telles que <i', d\ les axes des cercles correspondants sont perpendiculaires, soit à d\ soit à d" . C'est le cas où la quadrique (Qa) devient un paraboloide (dont les plans directeurs seront perpendiculaires à o^'et à d'). Les plans tangents doubles n'enveloppent plus un cône, mais sont assujettis à passer par les droites telles que d! ^ d" .

292. La démonstration analytique des principales propriétés que nous venons d'établir va nous permettre de compléter certaines d'entre elles, (cherchons d'abord l'équation du lieu des <;entres des sphères bitangentes.

Reprenons les équations

(12) nik—o, > — = o,

"■ ' ^^ ai— cil:

qui définissent les sphères bitangentes de chaque série. Nous avons vu (n" 252) que le centre de chacune de ces sphères (S) a ses coordonnées définies par les formules

I y, ml

2mh Gomme on a ici m/t= o, il viendra

on aura donc

nii — —- ( RiXi — R/cX/, ),

en sorte que l'équation ponctuelle du lieu des centres sera

^•^ R/ (ai— a/,)

la somme étant étendue aux quatre valeurs de «distinctes de k.

Si Ton désigne par S/ la puissance d'un point par rapport à la sphère coordonnée (S,), l'équation précédente peut s'écrire

On voit qu'elle représente, en général, une quadrique admettant un télraèdie conjugué dont les faces sont délinies parles éciuations

Comme on obtient ainsi les plans radicaux de (S/f) et des autres sphères coordonnées, le tétraèdre par rapport auquel la quadrifpie ( Qa) est conjuguée a pour sommets les centres des sphères coordonnées autres que (S^). Nous savons, ei c'est une remurque essentielle, qu'il est aussi conjugué par ra| port à ht sphère (Sa),

qui peut être définie (n° 247) par l'équation

(17) • ^^(^i-^ky-=o.

293. En résumé, la cyclide peut, de cinq manières différentes, être considérée comme V enveloppe d^ une sphère dont le centre décrit une quadrique (Qa) et qui est assujettie à couper à angle droit une sphère (S/;). Cette sphère variable louche la cyclide en deux points et la coupe suivant deux cercles. Les cinq sphères (S^) relatives à ces cinq modes de génération sont deux à di^ux orthogonales, et le tétraèdre conjugué commun à [Sk) et à (Qa) est formé par les centres des sphères orthogonales autres que (Sa).

Nous rappellerons que la quadrique (Qa) a été appelée la déférente relative à un des modes de génération, et la sphère correspondante (S/t), la ?,\i\\ève directrice relative à ce même mode de génération.

^H Nous savons que les cinq sphères directrices sont orthogonales; nous allons démontrer de nouveau que les cinq déférentes (Qa) sont homofocales.

Soit, en effet, (Qa) l'une d'elles; toute sphère qui a son centre en ut) point m de(QA) et est orthogonale à (S^) touche la cyclide en deux points M, M'inverses par rapport à (Sa), tels, par conséquent, que la droite MM' aille passer par le centre de (Sa). Celte droite MM est d'ailleurs nécessairement, comme il arrive pour toules les enveloppes de sphères, perpendiculaire au plan tangent en m à la déférente. Par conséquent, les deux points M, M' demeureront à distance finie tant que le plan (P) tangent en m à

|H| la déférente ne sera pas isotrope. Mais supposons (|ue ce plan (P)

devienne isotrope, c'est-à-dire que le point m vienne se placer sur

, la ligne di; contact de la développable isotrope tangente à la défé-

Hp rente. Le plan (P) sera tangent au cercle de l'infini en un certain point Y-1 et il sera aussi tangent en ce point à la sphère de centre m qui est orthogonale à (Sa). D'autre pari, la droite MM', qui est constamment perpendiculaire à (P), deviendra isotrope et ira passer par le point pi, qui deviendra ainsi la position limite de l'un des points de contact M, M'. La cyclide, devant admettre en ce

point tj. le même plan tangent que la sphère (S), y sera nécessairement tangente au plan (P).

Ainsi, les plans tangents en tous les points du cercle de l'infini aux deux nappes de la cyclide qui se croisent sur ce cercle sont ceux qui sont tangents à la déférente (Qk)-

Cette proposition s'appliquant aux cinq modes de génération, on reconnaît immédiatement que les cinq déférentes sont inscrites dans la même développable isotrope. En d'autres termes, elles sont homo/ocales.

Empruntant à Laguerre (n°240) la définition des focales singulières, nous aurons la proposition suivante :

Les focales singulières de la cyclide sont les coniques focales de Vune quelconque des cinq déférentes^ qui sont liomofocales.

294. Cherchons maintenant les focales ordinaires de la cjclide. Nous avons vu (n^SSO) que la développable isotrope circonscrite à une surface quelconque est le lieu des centres des sphères de rayon nul tangentes à cette surface. Puisque nous avons appris (n°287) à trouver la condition de contact d'une sphère et de la cyclide, il suffira d'appliquer cette condition à l'hypothèse où le rayon de la sphère devient nul.

L'équation d'une sphère décentre (ip<, . . . , 5:3) et de rayon nul est évidemment (n° 251)

Sa7/Xj= o.

En appliquant la condition de contact on voit que l'équation de la développable isotrope circonscrite à la cyclide s'obtiendra en exprimant que l'équation en \

a une racine double. Cette condition, nous l'avons vu, s'obtiendra sous la forme

où I sera du quatrième ordre et J du sixième par rapport aux xi. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que l'arête de

rebroussement de la développable isotrope est définie par les équations

Nous avons vu que les lignes doubles de la développable isotrope circonscrite à une surface quelconque contiennent les centres de toutes les sphères de rayon nul tangentes à la surface. Ces lignes doubles sont ce que nous avons appelé les iocdXes oi^dinaires de la surface et nous avons donné à leurs points le nom àe foyers. Puisque, dans le cas de la cyclide, nous avons déterminé toutes les sphères doublement tangentes, il nous suffira de choisir, parmi elles, celles qui sont de rajon nul. Dans le mode de génération défini par la déférente (Qa) et la sphère (S/f), ces sphères sont évidemment celles dont le centre se trouve sur (S/^). Ainsi, la cyclide a cinq focales ordincdres qui sont les hiquadratiques sphériques^ intersections de chaque déférente par la sphère directrice correspondante .

D'après les remarques présentées au n" 2i0, chacune de ces courbes admet les quatre autres comme focales. Chacune d'elles détermine toute la développable isotrope circonscrite à la cyclide. Car, soit d une génératrice rectiligne de cette développable tangente en /w à la cyclide ; elle coupera la sphère (Sa) en un point w/t qui sera le centre d'une sphère de rayon nul qui touchera la cyclide en m et, par suite, la touchera aussi au point m' qui est l'inverse de m par rapport à (S^). I^a sphère de rayon nul ayant son centre en m^ sera donc doublement tangente; elle appartiendra, par conséquent, à la focale, intersection de (Sa) et de (Qa).

295. La théorie des sphères doublement tangentes va nous conduire à d'autres conséquences et nous montrer que, surla cyclide, il y a seize droites rencontrant le cercle de l'infini. Pour cela, nous allons déterminer les sphères doublement tangentes qui appartiennent à deux modes distincts de génération. Comme elles I auront quatre points de contact avec la cyclide, elles la couperont suivant quatre droites, nécessairement isotropes, formant un quadrilatère gauche dont les sommets seront les [)oints de contact des sphères et de la cyclide. Cherchons, par exemple, les sphères appartenant aux deux modes de génération pour lesquels les sphères directrices sont (S,) et (Sj).

On aura, pour ces sphères, les conditions

/ni = o, nii = o, ml ml m?

«3 — ai ai — ai a^ — ai a^ — a^ ai — 02 (li — «2

qui les déterminent entièrement. On trouve ainsi, pour leur équation.

(a.,— a^)x3 </f'{a3) -+■ (a^— «3)37^ v//"'(«4) + («3— «4)^;. //'(«s) = o,en posant, pour abréger,

/{u) — (u — ai){u — a2)(u — 0.3) (u — «4) (« — «s)-

Si donc on désigne par f, k, l trois indices pris dans la suite i, 2, 3, 4, 5, on voit que les sphères cherchées seront définies par les équations

(•P. r) {au—ai)Xi sffjâï) -4- {a, — ai)xk\/f' {a,,) -\~ (a/— «/,)a7/ s/f\ai) = o.

On obtient ainsi, en tout, quarante sphères et quarante quadrilatères gauches suivant lesquels elles coupent la cjclide.

Si l'on prend partout les radicaux \f'{o,i) avec le même signe, on voit que les dix sphères correspondantes ont en commun lu ligne définie par les équations

(22) Xi^f{ai) = aiK-h\i. (i = I, 2, .... 5),

OÙ X et {X désignent deux arbitraires. Comme les dix sphères n'ont pas le même plan radical^ cette ligne ne peut être qu'une droite, qui leur est commune à toules.

Ainsi, les équations (22), où Von peut faire varier les signes des radicaux^ représentent les seize droites de la cyelide.

Quand on change le signe d'un radical, \f\(ti) par exemple, cela revient à remplacer la droite par son inverse, relative à (Sj). Ainsi, toutes les droites se déduisent de l'une d'elles par les inversions dont les sphères principales sont les cinq sphères (S/).

296. On peut encore obtenir les droites en raisonnant de la manière suivante :

Toules les droites isotropes situées sur la cyclidc, et ce sont les

seules que puisse contenir une cyclide du quatrième ordre, appartiendront à une infinité de sphères qui couperont la cyclide suivant une de ces droites et une cubique gauche rencontrant cette droite en deux points. Nous avons vu (n°287) qtiel'on obtient la condition de contact d'une sphère en exprimant que l'équation en X

a une racine double. Ici il faudra exprimer que cette équation a deux racines doubles. Si on les appelle a et p, cela donne l'identité

/"(X) éiant le polynôme déjà défini. On en déduit, pour chaque

valeur de l'indice /f,

m/c= inis

sUÏ^)

et les points de contact correspondants seront déterminés par les formules

//(«/,) \IS\ak)

Lorsqu'on fera varier a ou j3, on aura des formules équivalentes à celles (22) que nous avons données plus haut.

Voici encore quelques propriétés relatives à ces droites. Soit d l'une d'elles et mi le point où elle coupe la sphère directrice (S,), point nécessairement situé sur la focale que contient (S,).

L'inverse di de d par rapport ù (S,) passe évidemment par m,, t les deux droites d^ di constituent un cercle de rayon nul, situé p la fois sur la cyclide et sur la sphère de rayon nul dont le centre est //jj. Ce point ///, se distingue des autres points de Ja focale par une propriété particulière. On peut faire passer par d et de une infinité de sphères dont les centres sot)t sur la droite 0 qui passe par m,- et est perpendiculaire k d el k di. Cette droite 8 est évidennnent tangente en mi à la sphère (S/). Les sphères qui contiennent le cercle (c/, di) sont doublement tangentes à la cyclide, et, comme elles sont orthogonales à (S/), elles appartiennent au mode de génération défini par (Q/) et (S/). Donc, la droite ô est

une génératrice rectiligne de (Qi) et, comme elle touche la sphère (Sj) en m/, elle est tangente à la focale.

Ainsi, les points où les droites de la cyclide rencontrent V une des focales sont ceux ^ au nombre de huit^ où cette focale est touchée par les génératrices rectilignes de la déférente qui la contient. Ce sont les ombilics de la cjclide. H y a donc quarante ombilics.

Pour traiter complètement ce sujet, il ne nous reste plus qu'à indiquer une notation schématique permettant de définir toutes les droites et de retrouver celles qui se coupent.

Choisissons-en une au hasard d. Désignons par di celle qui se déduit de d par l'inversion dont la sphère principale est (S/) et par diki... la droite que l'on obtient en faisant successivement les

inversions par rapporta (S,), (S^), (S/), Commedeux inversions

par rapport à deux sphères rectangulaires sont interchangeables, <^tA et â?/f/ représenteront la même droite. D'autre part, on n'aura jamais besoin d'employer plus de deux indices, parce que les inversions par rapport aux cinq sphères (S^) se détruisent. On pourra, par exemple, remplacer (^,03 par 6/45, 0^,034 par <ig, d^2Z',â parti. On ne trouve donc que les seize droites

d, di, f/2, c?3, di,, d^,

"12î <^13) <^Ui <^15j <^23) ^241 <^23) <^3i) ^35j <^45-

Pour savoir celles qui coupent l'une d'elles, d\2 par exemple, il suffira d'ajouter à 1,2 successivement chacun des cinq indices,. ce qui, en tenant compte des remarques précédentes, nous donnera

«2, â?j, ai,5, «^35, d-i!,.

En particulier, deux droites dih se coupent quand elles n'ont aucun indice commun.

297. Nous terminerons cette étude des sphères doublement tangentes en montrant comment, lorsqu'un mode de génération défini par la sphère directrice (S^) et la déférente (Q/f) est donné, on peut en déduire tous les autres.

Désignons par Cj le centre de la sphère directrice (S/) et par (P,y) le plan radical de (S,) et de (Sy). Nous avons vu que chacun des centres Gj est le point de concours des hauteurs du tétraèdre

formé par les quatre autres centres, que ce tétraèdre est conjugué à la fois [)ar rapport à (S/) et à (Qj). Il suit de là que le segment formé par deux centres quelconques C,-, Cy divise harmoniquemeut les trois sphères et les trois déférentes dont l'indice est différent de i et dey; que le plan (P/y) a pour pôle Gy par rapport à(S<) ou à (Q/) et pour pôle Cj par rapport à (Sy) ou à {Qj)-

Il suit de là également que, si l'on nous donne (Syt) et (Qa); les centres d des sphères directrices correspondantes aux quatre autres modes de génération seront les sommets du tétraèdre conjugué commun à (S/t) et à (Qa)- Les sphères elles-mêmes seront déterminées puisque l'on connaîtra leurs centres et qu'elles devront être orthogonales à (S^)- Quant aux déférentes (Qi), elles doivent être homofocales à (Qa) et? de plus, on connaît, pour chacune, un de ses tétraèdres conjugués, qui est formé par les centres des cinq sphères autres que G,. Gette double condition sera plus que suffisante pour les déterminer ( * ).

298. Pour résoudre la même question, Laguerre a donné des règles élégantes, mais moins simples. Nous allons les faire con- Hpnaître.

D'après un théorème de Poncelet^ la développable (A/t) circonscrite à (Sa) et à (Qa) admet quatre lignes doubles, qui sont des coniques situées dans les quatre faces du tétraèdre conjugué commun à (Sa) età(QA). Nous les désignerons par la notation (G^), i étant différent de k.

(') En effet, soil

l'équation d'une famille de surfaces homofocales. Le plan polaire d'un point x', y', z' aura pour équation

xx' y y' zz'

Si l'on désigne par x", y" , z" les coordonnées respectives des points où il coupe les trois axes, on aura

Par suite, quand on connaîtra un point cl son plan polaire, les trois axes s'obtiendront par des moyennes proportionnelles.

4Co LIVRE V. — CHAPITRE V.

D'autre part, la développable (A/;) vient loucher la sphère (S^^) suivant une courbe (r>t) qui, d'après les propriétés des développables circonscrites à la sphère^ admet pour normales les génératrices rectilignes de (Ayj^). Cette courbe (r^) appartient évidemment à la cyclide; car elle est le lieu des points de contact des sphères orthogonales à (S^) dont les centres décrivent la courbe de contact de ( A/t) et de (Qa). On voit ainsi que la cyclide coupe à angle droit la sphère (S/t) suivant la courbe (Fa). Désignons par m un point quelconque de cette courbe et par d la génératrice recliligne de Aa^ qui est normale en /n à (F/f). Toute sphère ayant son centre sur d et passant en m sera orthogonale à (S^) et tangente en m à (Tk) et à la cyclide. Soit p le point où la génératrice d vient rencontrer l'une quelconque (Q) des coniques doubles de (A^). Par ce point yo, puisqu'il est double, vient passer une autre génératrice recliligne de (A^) qui, elle aussi, sera orthogonale à (Fy^) et tangente à la cyclide, mais en un point m', différent de m. Puisque pm et pm' sont des tangentes de (S^), nécessairement égales, la sphère de centre p qui passera en m passera aussi en m' et sera, [>ar conséquent, doublement tangenle à la cyclide.

Ainsi, chacune des quatre lignes doubles (Q) nous donne une nouvelle série de sphères doublement tangentes à la cyclide. Ces nouvelles séries de sphères appartiennent évidemment aux autres modes de génération; elles nous font donc connaître les déférentes correspondantes, qui sont plus que déterminées par la condition d'être homofocales à(QA) et de contenir l'une des coniques (G,).

Au reste, il sufhra de connaître un seul point p de (C,); car le plan tar)gent en ce point à la déférente correspondante sera celui qui est perpendiculaire sur le milieu de mm! et passera, par suite, par le centre de (S^); et la déférente, elle-même, sera déterminée par la condition de passer en p et d'y admettre un plan tangent donné.

299. Les constructions précédentes mettent en évidence une belle proposition donnée par Chasles et relatives aux surfaces homofocales.

Etant données une sphère (S| ) et une quadrique (Qj ), désignons

par la notation (S, ) ( Q, ) la développable circonscrite à ces deux

surfaces. Soient (Co), (C3), (C/,), (G3) les quatre lignes doubles de celle développable, respeclivemenl situées dans les quatre faces du tétraèdre conjugué commun à (S,) el à (Qi)- Nous venons de montrer que, par chacune de ces coniques passe une surface homofocale à (Qi). Nous désignerons par(Q2), (Q3), (Q/,)^ (Qs) '^^ surfaces qui passent respectivement par les conifpies (C2), (C3), (C4), (G5), el, si nous leur associons les qualre sphères (So), (S3), (S4), ( S5) orthogonales à (S, ) el dont les centres sont les sommets du tétraèdre conjugué commun à (Si) et à (Qi), la sphère (S,) étant celle dont le centre esl le sommet opposé à la face qui contient ( Q) et qui coupe (S, ) suivant le cercle de celte sphère situé dans le plan de (G,), on aura, nous venons de le voir, les cinq modes de génération d'une cjclide déterminés par chaque sphère (S^) el la quadrique (Q/).

Le plan radical P,2 des deux sphères (S|), (S^) est celui qui contient la conique G2 et nous avons vu que (Go), (Qi ), (S) ) sont inscrites dans une même surface développable. Si nous éi^hangeons les deux modes de génération correspondants aux indices i et 2, nous pourrons donc conclure que le plan radical P,a coupera (Qj) suivant une conique (G'j) telle (]ue (G'j), (Q2)j (Sa) soient inscrites dans une même développable. Gela nous permet d'énoncer le théorème de Ghasles :

Etant données une (jiiadrique (Q) et une sphère (S), les lignes doubles de la développable

sont sur des qua-

driques honiofocales à (Q). Etant donnée une de ces surfaces (Q,) qui passe par la ligne double (G|), le plan de (G,)

coupe (Q) suivant une conique (K, ). La développable

est circonscrite à une sphère (S,) orthogonale à (S) et ayant pour centre le pâle, par rapport à (S) et à (Q), du plan de (Ci).