CHAPITRE Yl

On peut, avec des cyclides, obtenir un système triple orthogonal tout semblable à celui des surfaces homofocales du second degré. — Les cyclides qui le composent sont toutes homofocales, et les trois familles du système sont représentées par une seule équation. — Toutes les fois que deux ou trois familles de surfaces orthogonales sont, comme il arrive ici, représentées par une seule équation, elles sonthomofocales. — Emploi du système pour la discussion des différentes formes de cyclides. — Ombilics. — Sections circulaires. — Nombre des séries de sections circulaires réelles pour chacune des familles du système triple orthogonal.

300. Avant de [)oarsuivre cette étude, et pour lui donner le développement qu'elle comporte, nous allons établir une propriété essentielle des cyclides, et montrer qu'on peut obtenir avec elles un système triple orthogonal, (|ui constitue la généralisation la plus directe de celui que l'on forme avec les surfaces homofocales du second degré.

Mettons l'équation d'une cyclide sous la forme

qui rappelle celle des surfaces homofocales du second degré. Nous allons montrer qu'ici aussi, les cyclides correspondantes à deux valeurs différentes de A sont, à la fois, orthogonales et homofocales.

Le premier point s'établit sans difficulté si l'on applique aux deux cyclides représentées par les équations

la condition d'orthogonalilé donnée au n° 261. En vertu de

l identité

^^ '^{ai—\){ai—k') jLdai—\ jL^ai—l^''

cette condition se trouve vérifiée en tous les points communs aux deux surfaces.

(pliant à la seconde propriété, on peut la mettre en évidence de deux manières différentes. Clierchons d'abord la déférente et la sphère directrice relatives au mode de génération d'indice k. En appliquant les formules (i6), [l'j) du Chapitre précédent et tenant compte du changement de notations, nous avons, pour la déiérente, l'équation

et, pour la sphère directrice, l'équation

La comparaison de ces équations montre immédiatement que la courbe d'intersection de (Sy^) et de (Qa) ne change pas lorsque X varie. Donc, toutes les cvclides représentées par l'équation (i), où X varie, ont les mêmes focales.

On peut encore donner la démonstration suivante qui subsiste si quelqu'une des sphères directrices se réduit à un plan.

Nous avons vu au n° 294 comment on obtient l'équation de la développable isotrope circonscrite à la cj'clide. En appliquant au cas actuel la condition que nous avons donnée et choisissant des notations a|)propriées, nous avons à exprimer que l'équation en a

a une racine double. Or, si l'on tient compte de la relation identique qui relie les coordonnées a?/, on peut réduire cette équation à la forme simple

On voit que la condition d'égalité des racines ne dépendra pas de X. Et, par conséquent, la développable isotrope circonscrite sera la même pour toutes les cjclides représentées par l'équfition (i)t Les lignes doubles de celte développal)le, qui sont les focales communes à toutes les cjciides, sont définies par les équations

Jmd ai — aie

la somme étant étendue à toutes les valeurs de i différentes de A".

301. Si l'on ra')proclie le système orthogonal précédent de celui qui est formé avec les surfaces liomoforales du second degré, on voit que l'un et l'autre sont obtenus avec des surfares qui sont représentées par une équation unique, et sont à la fois oitliogonales et homofocales. Il y a là une coïncidence que l'on peut rattachera une proposition générale.

Soit, en coordonnées rectangulaires, une équation

indécomposable par rapport à X, et représentant une famille de surfaces. Supposons qu'ellesoit du deuxième ou du troisième degré par rapport à X. Il v aura deux, ou trois, surfaces de la famille passant en un point de l'esp;ice. Si ces surfaces sont toujours orthogonales, leur enveloppe ne pourra être qu'une développable isotrope, et par consé(|uent elles seront homofocales. En effet, soient a, ^, y; a', j3', y' les cosinus directeurs des normales à deux quelconques des surfaces qui passent en un point de l'espace. En vertu de la condition d'orthogonalité, on aura

aa'H- [3|3'+ yy'== o-

Or, s'il y a une enveloppe, deux des surfaces précédentes viennent se confondre en chaque point de cette enveloppe, et elles j admettent le même plan tangent que l'enveloppe. La condition préci dente se réduit à la suivante :

qui est vérifiée en tons les f)oints de l'enveloppe et montre que cette enveloppe doit être une développable isotrope.

302. Revenons au système orthogonal formé par les cyclides. Il faut remarquer d'abord qu'il possède une propriété qui n'existe pas pour le système du second degré. La forme de l'équation (i) subsiste quand on soumet les ai et X à une même substitution linéaire.

Si l'on effectue, en effet, la substitution

I mai-^ n . I mX -f- n

I pat -+- q \ p\ -h q

on verra aisément, pourvu qu'on tienne compte de la relation identique entre les coordonnées, que la forme de l'équation (i) n'est pas changée.

Celte remarque permet de simplifier beaucoup la discussion des différents cas particuliers.

Commençons par examiner l'hypothèse où quatre des sphères sont réelles, (S,), (S2),(S3),(S,) par exemple, la cinquième (S5) ayant pour rayon une imaginaire pure. Alors tous les coefficients «/ seront réels. Si Ton fait la substitution

on pourra évidemment disposer de k et de t de manière que la nouvelle valeur de a^ soit, relativement, la plus petite de loutes. Nous pourrons donc toujours supposer l'ordre de grandeur suivant :

Si cela était même nécessaire, on pourrait, en ajoutant une constante à X, rendre positifs tous ces coefficients.

Si nous prenons alors un point réel de l'espace, nous pourrons supposer réelles les cinq quantités

0C\^ •'^2? ^3» *^'f 9 tÛOt^,

Et, par conséquent, si nous voulons obtenir celles des cyclides représentées par l'équation (1) qui passent par le point considéré, l'équation en X qui les déterminera aura ses trois racines réelles et comprises respectivement entre a, et «a, entre a-i et «3, entre «3 el a^ . Comme dans les surfaces du second degré, nous aurons décomposé la famille unique représentée par l'équation (i) en trois D. 3o

autres familles distinctes, composées de surfaces qui se couperont mutuellement à angle droit.

Passons au cas où deux sphères coordonnées sont imaginaires conjuguées, par exemple (S^) et (S.;). Alors, pour un point réel, ;r,, Xo, ^3 sont réelles x^ elx^ imaginaires conjuguées. L'équation prendra la forme

... x\ xl x\ (z-^iz,)^ {z-iz,Y

où l'oti peut supposer

Il y aura une racine A entre Ut et «2 "ne autre entre a^ et «3; la troisième seia donc réelle et hors de l'intervalle {aiU^). Ici encore, il existe trois familles nettement séparées.

303. Désignons par p, p,, pa les paramètres des trois familles de cyclides que nous venons de séparer. Dans les deux cas que nous avons examinés, on pourra supposer que l'on a

(6) «i> p > a2> Pi> a,,

et il est clair qu'en choisissant un multiplicateur convenable pour lésa:/, on pourra toujours écrire l'identité

^Li X — ai (X— ai)(X — a2)(X — «3)(X — cii)0^ -~ ««)'

qui devra être vérifiée pour toutes les valeurs de X. Si l'on introduit les notations suivantes :

, . ( Cp(w) = (« — P)(« — Pl)(« — ?2),

( /(m) = (m — «!)(« — asX" — «3)(« - «^)(" -«»),

on aura

?(«/•) (a/— p)(a,— p,)(a,— pî)

f'{ai) fiai)

Commençons par envisager le cas où (Sj), (S2), (S3), (S*) sont réelles. Les inégalités (4) nous montrent que les valeurs de a?,, arj, X3, 374, iX'^ sont toutes réelles. Il y aura seize points réels correspondants à un même système de valeurs de p, p,, pa, et ces seize

SÏSTÈMK TRIPLE ORTUOGOiNAL FORMÉ DU TROIS FAMILLES DE CYCLIDES. i6j

points se déduiront de l'un d'eux parles inversions dont les sphères principales sont les sphères coordonnées.

Supposons maintenant que (S^), (S5) soient imaginaires conjuguées. D'après les inégalités (6), les carrés x-^, ôc*, ^l seront de même signe. On pourra donc les ramener à être positifs, et les coordonnées Xi, x^, x^ deviendront réelles; mais, comme les déterminations de Xji et de x^ doivent être choisies imaginaires conjuguées, il n'y aura plus que huit points réels correspondants à un mémo système de valeurs de p, p^, 02.

30i. Examinons maintenant les formes différentes que peuvent prendre les cjciides dont se compose le système orthogonal.

Nous nous appuierons sur la remarque suivante, qui est à peu près évidente. Supposons que nous voulions discuter l'une des surfaces, celle qui correspond à une valeur donnée de p, par exemple :

Sur cette surface, les paramètres p^ et p/ devront varier librement entre les limites qui leur sont assignées. Si, au cours de cette variation, l'un ou l'autre peut prendre la valeur a^, la coordonnée .r/j pourra s'annuler, et les deux régions de la cyclide qui correspondront aux valeurs de signes contraires de ce radical, c'est-à-dire qui sont inverses l'une de l'autre par rapporta (Sa), viendront se raccorder le long de la courbe x/i = o, suivant laquelle elhîs couperont à angle droit la sphère (S/i).

Ce point étant admis, examinons d'abord l'hypothèse où les sphères (S, ), (Sa), (S3), (S^) sont réelles.

Remarquons d'abord qu'en aucun cas ^275 ne s'annulera. On

pourra donc lixer arbitrairement le signe du radical I / ^, ^ » par exemple de telle manière que ix^ soit positive.

Pour les surfaces de la première famille, celles de paramètre 0, il faudra faire varier pi entre «2 6t «3, 03 entre «3 et a.j. Donc le premier radical Xf ne s'annulera pas. lî^t par suite, en lui donnant successivement le signe -h et le signe — , on aura deux nappes distinctes delà surface, inverses l'une de l'autre par rapport à (S|) et séparées par cette sphère. Gomme x-i, x^, x^ peuvent s'annuler, on voit, au contraire, .que ces deux nappes couperont les trois autres sphères réelles.

Ces conclusions s'appliquent avec les modifications convenables à la troisième famille. Les cjclides qui la composent sont formées de deux nappes qui sont séparées par la sphère (S^) et coupent à angle droit les trois premières sphères. On pourrait le voir directement, mais il vaut mieux remarquer qu'il n'y a aucune distinction essentielle à faire entre la première et la troisième famille, qu'on peut échanger l'une dans l'autre par une substitution linéaire de la forme

Considérons maintenant les cyclides de paramètre O). Ici, p varie de ttx à «2, pa de «3 à a^. Donc les radicaux :r), ^To, x^-, X;, peuvent s'annuler, et les cjclides se composent d'une seule nappe rencontrant à angle droit les quatre sphères réelles.

Il est aisé de reconnaître et de discuter la forme des focales communes aux trois familles. On sait que la focale (F/), située sur la sphère (S^), s^obtienL en exprimant que deux des racines de l'équation (i) (n" 300) deviennent égales à a/. On ne peut donc, dans le cas actuel, obtenir de focale réelle que si 0 et 0, deviennent égaux à «21 ou si pi et p2 deviennent égaux à «3. Il n*y a donc que deux focales réelles, l'une (F2) située sur (S2), l'autre (F3) sur (S3). A cause de la symtitrie que nous avons constatée et qui nous permet d'échanger (S,;, (S2J avec (S/,), (S3), tout ce que nous dirons de (F2) pourra s'appliquer à (F3).

Or, la focale (F2) est définie par les équations

ai — «2

où P2 varie enlie a-^ et «,. Puisque Xi ne s'annule pas, celte focale se compose de deux traits, inverses l'un de l'autre par rapporta (S,). Elle partage donc la sphère (S2) en trois régions, deux, que nous dirons être à l'intérieur de (F2) et qui seront inverses, l'une de l'autre, par rapport à (S|j; l'autre, que nous appellerons l'extérieur de (Foj, qui sera à elle-même sa propre inverse relativement à (S)) el contiendra, par conséquent, le cercle d'intersection de (So) et de (S,).

En faisant l'échange indiqué, nous voyons que la focale (F.V) se composera de deux traits et partagera la sphère (S3) en trois régions; deux d'entre elles, que nous appellerons l'intérieur de (F;,), seront inverses, l'une de l'autre, par rapport à (S/,); la troisième, qui les sépare et que nous appellerons l'extérieur de (F3), contiendra le cercle d'intersection de (S;t) et de (S4), Les deux focales (Foj, (F3 j rencontrent, l'une et l'autre, le cercle d'intersection de (83) et de (S3). Sur ce cercle, les quatre sommets de l'une seront les fojers de l'aulre.

Cela posé, considérons successivement les trois familles de notre système orthogonal, et d'abord les surfaces de paramètre p. Quand 0 est très voisin de «, , la coordonnée Xt est infiniment petite. Les deux nappes de la cyclide séparées par (S,) sont très voisines de cette sphère, qu'elles viennent recouvrir, l'une et l'autre, dans sa totalité, quand p tend vers «,.

Si 0 tend xersa-,, x-, diminue indéfiniment, et la cjclide vientse confondre avec (So); mais elle ne la recouvre pas dans sa totalité. La nappe de la cyclide qui est à l'intérieur de (S,) ne peut venir s'appliquer que sur une région qui est à l'intérieur du cercle d'intersection de (S,) et de (S:>); de même la nappe qui est à l'extérieur -de (S,) ne peut venir s'appliquer (|ue sur une région à l'extérieur de ce cercle. Donc, la cyclide de paramètre p vient se confondre avec les deux régions séparées que nous avons appelées l'intérieur de (F,).

Pour la raison de symétrie invoquée tout à l'heure, les surfaces de paramètre p;> se composent de deux parties, inverses par rapport à (S,), qui, après avoir recouvert (S,), viennent s'appliquer sur les deux régions séparées que nous avons appelées l'intérieur de (F:,).

Il nous reste à examiner la famille intermédiaire, composée des surfaces de paramètre p,. Nous savons déjà que ces surfaces se composent dune seule nappe. [*our p,, très voisin de a.2, cette nappe est très voisine de (So) <l, couime elle coupe le cercle d'interseclionde (S)) et de (S2), on voit qu'elle entoure en quelque sorte la région que nous avons appelée l'extérieur de (Fj); puis, quand pa tend vers «;,, elle vient s'appliquer sur la région de (S;t) que nous avons appelée l'extérieur de (F3). Celte famille joué le

470 l-IVRK V. — CHAPITRE VI.

même rôle que les hjperboloïdes à une nappe dans le syslème de> quadrlques hoinofoeales.

Pour bien nous rendre compte de la disposilion des trois familles, supposons qu'on ait. par une inversion, réduit les trois sphères(Si), (S2),(S4) à des plans et que, en effectuant au besoin une substitution linéaire, on fasse «5 =: oc. F^'équation du système deviendra

fïi — X ai — A avec les conditions

Alors les deux locales seront composées, la première (F;,) de? deux branches de la courbe plane ayant pour équations

la seconde (F^j, des deux branches de la conique sphérique ayant pour équations

du

ai — aj a-y — a^ «4 — a;.

disposées comme le montre la figure ai).

I^es cyclidesde la première famille, composées de deux portions

SYSTÈMK TRIPI-E ORTHOGONAL FORMK DE TROIS FAMILLES DK CVCLIDES. /(7I

séparées par le plan des zy et symélriques par rapport à ce plan, seront d'abord appliquées sur ce plan dans toute son étendue et viendront se rabattre à l'intérieur des deux branches de la locale plane.

La seconde famille sera composée de cyclides à une seule nappe, recouvrant d'aboi d la partie du plan des xz qui est à l'extérieur de la focale plane, puis venant s'appliquer sur la portion de la sphère qui comprend le g-i\nid cercle >ilué dans le plan des xy et qui est placée entre les deux branches de la (ionique sphérique.

F^nfin, la troisième famille se composera de cyclides à deux nappes, (jui commenceront par recouvrir la sphère à l'intérieur de la conique sphérique et viendront ensuite s'appliquer sur le plan des a"jK dans toute son étendue.

D'après cela, les cyclides de la première et de la troisième famille couperont l'une des focales en huit points, qui seront des ombilics réels. Au contraire, les surfaces de la deuxième famille ne couperont au(;une des focales et n'auront pas d'ombilic réel; ce qui les rapproche encore de la famille des hyperboloides à une nappe homofocaux.

Ajoutons cette remarque, (jui s'appliquera aussi au cas suivant. [jC plan de l'infini devant être assimilé à un point réel de coordonnées ./;<= —, il y aura, dans chacune des trois familles orthogonales une cvclide, eL aneseale^ qui sera du troisième degré. L'équation i|(ii détermine ces cyclides particidières est

305. M nous reste à faire la discussion pour le cas où deux des sphères coordonnées sont imaginaires conjuguées. Nous connaissons déjà les limites du paramètre pour chatpie famille. Nous savons que p est compris entre a) et «j, que p, doit se trouver entre a^ et «3, que p., enfin est hors de l'inteivalle a, n^. Mais la possibilité d'effectiier sur«,, a.,, «:,, X une même substitution linéaire nous montre qu'en réalité // ny a lieu de faire aucune distinction ^géométrique entre les trois familles. Une substitution linéaire les ramènerait sans peine l'une à l'autre. Celte remanjue éclairera la discussion.

47'^ LIVRH V. — CHAPITRE VI.

Remarquons d'abord qu'il y aura ici trois focales réelles (F,), (F^), (F-j), au lieu de deux. Mais en revanche, elles se composent d'une seule branche.

Faisons, par exemple.

Pi = ?2= «3>

nous aurons

(.3) or, = (a,-a,)^/^^, .r,= (a,- a-,) ^J^Ill, ^3 = 0;

Xi et ./ ;, pourront s'annuler puisque p varie de a, à tij. Quant à x,, .z's, ils devront être imaginaires conjugués pour les points réels. Donc le signe de l'un des radicaux x.-,, x^ déterminera celui de l'autre. Ainsi, chaque focale se composera d'une seule branche.

On peut faire une inversion de telle manière que les splières(S,), (S^), (S») deviennent des plans, et alors l'équation des cjclides homofocales prendra la forme suivante :

( 37* -f- jK- + -z- — hP'if jx"-^ y"--^ z--+- li-i)"^

oii il faut supposer a, et «5 imaginaires conjuguées.

Par une substitution linéaire réelle, on peut toujours amener «4 et «s à être respectivement égaux à + / et à — i; et l'équation précédente peut s'écrire

/i2 X — «1 X — Ui -^ X — aj

Si l'on pose (.6) A2 Ltilifi == A, ,r-'-±^^^ = H, A.ilt^^^c,

es équations des trois focales sercmt

/ X = o, (y- -\- z^ )- — h'* — i.Cy--<r T-Yi z-= o,

(17) y = o, (x^-+- z^f— h^—i\ 3^-h-iCx*' = o,

[ z = o, (a7*-T-j^*)*— A^ — -iïix--^- ■2\y-= o,

où Ton aura

AB -H AG H- BC = h\

SYSTÈMK TRIPLE ORTHOGONAL FORMÉ DE TROIS FAMILLIiS DE CVCLIDES. 47^

Cette dernière relalion résulte immédiatement de ce fait que si l'on pose

(18) ai=:lani;ai, rtî=tanga2. «s^tangas,

on a

(19) X = /i-co[(:t3 — X.,), B = /j*cot(ai — a^). C = h- col{7.i — a,).

On [)eul toujours supposer que l'on a

ce qui permet de reconnaître (|ue les focales sont enchevêtrées comme le montre la fij^ure 26, où nous avons représenté un quadrant de chacune d'elles.

Chacune des trois familles va de l'extérieur de l'une des focales à l'intérieur de l'autre, ainsi que l'indiquent les traits pointillés. Par conséquent, les c^-clidés de chaque famille coupent l'une des

focales, et une seule, en quatre points réels, qui sont des

ombilics.

Un ras particulier mc-rite d'être signale. (Test relui où

l'on H

\lors, les trois locales deviennent égales. Ce sont des ellij)ses de Gassini pour lesquelles la tangente au sommet de la courbe qui ne se trouve pas sur l'axe focal coupe cette courbe en (|uatre points eonséculifs. I^es trois familles de cyclides orthogonales deviennent identiques ; elles se déduiront Tune de l'autre par tout mouvement de rotation (|ui superposera à lui-même le trièdre Oûcyz en amenant chacune de ses arêtes sur une arête difterente.

30(). Nous avons vu plus haut (n" 288) que toute cyclide admet cinq séries doubles de sections circulaires, de telle manière que les cercles appartenant à une série double soient normaux à une des cinq sphères directrices. Si nous associons à la sphère {S/t) la déférente (Qa), toutes les sphères (|ui auront leurs centres sur (Q^) et couperont (S/^) à angle droit détermineront dans la cyclide deux sections circulaires, normales à (S^). Si le centre de la sphère s'éloigne à l'infini, elle se transforme en un plan passant par le centre de (S^). Ou peut donc dire (jue les cercles appartenant à une même série double ont leurs plans qui enveloppent un cône (C/s) ayant pour sommet le centre de (SA^)et polaire réciproque de la section de la déférente par le plan de l'infini. Nous avons déjà remarqué (n" '269) (pie les cônes (G/t) sont homocjcliques et qu'ils contiennent les quatre points où se raccordent, le long du cercle de l'infini, les deux nappes de la cyclide qui passent par ce cercle.

Pour obtenir sous une forme simple les équations des sections circulaires, on procédera comme il suit. Ecrivons l'équation des cyclides homofocales

et profitons de la relation identique entre les coordonnées pour éliminer l'une d'elles, par exemple X/,. Nous aurons

"iri {ai— akjxj (20) 7 7^ T-rr = "•

SYSTÈMK TRIPLE ORTHOGONAI, FORMK DK TROIS KAMII.LES I)i: CVCLIDES. iyJ

Posons, d'une inanirre générale,

rt( — «A

(■/i) afk =

et remarquons dès à présent que le symbole (7,/, donne naissance aux idenlilés

[j'ëqualion (20) prendra la i'ornie

Supposons, par exemple, A' = i . Nous pourrons récrire romine

il suit :

a] 2 :rl — rt| , ar'z = «? , :rr — «j - ^|.

(>elle ('quiilioii peut être reiuplac*'-»' p;ir le système des deux suivantes :

( «i-)^.2 — '■'ai.r-; -■jLiaii.Ti — ai>iX^) = (},

I fl( «1237.2 -+- a3i./:j) — «4 1 -ï^i -|- "^J 5 -''ô = <>i

ou par le suivant :

/ •/{ (I f.,.T.,-+- aji-r,-, ) H- «•, j.?*! — «15 ^"5 = o. Ca's deux systèmes, lorstiiron v l'esarde a et v comnic <l<;> cons-

tantes, représentent des cercles appartenant ;'i In siiiface ; et, comme les éipiations ne coniK.'nneni pas j:^', , ces cercles sont ceux qui sont ortli()<;onaii\ ù la sphère (S,). Deuv cercles appartenant au inême système (a.'i j ou i j j i ne se coupent pas ; mais les cercles appartenant à deux systèmes difli-rcnts se coupent en deux points et sont sur une même sphère. Par exemple, les deux cercles représentés respecti\eineiit par les é(piations (a.H), (24) "^ont sur la sphère définie [)ar lécpiation

-7- V ( a n 3"j -H nf I r, -r,-, ) -+- uv C a , , :r., ; a-n j-.i ) = o .

307. Utilisons cellr ih'tcrmination pour chercher coujbien il y a, dans chaque cas, de x'-ries réelles de sections circulaires.

47^ MVRE V. — CHAPITRE VI.

La méthode que nous allons suivre est, exactement celle par laquelle on déterminerait les génératrices rectilignes de la quadrique définie par l'équation

(25) ^aha;f = o,

où les Xi seraient regardées comme des coordonnées tétraédriques ordinaires. Nous commencerons par envisager le cas où quatre des sphères (S/) sont réelles. Alors, pour tout point réel de la cjclide, .r,, j?,, ^3, ^i-, par exemple, seront réelles, et Xg sera une imaginaire pure, que l'on pourra remplacer par iy-^. A tout point réel de la cjclide correspondra un point réel de la quadrique (20). Et, par conséquent, à toute nappe réelle de la cjclide, correspondra certainement toute une région réelle de la quadrique (25).

D'après cela, si un cercle de la cjclide orthogonal à (S>t) est réel, comme il ne peut élre représenté que par deux équations où Xf( ne figurera pas et qui seront linéaires par rapport aux quatre autres coordonnées :r/, il correspondra certainement à une génératrice réelle de la quadrlcpie (25). Et, réciproquement, si cette quadrique est réglée, on pourra mener les deux génératrices rectilignt's qui passent par l'un quelconque M des points réels de cette surface qui correspondent à des points réels de la cjclide. A ces deux génératrices rectilignes correspondront deux cercles réels de la cjclide. orthogonaux à (Sa) et passant par le point M' qui correspond à M. Ainsi, pour savoir si l'une quelconque des séries doubles de cercles est réelle, il suffira d'examiner si la quadriqtie cori'espondanle (25) est réglée.

Pour qtje cette quadrique soit réglée, il faudra évidemment que son Hessien soit positif (n" 203), c'esl-à-dire que l'on ail, pour /i= 5,

(v.6) ''si ^lî^Iî^!» ^ f>,

et pour A^ ^ 5,

(^•7) «Il «1-2 ...«/■;•, <o.

parce (|ue, dans celte dernière hypothèse, x^ reste dans l'équatiou et doit être traitée comme une imaginaire pure.

1^'inégalité (2.6) peut aussi s'écrire

et chacune des inégalités (i^ty) devient

Désignons par /'""^ série celle qui est formée de tous les cercles normaux à (S,). En tenant compte des inégalités déjà rtablies

on verra aisément que les conditions de réalité des diverses séries s'expriment par les inégalités

X — r/, X — a-, X — a-i "a — fti X — «5

7iTr<'" 7âf>°' 7Tx7<°' 7Û7>''' 7ây>°'

la i'""" de ces inégalités s'appliquant à la «"""' série.

D'après cela, on peut former le Tableau suivant qui s'applique aux trois familles de cyclides homofocales :

Sections Famille I. Famille II. Famille III.

circulaires. a.j<X<ar|. a^<C'^ <.a^. a^ < X < 03.

("série imaginaire réelle imaginaire

>/ série imaginaire imaginaire réelle

3' série , réelle imaginaiie imaginaire

r série imaginaire réelle imaginaire

5* série imaginaire réelle imaginaire

On voit que les cyclides à deux nappes, celles de la première et de la troisième famille, admettent une seule série double de seclions circidaires réelles, normales respectivement à (S^ j et à (Sa ). (^uanl aux cyclides à une seide nappe, elles ont trois séries doubles do sections circulaires réelles.

Ainsi, par un point d'une cjciide à deux nappes, passent seulement deux cercles qui se coupent en un autre point. Au contraire, par un point d'une cvclide à une seule nappe, passent six cercles, dont chacun est coupé par l'un des cinq autres en un second point et n'a, avec les quatn; qui restent, aucun autre point commun.

Remarquons que, si l'on envisage la série entière des cyclides

478 LIVBB V. — OHAPITaE VI.

homofocales, elle n'offre qu'une seule série de sections circulaires réelles orthogonales à chaque sphère directrice.

308. Nous avons laissé de côté, dans ce qui précède, le cas où deux des sphères coordonnées sont imaginaires conjuguées. Alors, il ne peut être question que de trois séries de sections circulaires, normales respectivement aux trois sphères réelles (Sj), (Sj), (S3). Il faudra appliquer la méthode précédente en remplaçant 374, x^ par des quantités imaginaires conjuguées j'i + «ya, jk» — fjKa. Si nous adoptons les inégalités

du n" 302, nous serons conduits au Tableau suivant ;

Famille I. Famille II. Famille III.

1" série imaginaire réelle imaginaire

•i" série imaginaire imaginaire réelle

3* série réelle imaginaire imaginaire

Ce résultat confirme bien ce que nous avons dit de la similitude du rôle des trois familles orthogonales. Il n'y a, sur chaque surface, qu'une seule série de seclions circulaires réelles. Mais il est évident que les séries formées des cercles orthogonaux aux sphères imaginaires (84) (S5) sont imaginaires conjuguées (').

309. C'est ici le lieu de faire une application nouvelle d'une méthode, dont nous avons déjà dit quelques mots aux n°* il6 et 117. Les propriétés des sections circulaires de la cjclide permettent de représenter cette surface sur le plan. En conservant

(') Dans un Mémoire sur le contact des courbes et des surfaces inséré en 1880 au Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. IV, p. 848, l'Auteur a établi les théorèmes suivants :

Si, en un point simple d une sur/ace, il passe plus de dix cercles coupant la sur/ace en cinq points consécutifs réunis en ce point, ce point simple est un ombilic.

Il n'existe pas de surface admettant plus de dix séries de sections circulaires.

Si une surface admet dix séries de sections circulaires, c'est une cyclide.

SYSTÈME TRIPLE ORTHOGONAL FORMÉ DE TliOIS FAMILLES DE CVCLIDES. 479

toutes les notations précédentes, envisageons les deux systèmes

et

/ [J.i Uti-r^ • (l3,X:i) -h «41^4-+- «16 3^5 =0

\ an Xi — ai,iX>, -h i-t' { a^xi — ast^s^^o, / !Ji'(a34ar3-+- rti2-^'î) -+- «4i^! -t- «si^", = o,

qui représentent, liin et l'autre, un cercle variable de la surface. Ces deux cercles, qui sont orthogonaux à deux sphères différentes, se coupent en un seul point; car si l'on associe leurs équations, elles déterminent les rapports mutuels des cinq coordonnées xi. On Irouve ainsi, p désignant un facteur de proportionnalité,

r par-j— 2<^/3ja54 {i.'(i -+- fJi- ) -t- ^aigasv fji ("i — fji'-) — P ((ji, jji'),

Cio)) 0x3— 2ai5a42 |JL (r -+- [Jl'2) +- aasta,., ix'^i — jx^) = Q((ji, jz'),

( ,oa75 = a,2«34(« — ÎJt^)(' - a'*) — a:ij«42(i - f^-)(i ^H-'^'i^ R(fx,,fji') el

j ?a41-^'l = — «42 [^' f (f^, 1^ j — «a4 p'Q(fA, [a'; — «54 H(fi.. </),

I pav,.r4 = — a, 2 jjl P(|x. jx') — a», ;x Q([x, [x') — a,-, R(îx, {jl').

Ces formules, qui donnent, pour les rapports mutuels des coordonnées Xi^ des fonctions rationnelles de p. et de jji', réalisent bien ce que nous avons appelé la représentation de la cyclide sur le plan. Les coordonnées cartésiennes d'un point de la surface seraient des fonctions rationnelles de (jl, jjl', el il résulte de la méthode que nous avons suivie que, si l'on considère [x, |x' comme les coordonnées d'un point dans le plan, à tout point de la c yclide correspond un seul point du plan, et à tout point du plan correspond généralement un seul point de la cyclide.

Il résulte des formules (3o) et (3>) que toute fonction linéaire des Xi (multipliée par p) sera de la forme

(i-i) A tji*u'*-t- [jl;x'(B jx -l-- G^i.') + ipîfjji, |x' ).

A, B, C désignant des constantes et ©2 une fonction du second degré de jx et de [x'.

En d'autres termes, les sections de la cyclide par une sphère quelcoiHjue sont représentées sur le plan par des courbes du quatrième ordre, (|ue l'on obtiendra on égalant à zéro des polynômes de la forme (32), c'est-à-dire par des courbes du quatrième ordre

48o LIVRE V. — CHAPITRE VI.

ayant deux points doubles à l'infîni dans la direction des axes coordonnés. Nous allons voir de plus que ces courbes passent, par quatre points fixes du plan situés à distance finie.

Les cinq coordonnées xi sont, en effet, des fonctions linéaires des polynômes P([j., |jl'), Q(jJt, (jl'), R([ji., jx'), et ces polynômes sont les trois déterminants qu'on peut former avec la matrice

«12(1— H-') — «3l(l -T- I-t^) — 2rtis;JL

- «42(1 -4- ti.'2) «3^(1 ,j,.'2) — aasvjji'

Ils s'annulent donc pour le système de valeurs détermirjé par les équations

«12(1— \iP') g.jiÇi ■-<- f^^) __ «15.'^ «42(1-+- f^'*) "" «34(1— !J>-"^) ~ «34 f''

Si l'on tient compte des identités (22), on résoudra aisément les équations précédentes, et les valeurs de [x, jji' seront données par les formules

/50, £«2S<Ï34 — £'«42«53 , e'^i^a;;;) Za<i^^a^x

\ii) fx , [i. = ,

OÙ £, s' désignent l'unité, prise avec le signe + ou le signe — . // y a donc bien quatre points communs aux courbes planes qui représentent les sections sphériques des cyclides.

310. Nous ne poursuivrons pas dans le détail cette étude de la représentation plane des cyclides, nous nous contenterons de renvoyer le lecteur à deux Notes publiées par l'Auteur en 191 5 dans les Comptes rendus (t. 160, avril et mai igiS, p. 53i et 675); mais nous ferons remarquer que les calculs précédents mettent en évidence un fait qu'il importe de signaler.

Deux géomètres, A. Clebsch et L. Cremona, ont tiré grand parti, pour l'étude de plusieurs surfaces, de leur représentation plane, quand cette représentation a pu être obtenue. On dit alors que la surface e?,l rationnelle ou unicursale. Nous avons reconnu à diverses reprises que les quadriques sont unicursales; il en est de même des cyclides, nous venons de le démontrer. L'emploi de l'homographie (n**263) nous perniet donc d'étendre ce résultat à la surface cubique la plus générale et à la surface du quatrième ordre à conique double, qui, elles aussi^ serontdes surfaces unicursales.

Mais si l'usage de la représentation plane permet d'étudier, avec succès, certaines propositions générales, il donne lieu à de réelles difficultés, lorsqu'il s'agit de représenter sur le plan une surface qui se compose de plusieurs nappes. Dans ce cas, la représentation ne saurait être réelle. Car, si elle l'était, on pourrait réunir deux points réels quelconques de la surface par une infinité de chemins réels tracés sur la surface, ce qui est impossible lorsque la surface ne se réduit pas à une nappe unique et lorsque l'on choisit les deux points à réunir sur deux nappes distinctes.

Ainsi, les représentations planes que nous venons d'obtenir pour les cyclides ne seront réelles dans aucun cas, si l'on considère des cjclides à deux nappes. On pourra, au contraire, les obtenir réelles si la cjclide se réduit à une seule nappe. En ellet, dans le cas où quatre des sphères orthogonales sont réelles, nous avons vu que toute cyclide à une nappe contient trois séries de sections circulaires réelles. On choisira arbitrairement deux d'entre elles; les valeurs correspondantes de jj., yJ seront réelles et la représentation sera ainsi obtenue.

Si, au contraire, deu^ des cinq sphères orthogonales sont imaginaires conjuguées, il y aura deux séries de sections circulaires qui seront imaginaires conjuguées. Si on les choisit pour appliquer la méthode, il faudra donner à tj. et à jjl' des valeurs imaginaires conjuguées; de sorte que les formules (3o), (3i) donneront une représentation réelle lorsque l'on y effectuera la substitution

V et v' étant réelles.