CHAPITRE YIII

Les coniques et les divisions homo graphiques io5

Du rapport anliarmonique dans la théorie des sections coniques. — Les coniques sont des courbes unicursales. — Relations entre leurs divers modes de représentation. — Intersection des coniques et des courbes de degré supérieur. — Théorème de Paul Serret. — Le rapport anharmonique des droites qui joignent un point variable d'une conique à quatre points fixes de cette courbe est constant. — Réciproque. — Théorèmes corrélatifs. — Définitions diverses du rapport anharmonique de quatre points pris sur une conique. — Faisceaux et divisions homoijraphiques. — Théorème fondamental sur le lieu du point d'intersection de deux rayons homologues ou sur l'enveloppe de la droite qui joint deux points homologues. — Théorème de Pascal. — Théorèmes de JNewlon et de Maclaurin. — Démonstration nouvelle du théorème de Pascal. — Théorèmes de Desargues et de Sturm. — Premières notions sur l'involution. — Différentes manières de la définir. — Application du théorème de Desargues à la construction d'une conique déterminée par cinq points. — Les divisions homographiques sur une conique. — Comment elles conduisent à des solutions élégantes pour les principaux problèmes relatifs aux divisions et aux faisceaux homographiques. — Etude du problème dans lequel il s'agit de construire un pol} gone dont les sommets soient sur une conique donnée et dont les côtés passent par des points donnés ou soient tangents à des coniques inscrites dans la proposée. — Applications nouvelles du théorème de Paul Serret. — Si deux triangles jouissent de l'une des propriétés suivantes : être conjugués pur rapport à une conique, être circonscrits ou inscrits à une même conique, ils possèdent les deux autres. — Corollaires. — On ne peut, en général, inscrire à une conique un triangle circonscrit à une autre conique, et quand le problème est possible, il a une inflnité de solutions. — Conditions de possibilité dans le cas de deux cercles. — Étant données deux coniques, il existe en général quatre coniques par rapport auxquelles elles sont polaires réciproques l'une de l'autre.