CHAPITRE I

INTRODUCTION

Le but de ces Leçons est l'exposé des principes sur lesquels reposent les découvertes quon doit à Monge et à son école. - Étude du rôle que jouent l'imaginaire et l'infin, dans les recherches géométriques modernes. - On peut employer deux méthodes; l'une, se rattachant aux coordonnées de Descartes, est celle qui sera su.v.e dans cet Ouvrage; l'autre, imaginée par Michel Chasles et complétée par von Staudt, ne parait pas avoir prévalu.

Caractère propre des méthodes de TAnalyse et de la Géométrie moderne - Emploi d un pet.t nombre de principes généraux doù découlent les conséquences particulières. Défauts de la Géométrie des Anciens.

Les premiers pas dans la vo,e moderne ont été faits par Desargues, les suivants sont en quelque sorte le résultat d'une nécessité logique. - Exemple emprunté a 1 étude du développement de l'Algèbre.

Géométrie. - Le principe de continuité de Poncelet. Controverse avec Cauchy - Introduct.on de l'imaginaire et de l'infini en Géométrie analytique. - Notions élémentaires sur les plans et les droites imaginaires. - Examen de l'objection qui a ete faite par von Staudt à l'emploi des coordonnées pour définir les points imagmaires. ^

I. Le sujet f|ue j'ai rintenlion d'aborder dans le Cours de celle année esl certamemenl un des plus inléressants de Ja Géométrie moderne. Je me propose d'exposer les principes sur lesquels reposent les découvertes géométriques qu'on doit à Monge et à son école. Cette étude des principes a un grand intérêt philoso-

phique; elle est trop négligée aujourd'hui. Et ce n'est pas sans injustice qu'on l'abandonne aux classes élémentaires, où elle ne peut être traitée avec l'ampleur qu'elle comporte, qu'elle mérile et que je serai libre de lui donner ici.

L'imaginaire et l'infini jouent aujourd'hui, dans toutes les recherches géométriques, un rôle important et quelquefois mal interprété; je vais donc commencer en rappelant comment on peut appuyer sur des bases solides l'emploi qu'on fail, dans hi Géométrie moderne, de ces éléments, imaginaires ou rejetés à l'infini, inconnus à la Géométrie des Anciens.

2. En ce qui concerne les imaginaires, on peut suivre deux méthodes différentes : l'une, que j'exposerai d'une manière détaillée, est exclusivement analytique et re|)Ose sur l'emploi des coordonnées de Descartes. L'autre, au contraire, due à Chasles, exposée par cet illustre Maître dans la Géométrie supérieure, et complétée ensuite par un géomètre allemand, von Staudt, repose sur des considérations de pure géométrie. Chasles a montré d'abord, dans son Traité de Géométrie supérieure, comment on peut définir et introduire les éléments imaginaires en associant à chacun d'eux l'élément imaginaire conjugué et définissant ensuite l'ensemble de ces deux éléments par des fonctions symétriques, nécessairement réelles, de ces deux éléments. C'est ainsi qu'étant donnés deux points imaginaires conjugués sur une droite, nécessairement réelle, on peut les définir par l'intersection de cette droite et d'un cercle réel, ce qui fait connaître à la fois leur point milieu et le produit de leurs distances à un point quelconque de la droite, ou même de l'espace. Mais on voit que, dans cette méthode, deux points imaginaires conjugués ne sont pas séparés. Gela n'a pas d'inconvénients dans beaucoup d'applications où ces éléments entrent d'une manière symétrique. Cependant le rapport anharmonique de quatre points imaginaires sur une droite ne peut être ainsi défini. Supposons, |)Our fixer les idées, que, dans le courant d'une démonstration, on ait à considérer le rapport anharmonique de quatre points. Il peut se faire que, suivant les positions respectives des parties, ces quatre points soient tantôt réels, tantôt imaginaires; il faudrait donc distinguer les différents cas, faire pour chacun d'eux des démonstrations différentes, ou se

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priver de l'emploi, si commode quelquefois, du rapport anharmonique.

3. Dans ses Beitrage zur Géométrie der Lage, parus en iSSf)- 1860, von Staudt a fait disparaître la difficulté que nous signalons ICI et, par une extension donnée à la méthode de Chasies, il est parvenu à définir géométriquement chaque élément imaginaire et à le distinguer de l'élément imaginaire conjugué. Celte extension, bien que rigoureuse, est très pénible et très abstraite. On peut la définir en substance comme il suit : deux points imaginaires conjugués peuvent toujours être considérés comme les points doubles d'une involution sur une droite réelle et, de même qu'on passe d'une imaginaire à sa conjuguée par le changement de len — i, de même on distinguera les deux points imaginaires sur la droite en faisant correspondre chacun d'eux à l'un des deux sens différents qu'on peut attribuera la droite. 11 y a là quelque chose d'artificiel; le développement de la théorie est nécessairement un peu compliqué. Aussi cette méthode de von Staudt n'a pu réussir à prévaloir. Il semble que, pour l'introduction et l'interprétation des imaginaires, il vaut mieux s'en tenir à la méthode analytique qui repose sur l'emploi des coordonnées rectihgnes. Nous nous bornerons donc exclusivement à ce mode d'exposition et nous développerons, en les précisant et en les rattachant à leur véritable origine, les notions analytiques qui se rapportent à ce sujet.

^ 4. Le caractère propre des méthodes de l'Analyse et de la Géométrie modernes consiste dans l'emploi d'un petit nombre de principes généraux, indépendants de la situation respective des différentes parties ou des valeurs relatives des différents symboleset les conséquences sont d'aulant plus étendues que les principes eux-mêmes ont plus de généralité. Les Anciens ne s'étaient pas élevés à cette conception; toutes les fois, par exemple, que, dans une figure, deux droites auxiliaires étaient, tantôt parallèles, tantôt concourantes, ils donnaient des démonstrations distinctes pour chaque cas. Si, dans une figure, se présentaient une droite et un cercle, .1 pouvait se faire que la démonstration dut considérer successivement, et séparément, les trois cas où la droite était

sécante, tangente, ou non sécante, du cercle. Les démonstrations étant toujours faites sur une figure déterminée, toutes les fois que les rapports de situation venaient à changer, il y avait lieu aussi de recommencer la démonstration. Cela explique comment des Traités entiers ont élé consacrés à des problèmes célèbres, qui se trouvent résolus en quelques lignes, soit dans la Géométrie de Descaries, soit dans la Géométrie supérieure. J'ajoute que les énoncés des propositions elles-mêmes devaient êlre multipliés de la même manière; et, bien que les démonstrations fussent tout à fait semblables pour tous ces cas particuliers, la nécessité de faire une foule de distinctions, de considérer tant de cas, de faire tant de divisions, aurait toujours arrêté les progrès de la Géométrie et l'aurait empêchée de s'élever beaucoup au-dessus des Eléments.

5. C'est Desargues (pii a fait le premier pas dans la voie moderne en considérant deux droites parallèles comme concourantes et en introduisant ainsi implicitement ce qu'on appelle aujourd'hui les points à V infini. Depuis, toutes les méthodes se sont perfectionnées d'une manière en quelque sorte fatale. L'esprit humain, dans ses recherches, obéit à des lois dont il ne se rend pas toujours compte. Rien n'est plus compliqué, ni plus obscur souvent, que les premières voies par lesquelles il atteint les vérités scientifiques. Les inventeurs ne procèdent |)as d'une manière didactique, ils ne se préoccupent pas d'obtenir la plus grande généralité possible; mais les problèmes qui leur ont été proposés sont devenus tellement vastes qu'une nécessité inéluctable les a conduits, sans même qu'ils s'en rendissent toujours compte d'une manière tout à fait précise, à constituer peu à peu les méthodes générales sans lesquelles la Science n"eût pu faire de grands progrès.

(3. Considérons, par exemple, l'Algèbre. 11 est aisé de reconnaître, dans l'histoire des progrès de cette science, la vérité des remarques précédentes. Viète., son véritable créateur, désigne pour la première fois les inconnues et les données par des lettres, sur lesquelles il effectue certaines opérations. Mais il ne fait pas passer dans un seul membre tous les termes d'une équation, il ne connaît pas les quantités négatives; et, dans une équation du second degré

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par exemple, il distingue autant de cas qu'il y a de combinaisons de signes pour les coefficients. Plus tard, Harriot et Descaries emploient les quantités négatives; Harriot, le premier, fait passer tous les termes dans un membre. Plus tard encore, les imaginaires s'introduisent sans qu'on puisse donner une théorie satisfaisante de ces éléments nouveaux dont s'enrichit la Science, par suite même des problèmes qu'elle rencontre successivement, et non certes en vertu d'un raisonnement a priori. Ouvrez les deux meilleurs Ouvrages d'enseignement du iviii*^ siècle, V Algèbre d'Euler et V Introduction à fanalyse des infiniment petits du même Auteur. Vous verrez^ dans le premier de ces Ouvrages, une théorie (très sommaire) des c(uantités négatives qui ne serait aujourd'hui acceptée par personne, et^ dans l'autre, une abondance mer\eilleuse de formules exactes relatives aux imaginaires ou reposant sur leur emploi. Mais ces formules, il aurait été bien difficile alors de les justifier rigoureusement, autrement que par la concordance de leurs résultats et l'intérêt des recherches auxquelles elles servaient de base. Aussi est-ce à cette époque qu'est prononcé le mot de d\4lenibert : Allez en avant et la foi vous viendra. Laplace^ après avoir établi des formules relatives aux intégrales définies où tous les éléments sont réels et supposés tels dans la démonstration, ne craint pas de les étendre au cas où quelques-uns de ces éléments deviennent imaginaires. Et, bien que son habileté merveilleuse le préserve des erreurs, il n'invoque, pour justifier cette extension, que « la généralité de l'Analyse », expression qui revient souvent dans ses Mémoires et dans ses Ouvrages. C'est à notre é[)0(pie qu'il était réservé de produire, en Géométrie et en Analyse, une théorie vraiment satisfaisante des (piantilés négatives et imaginaires, qui a permis d'introduire en Algèbre une rigueur et une pié-cision comparables à celle de la Géométrie ancienne, mais avec la généralité qui était inconnue à celle-ci.

7. La Géométrie donne lieu aux mêmes remarques. Monge d'aboid et quelques-uns de ses disciples employaient ouvertement dans leurs lecherches la méthode des coordonnées de Descaries. Poncelet au contraire, voulant constituer un corps de doctrine tout à fait indépendant, rencontra les difficultés que je viens de signaler, l'our les vaincre, ou plutôt pour les éluder, il inventa le fameux Principe de continuité, qui a donné naissance à tant de

discussions, notamment enire lui et Cauchy, et qu'on peut énoncer comme il suit : Toutes les fois que la démonstration d'une proposition a été obtenue en supposant réelles certaines parties de la figure (|ui interviennent dans la démonstration, la pro|)Osition subsiste quand ces parties disparaissent ou deviennent imaginaires, quoique la démonstration ne subsiste plus.

Ce principe est excellent et jieut rendre de grands services; mais Poncelet lui a fait du tort en ne voulant pas le présenter sous son vrai jour et en ne proclamant pas nettement qu'il est simplement une conséquence de l'Analyse. Voici comment on peut le justifier analjtiquement. Dans l'immense majorité des cas, une proposition géométrique se ramène à la vérification d'une ou de plusieurs relations rationnelles entre des quantités. Or, cette ou ces relations étant indépendantes de la réalité ou de i'imaginarité de certains éléments accessoires, il suffit de les démontrer, quand ils sont réels, pour en conclure qu'elles sont encore vraies lorsque ces éléments deviennent imaginaires.

Cauchy, d'autre part, se trompait en voulant réduire le Principe de continuité à une forte induction et en se refusant à remarquer que, dans toutes les applications de son principe, Poncelet ne considérait jamais de ces figures transcendantes auxquelles les objections de l'illustre Analyste auraient pu s'appliquer.

De ces deux grands géomètres, aucun n'avait complètement raison, il faut bien le dire, ni complètement tort. 11 est des cas, comme ceux considérés par Poncelet, où le principe était applicable et avait plus que la valeur d'une forte induction. Il en est d'autres, au contraire, où il aurait pu conduire à des cireurs (' ).

(') Pour préciser, par un exemple, la nature du difTérend enlre Caucli}' et Poncelet, supposons que, dans une question de Géométrie, on ait montré que la relation entre deux éléments réels x, x' est telle qu'à une valeur de l'un de ces éléments correspond une seule valeur de l'autre. Si, par la nature de la question on sait que cette relation est algébrique, on pourra conclure qu'elle est de la forme

h.xx' + Ba; 4- Cx' + D = o

où A, B, G, D sont des constantes. Mais si l'on ne sait pas que la relation est algébrique, on pourra imaginer une foule d'autres formes de la relation; par exemple

. où tp désigne une fonction qui croît de — co à -f- x lorsque x croit de la même manière. Ainsi on pourrait prendre

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8. Après ces remarques historiques, j'arrive à mon sujet, et je me propose de montrer comment l'application de cette loi que je viens de signaler, à savoir que les méthodes scientifiques ont une tendance naturelle à ne prendre pour appui que des propositions absolument générales, indépendantes, et de la grandeur des éléments, et de la situation relative des parties, a conduit par une voie inéluctable à toutes nos conventions de l'Analyse et de la Géométrie modernes, à l'introduction successive des quantités négatives, des quantités imaginaires, des points à l'infini, des points imaginaires à distance finie ou à distance infinie.

Je passe rapidement sur la théorie des quantités négatives. On sait que, si Ton se refusait à les introduire, cette proposition fondamentale de l'Algèbre qu'on applique à chaque instant dans les calculs, à savoir que, dans une somme algébrique, on peut intervertir Tordre des parties, verrait son emploi soumis à un foule de restrictions, dépendantes de la grandeur et de la place des termes de la somme, et qu'elle conduirait, par suite, à une foule de distinctions et de subdivisions, de manière à rendre fastidieuses les recherches les plus élémentaires. C'est par des considérations analogues que se justifie l'emploi et l'introduction des imaginaires en Algèbre. Si l'on envisage, par exem|)le, les équations du second degré, les unes ont deux racines, les autres une seule, d'autres pas du tout. On réunit tous les cas en disant que ces équations ont deux racines, réelles et distinctes, réelles et égales, ou bien imaginaires. On sait d'ailleurs quelle importance prennent les imaginaires dans l'étude de l'Algèbre supérieure, et je n'y reviendrai [pas ici.

9. Mais il y a une autre convention, ou plutôt un artifice tout ;à l'ail moderne, dont la portée et l'utilité ne sont pas aussi bien

appréciées. Je veux parler de l'emploi des quantités homogènes. Je

suis loin de le mettre sur le même rang que l'emploi des nombres

n(''galif's ou imaginaires; mais il se justifie par les mêmes

^raisons et tend, comme les conv(;ntions précédentes, à donner plus

^de précision et de généralités Finstrument analytique. Justifions

|cetle remarque par quelques exemples des plus simples.

Supposons qu'un problème ait conduit à une équation du second |degré