CHAPITRE I

OÙ A, B, C sont des fonctions des données. Cette équation aura généralement deux racines. AJais si les données, en variant, prennent des valeurs telles que A. devienne nulle, l'équation précédente s'abaissera au premier degré et n'aura plus qu'une racine. Si l'on considère le nouveau problème comuie un cas particulier du précédent, on remarquera que, dans le passage au cas particulier, une des racines de l'équation du second degré est devenue infinie. En résulte-t-il que, si l'on considère une équation du premier degré

on puisse toujours dire qu'elle a une racine infinie? Évidemment non. Cela n'arrive que si elle se présente dans un problème comme cas particulier d'une équation du second degré. On voit qu'il y a là une question dont l'appréciation |)eul être délicate et qui, dans tous les cas, exige, pour certains problèmes où la valeur infinie de X serait acceptable, une discussion spéciale.

Par l'emploi des homogènes, cette difficulté se trouve entièrement levée. Remplaçons .r par -• L'équation devient

A ^2 ( B xz 4- G ^■- = o

et si A est nul, elle se réduit à

zi'Qx^Q.z) = o.

Elle reste toujours du second degré et entièrement différente du poljnome

Toujours elle admet pour— ou - deux svstèmes de solutions. Il

restera à voir si chacun donne une réponse satisfaisante; mais le fait essentiel est (\vi aucune racine ne se perd.

Les avantages algébriques de l'emploi des homogènes apparaîtront mieux dans l'élude de la question suivante : chercher les solutions du système

ax ■+■ by -1- c ^= o,

dont l'interprétation géométrique est la suivante : Trouver les

INTRODUCTION

points d'iiiterseclioxi d'une droite et d'une courbe. Si m est le degré de la seconde équation, on est conduit généralement à 771 systèmes de solutions, réels ou imaginaires, distincts ou confondus. Mais il peut arriver que ce nombre soit diminué, ou même réduit à zéro, comme cela a lieu pour les systèmes

x^ 4- axy -h bx -h y -\- d := o, xy — 2 = 0.

On considère ces cas comme des limites du cas général, et l'on dit que un ou plusieurs systèmes de solutions ont été rejetés à l'infim". Mais il vaut mieux opérer comme il suit :

l^osons

et au problème proposé substituons le suivant : Trouver les rappoils mutuels de X, Y, Z satisfaisant aux deux équations

aX-t-èY + cZ = o,

/rx' Y, z) = o,

la seconde équation étant homogène et du degré m. En écartant le cas où / contiendrait aX -\~ bY + cL en facteur, on reconnaît que le problème proposé a toujours 77i solutions. Car, si l'on élimine Z par exemple, on est conduit à une équation homogène 'ordre 771 en X et Y, (|ui définit m systèmes de solutions pour le

>port Y' Si l'une de ces solutions est fournie par la formule

on aura évidemment

aX + Î^Y

cy.

lit bien 77i systèmes de solutions.

IDes conclusions analogues s'appliquent à l'étude du système

/m(''^, 7)=o, On{x,y)=^o.

Jndant ces deux équations liotnogènes et chassant le déno-

lO MVRE I. — CHAPITRE I.

minatenr Z, on obtiendra deux équations

/,„(X, Y, Z) = o, cp„(X, Y,Z) = o.

Toutes les difficultés relatives à l'infini sont levées et le théorème de Bézout peut s'énoncer ainsi : Deux équations homogènes, d'ordres m el n respectivement, admettent toujours mn systèmes de solutions à moins qu'elles n'en admettent une infinité.

11. Il importe d'insister ici sur le caractère commun de toutes les conventions précédentes. Elles perfectionnent la Science, elles font de chaque proposition un instrument d'une sûreté parfaite dans la main de celui (|ui l'emploie et, par là, elles conduisent avec une rapidité bien plus grande au but et à la solution. Mais il convient, pour en mieux faire comprendre l'importance et l'utilité, d'éclaircir une objection qu'on peut leur adresser. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de l'intersection d'une droite et d'une courbe, que ce soit là un problème final, et non une question posée en vue de la solution d'une autre question. Par exemple, dans les bureaux d'un ingénieur, on aura ramené la solution d'une question de pratique à la détermination elfective des points communs à la droite et à la courbe. Il semble que les conventions précédentes ne nous ont rien fait gagner. 11 est vrai que, si m est le degré de la courbe, nous avons m solutions, propres ou impropres. Mais si nous sommes obligés de rejeter maintenant les solutions imaginaires ou infinies, à quoi sert de les avoir introduites?

On peut répondre d'abord que nous ne sommes pas libres d'écarter toutes ces solutions. Du temps de Descartes, les racines négatives s'appelaient des rucines fausses. On aurait bien voulu les écarter; mais cela était impossible. Et d'ailleurs, en admettant que ces conventions nouvelles présentent, dans les cas tels que le précédent, des inconvénients réels, par quels avantages ne sont pas compensés ces inconvénients ! Que de questions d'Analyse où l'on emploie seulement comme intermédiaires les solutions communes à deux équations, par exemple. Et si nos conventions n'étaient pas admises, que de cas à distinguer! Toutes ces difficultés disparaissent avec les introductions et les conventions précédentes. Il est vrai f[u'une fois le rôle de l'Algèbre terminé, il j aura lieu sans doute à une discussion finale pour reconnaître,

INTRODUCTION

parmi les solutions s'il y en a plusieurs, celles qui conviennent au problème proposé. Mais cette discussion, il ne dépendrait jamais de nous de l'éviter, et elle se fera plus simplement.

1^. Après ces remarques générales relatives à l'Algèbre, arrivons maintenant à ce grand problème qui constitue la Géométrie analytique. Les inconnues qu'on choisit sont alors les coordonnées d'un ou de plusieurs points. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver l'intersection de deux courbes. Voici les principales difficultés qu'on a rencontrées.

i" Plusieurs systèmes de solutions peuvent être confondus en un seul. On dit alors que le système est multiple; l'Algèbre nous apprend les caractères distinctifs des systèmes d'un ordre de multiplicité donné. Il n'y a rien à ajouter en Géométrie analytique. •On drra simplement que plusieurs points d'intersection, en nombre égal au degré de multiplicité du système, sont venus se réunir en un seul.

2" Les valeurs de x et de y peuvent être imaginaires. Nous dirons que ces valeurs définissent un point imaginaire, point qui est conçu, qu'on pourrait appeler idéal, d'après une dénomination due à Poncelet. Cetle convention est bien connue.

3" il reste la difficulté relative aux solutions infinies. Supposons qu'on ait obtenu la solution délinie par le système

abc d'où l'on déduit

.Si c devient nul on aura

il M y a plus de système de valeurs pour x et pour y; mais nous dirons que le svstème précédent représente un point à

I infini dans la direction de coefficient anmdaire -• Ce point

sera imaginaire si - 1 est.

(>cllc délinilion est absolument pareille à celle du point imagi-