X- + ;jl' -+■ V- -+- 0- = o

100 LIVRE 1. — CHAPlTtlE Vil.

qui est inadmissible el donnerait à tous les cosinus des valeurs infinies. Il ne nous reste donc que les solutions ("ournies par le premier des groupes (17). La première équation de ce groupe correspond, nous l'avons remarqué, à la solution du problème qui nous a servi de point de départ. Les autres s'obtiennent en prenant des symétries par rapport aux axes coordonnés, c'est-à-dire eu changeant le signe de deux des coordonnées x, y, z. Leur existence pouvait donc être prévue.

Mais alors, il nous reste à résoudre le problème suivant : Gomment éliminer, paruii les solutions du système (to), celles qui ne conviennent pas au problème proposé? On peut effectuer cette élimination en remarquant que la relation

>2-+- IJl2-f- v2-f- p2= O

est invariante quand on fait un changement d'axes et, par conséquent, que les solutions à éliminer seront celles qui satisferont à celte relation.

Nous opérerons comme il suit. Résolvons les équations (i5) par rapport à a, b^ c. Si nous éliminons 6 et c, par exemple, nous serons conduits à la relation

X [a, [JLv(p2-t- Xî) — 6iX[jt(p2— ;j.2) — CjX|ji(p2— v2) — 2aX|Jivp] = o.

Les solutions propres du problème devront donc satisfaire à l'équation

(19) a,|Jlv(p2+X2)-èiXv(p''— iJL2)-CiX(JL(p2-v2) — '2aX[JLVp = 0

et à celles qu'on en déduit par des peimutations circulaires

6,Xv(p*-+- [i.^) — CiX,u(p* V2) — ai[JLV(p2— X*) — 2iX;jLvp = o,

Cl Xfji ( p2 + v2 ) — a, ;jLv ( p2 — X2 ) — 6, Xv ( p2 — X2 ) — -i c Xuvp = o

En retranchant membre à membre ces équations, on obtient les suivantes :