LES FIGURES CORRÉLATIVES
Opinion de Michel Cliasies relative à l'«mploi des méthodes de Iransfoimalion. — Elle paraît trop absolue. — Emploi des coordonnées langenlielles dans l'homographie et dans la transformation corrélative, — Définition complète de cette dernière transformation. — Dans le cas le plus général, elle se réduit à une transformation par polaires réciproques, précédée ou suivie d'un déplacement. — Application de cette proposition générale aux transformations considérées pour la première fois par Mobiu.« et dans lesquelles à un point correspond un plan passant par ce point.
64. Chasles, qui a tant fait pour développer l'iiomographie et la corrélation, pensait que les méthodes de transformation ne doivent pas être utilisées sjslématiquemenl en Géométrie, parce qu'elles masquent la véritable origine des théorèmes qu'on obtient par leur emploi. Cette opinion est trop absolue, et contrairement aux prévisions de Chasles, les transformations jouent en Géométrie et en Analyse un rôle de plus en plus important. Lorsqu'on n'en abuse pas, comme on l'a fait au début, elles nous permettent, au contraire, de nous arrêter à des démonstrations qui n'introduisent aucun élément étranger au but que l'on veut atteindre et mettent en évidence les connexions essentielles des théorèmes. Dira-t-on par exemple que, lorsqu'on déduit du théorème de Pascal le théorème de Brianchon par la méthode des polaires réciproques, on n'a acquis aucune notion sur le lien qui rattache ce dernier théorème aux autres propriétés des coniques; mais il suffit de remarquer que, parmi les démonstrations différentes que l'on peut donner du théorème de Pascal, il n'en est aucune qui, convenablement interprétée, ne conduise au théorème de Brianchon.
Les remarques que nous avons faites précédemment sur la transformation hotnographique justifieni ces affirmations. Nous avons vu, par exemple, que la transformation homographique la plus
générale est définie par des équations de la forme
X = ax -^by -i-cz -{- dt,
Y = a'x -hb'y -h c' z -hd't,
où X, Y, Z, T; X, r, z, t désignent les coordonnées homogènes
de deux points correspondants. J^'emploi des coordonnées tangen-
lielles va nous permettre d'abord de compléter ces formules en
leur adjoignant celles qui établissent une correspondance entre les
plans des deux figures.
Soit
UX + VY-f-WZ-+-PT = o
l'équation d'un plan de la première figure. Si l'on y remplace X, Y, Z, T par leurs expressions (i), on trouve un résultat de la forme
UX -r- Vy -h iV z -+- pt = O,
OÙ l'on a
^ ^ ^ ». = cU -+- c'V + c"\V + c"'P,
Ces nouvelles formules définissent la relation entre les plans correspondants des deux figures.
Revenons aux formules (i) ; les fonctions linéaires de x, y, z, t qui figurent dans leur second inembre peuvent être prises pour les coordonnées x,, yt, Z\, t, du point (x^ y, g, t) par rapport à un tétraèdre (T,) différent de celui (T) auquel se rapportaient les relations (1).
Ainsi, les formules de la transformation homographique la plus générale peuvent être mises sous la forme
X=Xi, Y =7,, Z = zi, T = /i,
en sorte que deux points correspondants ont les mêmes coordonnées, mais par rapport à deux tétraèdres différents, dont l'un peut être choisi arbitrairement. Dans ces conditions les formules (2) nous donnent
m = U, (', = V, (v'i = \V, Pi = P.
LES KIGUUES CORRÉLATIVES. gj
63. L'emploi des coordonnées tangenliellesnous permet d'associer à la transformation homographique une autre transformation linéaire dans laquelle un plan correspond à un point. Elle est définie par des formules telles que les suivantes :
U = «a:- -+- (l'y -h a" z -h a'" t, \ — hx -t- b' y 4- b" z -i- b"' t^ W = ca; -(- c y -\- c" z -t- c'"^, P = rfj? -4- d y -I- d' z -i- d" t.
En raisonnant comme tout à l'heure, ou verra qu'au point(X, \ , Z,, T) de la première figure correspond le plan
ux -\- vy -\- wz -{- pt = o de la seconde, m, v, (v, p ayant pour valeurs
«— aX -I-6Y -i-cZ -i- c?T,
(' = rt'X + ^/ Y -+- c'Z -{- c^'T, II' = «''X -t- 6" Y -\- c"Z -H d"Y , p = d" X -+- //" Y -I- c " Z + ^"' T .
Opérons comme précédemment. Les fonctions linéaires qui figurent dans les seconds membres des formules (3) sont les coordonnées ûCi, j'i, Zi, tt du point (x,JK, -, 0 ^^ ^^ seconde figure relatives à un nouveau tétraèdre (T, ) ; en sorte que les formules de la transformation corrélative la plus générale peuvent être ramenées à la forme
V = Xi, \=yu W = ^,, P = /i,
les coordonnées U, V^, W, P et a:,, j,, ^i, ^, étant relatives à deux tétraèdres différents. Les formules (4) nous donnent alors
X = «1, Y = ('i, Z = ii'i, T=/)i.
On voit donc que toute proposition dans laquelle n'interviendront, ni la forme du tétraèdre, ni la valeur des paramètres de référence, s'appliquera d'elle-même à toutes les figures homographiques et corrélatives. Les démonstrations qui la donneront ne pourront, par cela même, employer que les éléments sur lesquels cette [)roposition rej)0se essentiellement.
66. Avant de continuer cette exposition des principes, nous examinerons une question qui nous paraît nouvelle. C'est Poncelet qui, par sa théorie de Thomologie et sa théorie des polaires réciproques, a été le grand initiateur. A l'exemple de ce que nous avons fait pour l'homographie, demandons-nous si la transformation corrélative peut donner des figures plus générales que la méthode des polaires réciproques.
Cette méthode, remplaçant un point par son plan polaire, nous conduit évidemment à des formules lelles que les suivantes :
Il = Ax -¥- B'j -+-B'z -hCt,
V =B"x + A'y-hBz 4- C'^, w = B'x-i-By -+- A"^ -+- C" t,
p =Cx -^-C'y -+- C"z + Dt,
où nous pouvons supposer que les coordonnées soient cartésiennes et rapportées à un S3'stème d'axes rectangulaires. Soit, d'autre pari,
H = ax -\- by '\- cz- -\- dt^
une transformation corrélative quelconque, rapportée aux mêmes axes. Il faut examiner si, en soumettant la figure lieu du point (^, J', z-1 t) à un déplacement défini par les formules
X = axi -H a! yi -+- ol" Zi + a"'fi, y= pxi-h^'yi-i-^"zi-^j^"'ti,
z = Y^i -t- Yri + t"-2i -^ t"'^i.
on peut ramener les formules (6) aux précédentes; c'est-à-dire faire en sorte que, dans le déterminant
les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale soient égaux. Il y aura lieu d'écrire ainsi six relations. Les for-
LES FIGURES COBRÉI.ATIVES. 97
mules (7) dépendent bieri^de six arbitraires, a'", ^'", y'" et les trois quantités dont dépendent les neuf cosinus. 11 y aura donc autant d'inconnues que d'équations. Nous étudierons d'abord les trois relations qui doivent être satisfaites et qui contiennent les neuf cosinus. Elles sont
/ a'a"+ é'P''+ c'Y' = a"cx' -+- b" fj' ■+■ c"y', (8) I a"a. ■+■ 6"§ -t- c'y = aa" 4- 6p" -4- cy",
\ aa' -f- èp' + cy' = a'a -f- 6'p 4- c'y,
et elles doivent, à elles trois, suffire à déterminer ces cosinus.
A cet effet, remplaçons les neuf cosinus par leurs expressions en fonction de trois arbitraires
DOL = p2-i- X-— IJI-— V2, Dp =2X[JL— '2vp, Dy =2Xv-l-2[Xp,
Da'= 2X[JL-h avp, DP' = p2+ [x2 — Xî— v2, Dy' = 2 [jlv — aXp,
Da"= 2Xv — 2[Jip, DP"= 2[JlV-l-2Xp, Dy"= p2-+- V2— X2 — [Jl2,
où l'on a
(lo) D = p2-(- X2+ [JL^-f- v2.
En substituant ces expressions dans les relations (8), on obtiendra trois équations du second degré qui, si l'on y regardait )., pi, v, p comme des coordonnées homogènes, représenteraient trois quadriques et, par conséquent, fourniraient généralement huit solutions. Mais on ne saurait se contenter de cet aperçu; et nous allons obtenir le résultat essentiel en poursuivant cette élude.
67. Pour cela nous remarquerons qu'on peut simplifier les formules (6). En effet, on peut toujours les écrire comme il suit. Posons
lai — c' — b", 2bi=^a" — c, 2Ci=^b — a';
les formules (6) pourront s'écrire
" - :^/^ H- c, JK - ^1 - + dt,
V = -fy -+- «1 c - CiX -^- a t,
»' = -/; -+- bi.T — asy -H d"f,
On veira facilernenL que ces expressions conservent la forme précédente quand on change les axes sans changer l'origine des coordonnées. En effet, si X, Y, Z désignent les coordonnées d'un point quelconque, on a
Xu4-Yp + z.v = -(X/; + y/;.
Il est clair que les trois parties dont se compose le second membre se reproduisent lorsqu'on soumet X, Y, Z et x,jK, s à cette substitution homogène qui définit un déplacement autour de l'origine. Il en est de même du premier membre de la relation précédente ainsi que de p. Notre proposition est donc établie.
Ce point étant admis, choisissons comme axes coordonnés les axes principaux du cône défini par l'équation (')
On pourra donner aux équations (12) la forme plus simple
ax +
ht,
by
cz
ly
kx 4-
It,
et les équations qu'il s'agit de vérifier deviendront
ai(^'-+- y") — 61 a' — Cia"4- b^" — cy' = o, bi{'i"-\-%) — Cl P"— «1 ^ -H cy — aa"=o, Cl (a + ^') — «1 Y — 61 y' -h ax' — 6 j3 = o.
En y substituant les expressions des neuf cosinus, on obtient les
(') Nous supposons, on le voit, que ces axes existent et nous laissons de côté le cas où le cône représenté par l'équation
est imaginaire et tangent en un seul point au cercle de l'infini. Il n'existe pas alors de substitution orthogonale ramenant f{x, y, z) à une somme de carrés.
LES FIGURES CORRELATIVES-
relalions
l ai(p2— X2) ^,(jj,> ^- vp)>-h Cl ([j-p — Xv ) -f- 6([JLv •+- Xp) -t- c(Xp — [av) = o, ^ <Ç'i(p2— |ji2) — Cl (vijL -i-Xp)-f-ai(vp — X[jl) + c (vX -H [JLp) -t-«([J.? — Xv) = o, ( c, (pS— v2) a,(Xv ^- ;jLp)-i- ^;,(Xp — [xv) -t- a (XiJi-f- vp) -t- 6(vp — Xa) = o,
dont la discussion, comme on va le voir, peut être entreprise avec succès.
Remarquons d'abord que, si l'on connaît une solution du problème, on peut choisir les axes de telle manière que l'on ait
ni =^ bi = Cl = o, et les équations précédentes se réduiront aux suivantes :
( ib — c) \vi -t- ( 6 -+- c ) Xp = 0 ,
(i6) } {c — a) vX -f- (c -i- a) jj-p = o,
f ( a — ^ ) XjjL -t- ( a -I- 6 ) vp = o.
Elles admettent, comme il fallait s'y attendre, la solution
qui correspond à celle qui a été prise comme point de départ, mais elles ont sept autres solutions convenant toutes au problème proposé.
Les huit solutions du système (i6) peuvent se distribuer dans les deux groupes suivants :
Al
e, s', e" étant trois valeurs de l'unité positive ou négative, liées par a relation
Les quatre solutions du second groupe sont à rejeter; car elles sont imaginaires et d'ailleurs liées par la relation
