La solution du problème précédent permet donc de
ramener les formules qui définissent la corrélation à la forme
plus simple
u = ax -i- b" y -\- b' z -\- lit,
V —b'x-k-a'y-^bz -\-li't,
w = b' X -\- by -\- a" z -l- h' t, p = kx -4- k'y -i- k" z -\- It.
Gomme nous l'avons fait tout à l'heure, prenons pour axes coordonnés les axes principaux du cône représenté par l'équation
ax^-\- a! y''--\- a" z^--{- ibyz + ib' xz -i- 'ib" xy = o;
les formules se simplifieront encore et deviendront
u = ax -h ht, v = by -+- h' t, w — cz -{- h" t; p = kx -+■ k'y +• k" z -h //.
Déplaçons les axes parallèlement à eux-mêmes dans la figure lieu du point {x,y, z, t), c'est-à-dire faisons la substitution
x\x-+-xot, y\y-^y«t, z\z-\-zot.
En prenant pour j^qî^o; ^o les valeurs suivantes :
Xo =
Jo
ît posant
<f(r,y, z, 1) = ax^-h by^-\- cz'i-{-7.kxt -\- -xk'yt-h xk" zl -h ( / -t- kx^ -h k'y^ -f- ^'zo ) <S
on ramènera les formules (24 ) à la forme cherchée
/jr\ I,.I, I, 1,
(25) a=-cp^, t^=-<p^., (P=-tp^, ;?=-»,.
Et, si l'on rapporte à son centre la quadrique obtenue en égalant ^ à zéro, on sera conduit aux formules plus simples
(«6) M = ar, v = by^ w = cz, /? = H^
11 faut observer toutefois que, la méthode tombe en défaut dès que l'une des quantités a, b, c est nulle. Supposons, par exemple, que c soit nulle : h" ne pourra l'être, sans quoi iv serait nulle; k" ne pourra être nulle non plus, et l'on pourra disposer de Zq de manière à annuler le coefficient de t dans l'expression de p. Alors, les formules de transformation se réduiront à la forme
(27) u = a.v -+- ht, V = h y + AV, w = h" t, p = kx H- k' y -i- k" z,
ou, plus simplement,
u ^= ax, i> — by, w = h"i, p = kz. , -,
Si k est égal à h", on pourra poser encore
P" = - C&V, IV = - ■f. '■' 2
en prenant
(0 = ax^-\- by^-h 2 A"
Mais si k n'est pas égal à h" , le problème sera impossible. On peut caractériser ce cas d'exception en disant qu'à tout point de l'infini dans la seconde figure, lieu du point (x, y, z), correspond, dans la première, un plan qui passe par un point déterminé de l'infini {x = o, y=o, t = o).
Si l'on remplaçait la figure lieu du point (x, y, z, t) par une figure homothétique, la solution du problème pourraitétre obtenue.
69. Il existe certaines transformations corrélatives considérées pour la première fois parMôbius, dans lesquelles le plan correspondant à un point passe par ce point. On les rencontre en Cinématique et en Statique. Par exemple si, dans un déplacement infiniment petit, on envisage les droites normales au déplacement
LES RIGURES CORRÉLATIVES. Io3
d'un de leurs points, toutes celles de ces droites qui passent par un point engendrent un plan, et toutes celles qui sont dans un plan y passent par un point, le foyer du plan. La relation entre un plan et son foyer nous donne un premier exemple des transfor* mations que nous voulons envisagei'.
De même, en Statique, si l'on considère un système de forces appliquées à différents points d'un corps solide, les droites par rapport auxquelles la somme des moments des forces est nulle donnent naissance à une transfoi-mation analogue.
Les transformations corrélatives auxquelles on est ainsi conduit sont celles pour lesquelles les fortïuiles générales prennent la forme
plus simple
111 = c'y — b' z -k-at, V = a' z — ex -+- bt, I iv = b' X — n' y-\- et, f p = — ax — by — cz
qui entraîne la relation caractéristique
(3i) ux-^vy-\-wz-^pt^Ç).
On |jeut déduire des remarques que nous avons faites, et il serait facile de démontrer directement, qu'en changeant les axes on peut les ramener à une forme dans laquelle c et c' seules ne seront pas nulles.
Adoptons cette hypothèse et appliquons notre méthode générale. Les équations (i5) et (19), qui déterminent A, ijl, v, p, deviendront ici
;jtp — À V = (), viJL -t- Xp = o, p- — V- = o,
Xijifp- — v^) = o, X[jt(p- 4- v^ ) = o.
Ces équations admettent la solution
Nous aurons donc à soumettre la figure lieu du point (:r, y, z) au changement d'axes défini par les formules
' = F^T^ ^^ -^ )JT^.>'' = '^i <^«^^ -^r^ s.na,
(39.) <' •>.Xa X2— a*
• r= v^; — ^— „ ^1 — r-; ^yi = .TiSina — vi cosa,
•^ X--l-[x2 ' A^H-jji»-^' ' ji^ ^
Io4 LIVRE I. — CHAPITRE VH. — LES FIGURES CORRÉLATIVES.
c'est-à-dire à prendre sa symélrique par rapport à une droite située dans le plan des xy et rencontrant Os.
Les formules (3o) qui définissent la transformation deviendront alors
M = c' (a^i sina — jKt cosa), v t=. d ( — x^ cosx — yx sina),
w = c^i, p = cz\ ; et si l'on pose
cp(xj, yx-, Z[, ti) = c' x} sina — tlc' x^y^ cosa — c'jk| sina -i- iczt, elles prendront la forme requise (33) i<=-<p r, t;=-cp^, ,^. = -œ,, ;, = -ç^.
Les deux figures corrélatives selon la définition de Môbius seront devenues polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à un paraboloïde hyperbolique.
