LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES

Uu rapport anharmonique dans la théorie des sections coniques. — Les coniques sont des courbes unicursales. — Relations entre leurs divers modes de représentation. — Intersection des coniques et des courbes de degré supérieur. — Théorème de Paul Serret. — Le rapport anharmonique des droites qui joignent un point variable d'une conique à quatre points fixes de cette courbe est constant. — Réciproque. — Théorèmes corrélatifs. — Définitions diverses du rapport anharmonique de quatre points pris sur une conique. — Faisceaux et divisions homographiques. — Théorème fondnmental sur le lieu du point d'intersection de deux rayons homologues ou sur l'enveloppe de la droite qui joint deux points homologues. — Théorème de Pascal. — Théorèmes de Newton et de Maclaurin. — Démonstration nouvelle du théorème de Pascal. — Théorèmes de Desargues et de Sturm. — Premières notions sur l'involution, — Différentes manières de la définir. — Application du théorème de Desargues à la construction d'une conique déterminée par cinq points. — Les divisions homographiques sur une conique. — Comment elles conduisent à des solutions élégantes pour les principaux problèmes relatifs aux divisions et aux faisceaux homographiques. — Etude du problème dans lequel il s'agit de construire un poljgone dont les sommets soient sur une conique donnée et dont les côtés passent par des points donnés ou soient tangents à des coniques inscrites dans la proposée. — Applications nouvelles du théorème de Paul Serret. — Si deux triangles jouissent de l'une des propriétés suivantes : être conjugués par rapport à nne conique, être circonscrits ou inscrits à une même conique, ils possèdent les deux autres. — Corollaires. — On ne peut, en général, inscrire à une conique un triangle circonscrit à une autre conique, et quand le problème est possible, il a une infinité de solutions. — Conditions de possibilité dans le cas de deux cercles. — Etant données deux coniques, il existe en général quatre coniques par rapport auxquelles elles sont polaix-es réciproques l'une de l'autre.

70. Avant d'aborder toute étude générale et, en particulier, celle des relations métriques, nous allons montrer comment le rapport anharmonique joue un rôle fondamental dans la théorie des courbes du second degré. Nous commencerons par la propriété suivante :

Les coniques sont des courbes unicursales; c'est-à-dire qu'on peut exprimer les coordonnées d'un quelconque de leurs points

Io6 LIVRE l. — t;HAPITRE VIII.

en fonction rationnelle d'un paramètre. Pour le démontrer, rapportons une conique quelconque à un triangle de référence ayant un de ses sommets sur la conique. L'équation de cette courbe sera alors de la forme

(i) Ax^-+- A'/- 4- 'iByz -+- i\i' xz -h iW xy = o

et elle passera par le sommet défini par les équations

a? = o, jK == o.

Toute droite passant par ce point a une équation de la forme

où A désigne un paramètre variable. Pour trouver son intersection avec la conique, il faudra remplacer, dans l'équation (i), ^parXx, ce qui donnera

:r[Ârr + A'X2;r-l--.î(BX -+- B')3-i-'iB"Àr] =o.

r^a solution

correspond au sommet du triangle. En égalant à zéro le second facteur, on obtiendra le point variable où la droite coupe la

conique. On a ainsi

^ A'X^+v.B'X-i- A " —~~ ^ 9(BX -F- B') '

ce qui permettra de prendre

:r =— 5..BX — V'B', y ^g.BX2— aB'X,

En remplaçant X par — et rendant homogène, on a des expressions

de la forme

!x = a(^ + btu -hcu'^, y = a' t"^ -i- b' tu -h c' u-^ z — a" t^-h ■îb" tu -^r c" u-,

et, réciproquement, il est évident que toutes les formules de ce