CA CB

■Pl = PB = const.

C'est la propriété fondamentale relative au rapport anharmonique des quatre points où une tangente variable coupe quatre tangentes fixes.

108. Les propositions précédentes, transformées par le principe de duidité, s'appliquent aux courbes d'ordre n ayant un point multiple d'ordre n — i .

Prenons, par cxenq>le, la première définition

qui définit la courbe de classe n ayant la droite à l'infini pour tangente multiple d'ordre /i — 1, et écrivons-la sous la forme déjà donnée

2]'«'cî»U0,x, A,A,) = C.

CLASSE PARTICULIERE DE COURBES ANALOGUES AUX CONIQUES. IJl

Si nous appliquons la nîéthode des polaires réciproques, nous voyons qu'aux quatre points fixes en ligne droite O, x , A, A( correspondent quatre droites concourantes en un point fixe a; au point O correspond une droite fixe aO', le point oo a pour polaire une droite passant par le point a et le point /?, pôle de la droite de l'infini; le point A a pour polaire la droite aM qui joint a à un point quelconque M de la courbe; quant au point A(, il lui correspond une droite fixe passant par le point a. Le rapport anharmonique étant conservé, on a donc

V^ .sinMaO' sinVIa» ,, > m — — : — i- = C.

sin[3aO' sin^ay?

Cette équation est de la forme

■v^ „ sin iVl aO'

sin Ma/)

Quant au point/?, c'est évidemment un point multiple d'ordre n — I pour la courbe transformée.

Comme on a

MaO'= Ma/? -t-paO ,

l'équation se transforme et peut s'écrire

X/t- cot(/>aM ) = const.,

les \i^. désignant de nouvelles constantes.

Prenons, par exemple, une conique, et plaçons le point p sur la courbe ainsi que les deux points a, j3, on aura

(9.3) Xcol(/)aiM) -r-X'col(/;^M) = coiist.,

les ). étant des constantes convenablement choisies.

Celte curieuse relation donne l'équation de la conique dans un système qui n'est, pour ainsi dire, jamais employé, celui des coordonnées hiangiilaires.

On peut, dans le plan, déterminfu- un point quelconque M par

deux angles, par exemple par les angles Ma/?, iM|3/i. La relation

précédenle serait réquation de la conique dans ce système de coordonnées, pourvu que Jes trois points a, |3, p fussent sur la conique.

109. Nous allons maintenant examiner d'autres problèmes qui conduisent à des courbes de /i'*'"*' classe n'ayant plus qu'une tangente multiple d'ordre n — 2.

Cherclions d'abord la courbe telle que, si l'on appelle BC le segment intercepté sur la tangente par deux droites fixes, on ait, en considérant plusieurs couples de droites,

?n et k désignant toujours des constantes.

Soient

.T cos (x ■— y sin a — p = o,

X cosp -+- j' sin 3 — q = o, a? cos(o -;- j>' sin to — ip =:: o

les équations des deux droites fixes et de la tangente variable. Si l'on pose

un calcul analogue à ceux que nous avons faits nous donnera

•■dT p% — aw ql — bw i BC = >. a ^ ib ^^ r— j

en sorte que l'équation du lieu sera

Cette équation est de la ("orme

Si n est le nombre des segments BC, F(^-) est de l'ordre in par rapport à ^'^,fi (^^) est de l'ordre in — 1 au plus, f(l^) est de l'ordre m — 1 en ç^^ L'équation de la tangente étant

CLASSK PARTICULIÈRE DK COURBKS ANALOGUES AUX CONIQUES. 173

on voit que la courbe sera de la classe ^n. Et comme elle a deux tangentes parallèles à une droite donnée, cjui correspondent à des valeurs de S égales et de signes conliaires, on peut conclure que la droite de l'infini est une tangente multiple de l'ordre /\n — 2. On reconnaîtra aisément que la courbe passe par les deux points I et J et y louche la droite de l'infini.

Si la constante A" n'est pas nulle, la fonction F(i^) est parfaitement déterminée, et par suite la courbe n'est susceptible que d'un seul mode de génération avec n segments.

Si k est nulle, nous retombons sur un cas que nous avons déjà étudié. Nous le laisserons de côté^ et nous passerons à un problème qui comprend tous les précédents comme cas particuliers.

ilO. On sait que le cercle peut, d'une infinité de manières, être défini comme l'enveloppe d'une droite mobile qui forme avec deux droites fixes un triangle de périmètre constant. Cela nous conduit à examiner si celte propriété, comme celles que nous avons déjà généralisées, pourrait s'étemlre à une classe de courbes de degré supérieur. Proposons-nous donc le problème suivant :

Déterminer la courbe enveloppe d'une droite mobile qui forme, avec n couples de droites Jl ces, n triangles dont les périmètres sont liés par une relation linéaire.

Pour résoudre ce problème, commençons par déterminer le périmètre d'un triangle formé avec les trois droites suivantes :

!(a; — yi) a--{- x -^- yi — 2 ap — o, (^x — yi)b''--\- X -\- yl — 'ihq =0, (a? — yi) \^ -ï- X -\- yi — 2 w^ = o.

Si nous désignons par A, B, G les sommets de ce triangle opposés respectivement au premier, au second et au troisième côté définis par les équalions précédentes, on aura, par un calcul analogue à ceux que nous avons déjà (aits,

t BG = 2a ~ 10 J-^