O) < ,-GÂ
i AB — 2 ? —, /— — 'la , .
ly- — c'^ o^ —
wa
ph.
-aq
En ajoutant, on trouve la valeur suivante du demi-périmètre P du triangle
(.7) - il> ^ ElfZ^ ^- 'y"- f^ + lnv-q\^
^-t-rt a-t-6 b -^\
Si l'on se reporte à la dciînilion du lieu que nous étudions et si l'on suppose que sa tangente soit représentée par la troisième des équations (aa), il faudra écrire que l'on a
(28) y^ïp = C,
la somme étant étendue à n systèmes de valeurs dert, h^ p^ q^ c'està-dire à 11 couples de droites. On trouve ainsi
(29) —Cl — y m -^ j- = 7 m[ ^ -^ j—
En posant
aq — hp
JJ(^ + «)(^ + 6) = e(0,
^a i + 6/ 0(0 l'équation (29) prendra la forme
Si n est le nombre des triangles, F(^) sera généralement du degré in en ;; /(i) sera seulement du deiiré ^{n — i). La classe de la courbe sera donc égale à 2//, dans le cas général.
L'équation (3i), faisant intervenir deux polynômes de degrés 2/i et 2/1 — 2, dépend de 4'* — i constantes. Le mode de génération que nous avons employé en comporte beaucoup plus : 5 pour chaque couple de droites (en y comprenant la constante w), ce qui tait 5/z en tout. Il est donc à prévoir qu'il pourra être réalisé, en laissant arbitraires n -H i quantités. Voici comment on peut le démontrer.
CLASSE P.VRTICUMÈRE Dl:: COUnBES ANALOGUES AUX CONIQUES. 176
Si l'on connaît les quantités a el b qui déterminent les directions de-; droites fixes eniplojéiîs pour former les triangles, ainsi que les quantités /», onauia les p et q et la constante A", en décomposant
en fractions simples la fraction rationnelle TTr^r' C^ela permet de
vérifier un fait qui est évident ycotnétriquement : à savoir que les droites fixes doivent être des ian<:;eiites de la courbe. Car, lorsqu'une droite variable se confond avec une des droites fixes, le périmètre de l'un des triangles devient indéterminé et l'équalion (29) se trouve vérifiée d'elle-même. Tout revient donc à trouver les 3/î quantités a, b^ m, de manière à vérifier l'équation
^3"^> 2'"(r^-rb)
Nous nous trouvons ici en présence d'un problème d'algèbre intéressant et nouveau : /i tant donné an pohnome /{^) d^iin degré inférieur â a/i — i , il faut trouver un polynôme 6(i) de degré 2 n tel que les racines se partagent en n couples ( — «, — b) pour chacun desquels les coefficients de ^ ? t j dans la décomposition en fractions simples de la fraction rationnelle ~-h soient éi^aux et de sif^nes contraires.
Cela donnera évidemment /i — i conditions auxquelles devront satisfaire les eo iples («, b) ; car on pourra se dispenser d'écrire la condition pour un des couples. Il restera donc n-\-i arbitraires.
Pour montrer combien le problème est difficile, imposons-nous la condition que tous les coefficients /n soient égaux, c'est-à-dire que ce soit la somme des péiimètres qui soit constante. Alors, si l'on pose
l'équation à résoudre prendra la forme
Nous sommes ainsi ramenés à un problème que nous avons déjà signalé : trouver diHix formes dont la jacobienne soit connue.
Nous ferons seulement remarquer que, lorsqu'on aura obtenu
