CHAPITRE II

LES COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQUES.

Leur définition. Ce sont des fonctions linéaires des coordonnées cartésiennes homogènes. - Pourquoi on les appelle télraédriques ? - La connaissance du tétraèdre de référence ne les détermine pas entièrement. - Mobius, qui les a employées en 1827 dans son Traité de Calcul barycentrique, en a donné une définition fondée sur la théorie du centre de gravité et différente de celle que nous avons adoptée d'après Plucker. - Celte interprétation ne lient plus dès qu'un des sommets du tétraèdre de référence est rejeté à l'infini. Démonstration d'un élégant théorème de statique qui permet de maintenir avec quelques modifications la définition de Mobius lorsqu'un ou plusieurs sommets du tétraèdre de référence sont rejetés à l'infini. - Application à la Géométrie plane et à la détermination des figures qui sont la perspective d'une figure donnée - L'emploi dans le plan des coordonnées trilinéaires permet d'étudier, en même temps qu'une figure, toutes celles qui s'en déduisent par la perspective On termine le Chapitre en démontrant une propriété caractéristique de la transformation homographique. Elle est la seule transformation ponctuelle qui conserve les plans, c'est-à-dire les transforme en des plans. - La démonstration s obtient par la résolution d'une équation fonctionnelle que Cauchy avait déjà étudiée dans son Analyse algébrique (t. III de ses Œuvres -e série)

16. Au n" 14 nous avons obtenu un système de formules qui définissent la transformation homographique la plus générale. On peut donner à ces formules une interprétation nouvelle et définir ainsi un système de coordonnées, comprenant les coordonnées cartésiennes comme cas très particulier, et qu'on pourra employer au même titre que ces coordonnées dans beaucoup de recherches, sans avoir à apporter une restriction quelconque aux résultats obtenus. Nous nous bornerons à la Géométrie de l'espace, qui comprend la Géométrie plane comme cas particulier.

Considérons quatre fonctions homogènes X, Y, Z, T des coordonnées cartésiennes homogènes x,y^ 5, t ;

I X = ax -\-by ■+. cz -^ dt,

que nous supposerons linéairement indépendantes. Si nous connaissons les valeurs de ces quatre fonctions pour un point quelconque de l'espace, les formules précédentes, qui pourront être résolues par rapport à x, y, z, t, détermineront les coordonnées cartésiennes homogènes du point, par des formules qui seront évidemment de la forme suivante :

Ix = k\ -+-BY +GZ +DT, j = A'X -hB'Y -+-G'Z -i-DT, z = A'X ^- B'Y + CZ -4- D'T, t = A"'X + B"'Y -i- G"'Z ^ D"'T.

On peut donc considérer X, Y, Z, T comme des coordonnées homogènes propres à déterminer un point.

17. On leur a donné le nom de coordonnées télraédriques parce qu'en égalant à zéro l'une d'elles, on a les quatre équations

qui, d'après l'hypothèse faite, représentent quatre plans n'ayant aucun point commun et, par conséquent, formant un tétraèdre au sens le plus général du mot. Ce tétraèdre peut avoir un, deux ou trois de ses sommets à l'infini.

11 importe de remarquer que la connaissance du tétraèdre ne suffit pas à définir les coordonnées. Si le tétraèdre de référence est donné, les coordonnées K, Y, Z, T pourront encore être multipliées par des constantes quelconques.

Par exemple, si le tétraèdre est formé par les plans coordonnés et le plan de l'infini, les coordonnées correspondantes pourront être ax, by, cz, ht, a, b, c, h étant des constantes et x, y, z, l désignant les coordonnées cartésiennes homogènes du point.

Il est clair qu'avec ces nouvelles coordonnées, l'équation d'une surface de degré n restera homogène et du degré n. En particulier, l'équation d'un plan restera du premier degré.

18. La définition que nous venons d'adopter pour les coordonnées tétraédriques est la plus simple; elle est presque la seule qui soit absolument générale. Elle s'applique dans tous les cas,

LES COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQLES. ,g

que les fonctions X, Y, Z, T soient rédles ou imaginaires, que le tétraèdre ait ou n'ait pas de sommets à l'infini, etc.

Ce n'est pas elle, cependant, qui s'est présentée tout d'abord \oici comment Môbius, le premier, les a introduites dans son Iraite de Calcul barycenlrique, paru en 1827.

Reprenons les formules (2), qui sont résolues par rapport a X, y, 3, t. Elles nous montrent immédiatement que les coordonnées homogènes des sommets du tétraèdre de référence sont : A, A', A", A'" pour le sommet Y = Z = T = o• B, B, B", B ' ,> X=Z = T=o; G, G', G", G'" „ X = Y = T = o- • D,D',D",D'" >, X = Y = Z=.o.'

Supposons que ces sommets soient tous à distance finie et changeons de notations en posant

A'" ^'^ ^-^1, ^=^3, ^,=z,. Les formules (2) prendront la forme suivante :

El l'on voit immédiatement qu'elles définissent les coordonnées cartésiennes du cenire de gravité de quatre masses X„À„ a, ). placées respectivement aux quatre sommets d„ tétraèdre. Ainsi :'

Le point de coordonnées télraédriques X, V, Z, T est le centre

de gravite de quatre masses A"'X, ir Y, G'"Z, \y"T placées res

pectivement aux quatre sommets correspondants du tétraèdre.

Si l'on snniiose \'" — \\"' — C" ~ W^' ^^ . 1

M L V n __v, jj , on retrouve les coordonnées ijarvienlrupit's de iMohius.

19. Cette interprétation tombe en défaut et devient inadmissible dès qu'un des sommets du tétraèdre est rejeté à l'infini. Pourtant on peut la sauver, en la compliquant un peu, si l'on fait usage d'un théorème dont la première origine remonte à Leibniz.

Ce théorème peut s'énoncer comme il suit (' ) :

Considérons p points A,, Ao, . . . , A;, affectés de coefficients positifs ou négatifs À, , ).2, • • . , '^^p^ dont La somme n'est pas nulle. O désignant un point quelconque de V espace, la résultante des forces \s ÔÂT, >.2C)Â"2, . . . , \p ÔÂ^, appliquées en O, ira passer par un point fixe C et sera égale à L OC, L désignant la somme À, -f- Xj + .. . . H- ^^.

Si cette somme est nulle, la résultante conservera une grandeur et une direction invariables quand le point O se déplacera; en particulier, si elle est nulle pour une position du point O, elle sera nulle pour toutes les autres positions de ce point.

Pour démontrer celle proposition, on peut faire usage, soit de l'Analyse, soit de la Géométrie. Commençons par la démonstration géométrique.

Soit OR la résultante des forces l/OA/. Cherchons la résultante O'S quand le point O est remplacé par le point O' et les forces A,âÂ~ parX,0'A,-. La force O'A, est évidemment la résultante des deux forces Ô^ et ÔÂ7, le point d'application de la seconde étant, bien entendu, supposé transporté en O'. Donc la force \iO'ki sera la résultante des deux forces 'kj O'O et )vtOA/. On obtiendra donc la résultante de toutes les forces A/O^A, : i° en composant toutes les forces égales et parallèles à X^OA/, ce qui donnera une résultante égale et parallèle à OR; 2° en composant toutes les forces X,0'0, ce qui donnera une résultanle L 0^0; 3" en composant les deux résultantes partielles, l'une égale à LO'O et l'autre égale et parallèle à OR.

Supposons d'abord que L ne soit pas nulle, et déterminons

Despeyrous, Cours de Mécanique, l. I, p. 879. Note de M. Darboux.

LES COORDONNÉES TETRAEDRIQl'ES.

sur OR un point G par la condition

ÔR^LÔG.

Alors O'S élant la résultante de L x OC et de L x O'O sera

évidemment égale à LxO'C. Elle passera donc toujours par le

point C et sera égale à L x O'C, ce qui démontre la première et la plus importante partie du théorème.

Supposons maintenant que la somme 1^ soit nulle. Alors l'une

des résultantes partielles envisagées plus haut, LxO'O, sera nulle, et O'S sera égale et parallèle à OR, ce qui achève de démontrer la proposition.

20. L'Analyse conduit au même résultat par une voie également simple. Soient x,, j^/, z-i les coordonnées cartésiennes du point A/ et soient x, j', z les coordonnées du point O. Les composantes

. parallèles aux axes de À/OA/ seront

(6) \i{xi—x), li{yi—y), hizi—z).

Les projections de leur résultaule seront donc

(7) I.hu;i—Lx, ^Xifi—Ly, :^iZi-Lz.

Si donc on pose

(8j I.XiXi=LX, :ùliyi=LY, SX/z/= LZ,

les projections de la résultante prendront la forme

L(X-:r), UY-y), L(Z-z).

Ces expressions démontrent immédiatement le théorème, puisqu'elles mettent en évidence que^ si C est le point défini par les

équations (8), la résultante est L x OC

Si L est nulle, les formules (n) montrent immédiatement que la direction et la grandeur de la résultante sont invariables.

21. Bevenons à la démonstration géométrique. Il est facile de voir qu'elle conduirait sans eflbrt à la notion du centre des foixes parallèles.

Il est évident que le point C par lequel va passer la résultante

quand L n'est pas nulle, rte dépend que des rapports mutuels des coefficients )./. En mettant à profit cette remarque, considérons les

forces X, —r-i, ■ • •f^-p—f^', elles auront pour résultante -T OG. Prenons k = OA, et supposons que le point O s'éloigne indéfî-

1 1 • • 1 il O Aj OAn

ment dans une direction quelconque. Alors — 7— j • • •> —~ auront,

tous, pour limite l'unité. Les différentes forces ^^hjrr^^ qu'on peut

faire glisser sur leur ligne d'action de manière à transporter leur point d'application en A;t finiront par devenir parallèles à une direction, d'ailleurs quelconque; elles auront pour grandeurs X,, X23 •••> ^^/>j deux forces correspondantes à des coefficients de signes contraires ayant des sens opposés. Quant à la résultante qui passe par G et

a pour valeur Lttt-' on peut transporter son point d'application

en G et sa valeur deviendra égale à L. On reconnaît la proposition fondamentale de la théorie des forces parallèles; et l'on voit que G est le centre de gravité des masses ht placées aux points A, respectivement.

Les formules (8) mettent également en évidence la proposition à laquelle on a été conduit par la Géométrie. On voit que la notion et les propriétés du centre de gravité se déduisent comme cas particulier du théorème fondamental énoncé plus haut.

Signalons encore cette conséquence particulière du théorème. Si des forces concourantes se font équilibre, leur point d'application est le centre de gravité de masses égales placées en leurs extrémités; ce qui est proprement le résultat remarqué par Leibniz.

2i2. Revenons aux coordonnées tétraédriques et à l'interprétation de Mobius. Le théorème précédent nous met sur la voie d'une interprétation beaucoup plus large.

Soit O l'origine des coordonnées. Désignons para,, 0.2, «3, a-, les sommets du tétraèdre de référence. Les formules (5) expriment que les quatre forces appliquées en O, dirigées vers les sommets a,, aa, as, ol^ et ajant respectivement pour valeur

X, Oai, X2 0a2, XjOas, XjOai,

LES COORDONNÉES TÉTR.VÉDRIQUES. l3

ont pour résultante ()v, +^2 + )v3 + )v4)0M, M étant le point dont les coordonnées homogènes tétraédriques sontX, \ , Z, T. Comme on peut, d'après le théorème précédent, substituer au point O un point quelconque de l'espace, on est conduit à la nouvelle interprétation suivante :

O étant un point quelconque de l'espace, les forces appliquées en O, dirigées respectivement vers les sommets du tétraèdre et ayant pour valeurs

(9) A"'XxC)^, B"'Yx()^, C'ZxÔ^, D"'TxCi74,

X, Y, Z, T étant les coordonnées tétraédriques définies par le système (2), ont une résultante dirigée vers le point M défini par ces coordonnées et cette résultante est égale à

ÔM ( A'" X + B'" Y + C" Z -+- D'" T ).

Si le point O s'éloigne à l'infini, et si l'on remplace les forces par d'autres qui leur soient proportionnelles et soient appliquées aux sommets du tétraèdre, on retrouve l'interprétation donnée en premier lieu.

Mais, tandis que cette dernière interprétation tombe en défaut dans le cas où le tétraèdre de référence a ses sommets à l'infini, il n'en est pas de même de celle que nous venons de lui substituer. Revenons à notre théorème général, et supposons que quelques-uns des points A/ s'éloignent -à l'infini. Soit, par exemple, A^ l'un de ces points. S'il s'éloigne à l'infini dans une direction dont les paramètres directeurs soient a^, |3yv, y/f et si l'on désigne par ;j./; la

limite du produit A/r OA/^ dans lequel kh tend vers zéro, tandis que OAa devient infini, on voit que la force aura pour composantes [J-Aa^, \J-k^\->ki \^h^{k'i et notre théorème général prendra l'énoncé suivant :

Si l'on a un groupe de points A,, . . ., A« affectés de coejficients À,, ..., A«, la résultante des forces ayant un point O quelconque pour point d^ application, respectivement égales à