CHAPITRE

naiie à dislaoce finie. Le point à l'infini est, comme le point imaginaire, un point simplement conçu, un point idéal. Dans les deux cas, la convention est également facile à admettre. 11 y a pourtant entre eux une différence essentielle que nous allons signaler.

Pourquoi dit-on que le point est à l'infini dans la direction de

coefficient angulaire -? Parce que, si c est très pelit, le point se

trouve très loin sur la droite

el qu'il s'éloigne de plus en plus, dans un sens ou dans l'autre, lorsque c devient de plus en plus petit. Ainsi, le point à l'infini est le représentant idéal d'un point qui s'éloigne à l'infini dans une

direction de coefficient angulaire -• On peut., en quelque sorte ^

V obtenir par un passage à la limite. Il n^en est plus de même pour le point imaginaire à distance finie, qui se trouve toujours isolé.

La convention que nous venons de faire s'applique d'elle-même aux points de l'espace. Si x, y., z désignent les coordonnées ordinaires d'un point, on peut poser

et alors nous dirons qu'au svstème

abc

il correspond un point à l'infini dans la direction réelle ou imaginaire définie par les équations

el ainsi se trouvent géométriquemenl interprétées toutes les solutions de l'équation homogène

ç(X, Y, Z, T) = o, sauf la solution

IXTRODUCTIO.V.

qu'on regarde comme inadmissible toutes les fois qu'on emploie des coordonnées homogènes.

13. Cette convention une fois admise ainsi que celle relative aux imaginaires, le lecteur comprendra de lui-même ce qu'il faut entendre par une surface ou une courbe imaginaire.

Toute équation du premier degré représentera un plan, réel ou imaginaire.

Une droite, réelle ou imaginaire, sera l'intersection de deux plans.

Toute droite qui ne sera pas contenue dans un plan le coupera en un seul point. Par suite, toute droite qui aura deux points communs avec un plan y sera contenue tout entière.

Tous les points à l'infini satisferont à l'équation

On pourra donc dire qu'ils sont dans un plan, le plan de l'infini. Tous les points à l'infini d'un plan dont l'équation est

aX-f-èY + cZ-f-^T = o

seront sur une droite définie par les deux équations

T = o, aX-i-6Y + cZ = o.

Une droite qui ne sera pas tout entière à l'infini aura un seul point à l'infini.

Deux droites ou deux plans seront parallèles lorsqu'ils auront les [mêmes points à l'infini.

li. Si ces propositions ne paraissaient pas évidentes, elles le

deviendraient immédiatement grâce à l'emploi de la substitution

X = a X1-+-6 Yj-hc Zi-\- d Ti,

Y = a' X,-f b' Yi+c' Zi-4-^' T,,

Z = a" X, + b" Yi + c" Z, ^d" T,,

T == a"'X, .4- //" Y, -f- c"'Zi 4- ^'"T,,

où rt, b, c, d, . . ., a" , h"\ c'", d!" désignent 16 constantes et qui définit, comme on sait, la transformation homographique la plus générale.

l4 LIVRE I. — CHAPITRE I.

Celte Iransfonnalion conserve évidemment les degrés des lieux et des courbes; en particulier^ elle fait correspondre un plan à un plan, une droite à une droite. Mais, pourvu que ci" ^ b'" ,.c" ne soient pas nulles toutes les trois, elle fait correspondre au plan à l'infini de la première figure un plan à distance finie de la seconde. On s'explique ainsi très bien pourquoi les énoncés relatifs aux plans, aux points et aux droites de l'infini ne diffèrent en rien de ceux qui concernent les éléments correspondants situés à distance finie.

L'emploi des conventions précédentes simplifie beaucoup l'étude de la ligne droite et du plan. C'est ainsi que, si l'on veut définir l'intersection de trois plans, l'emploi des liomogènes faisant disparaître toute impossibilité, il ne peut se présenter que trois cas : ou bien les plans se coupent en un point unique, ou bien ils ont une droite commune, ou bien ils sont confondus.

Si l'on considère de même ce problème fondamental : Faire passer un plan par trois points, on verra qu'il comprend les suivants :

Faire passer par une droite un plan parallèle à une droite donnée ;

Faire passer par un point un plan parallèle à deux droites données, ou à un plan donné,

suivant qu'un ou deux des points donnés sont rejetés à l'infini.

De même encore le problème suivant : Faire passer une droite par deux points, comprend comme cas particulier le suivant:

Faire passer par un point une droite parallèle à une droite donnée.

Dans le plan, la droite de l'infini doit être considérée comme une droite réelle, et toute droite imaginaire a un point réel et un seul. Car son équation

P + iQ = o

admet toujours la solution réelle définie par les deux équations

Dans l'espace, de même le plan de l'infini est un plan réel. Tout plan imaginaire contient une droite réelle. Mais, en ce qui concerne les droites imaginaires, il y a lieu de faire une distinction.

INTRODUCTION. l5

Les unes, représentées paroles éqiialions telles que les suivantes : P-+-tQ = o, R-i-iS=o,

où P, Q, R, S sont quatre fonctions réelles linéairement indépen- I dantes, ne contiennent aucun point réel. Car les coordonnées de 1^ ce point ne sauraient annuler les fonctions P, Q, R, S en même f temps. Ces droites ne sont, non plus, dans aucun plan réel. Pour

qu'elles fussent dans un tel plan, il faudrait que, dans l'équation

(2) (a-^ip)(P-f-îQ)-f.(y-l-f^)(R + tS) = o,

qui représente tout plan passant par la droite, on pût annuler le coefficient de i, ce qui établirait, contrairement à l'hypothèse, une relation linéaire entre les quatre fonctions P, Q, R, S.

La méthode suivie montre que^ si une droite a un point réel, elle est aussi dans un plan réel. Car alors les quatre équations

ayant une solution commune, les fonctions P, Q, R, S ne sont plus linéairement indépendantes et il est possible de disposer de a, [i, y, o dans l'équation (2) de manière à faire disparaître le coefficient de i.

Dans le plan et dans l'espace, la droite qui joint deux points imaginaires conjugués est réelle. Et, par suite, un plan est réel quand il contient un point réel et deux points imaginaires conjugués qui ne sont pas en ligne droite avec le point réel.

lo. Je glisse rapidement sur toutes ces propriétés élémentaires. Mais, avant de continuer, il ne sera pas inutile de répondre à une objection que von Staudt adressait à la théorie analytique des imaginaires et qui s'appliquerait aussi à celle que nous venons d'exposer. Ce savant géomètre a prétendu que les points imaginaires, tels que nous les avons définis, n'avaient en quelque sorte qu'une existence dépendant des axes coordonnés. L'objection pourrait s'appliquera toute étude dans Inquelle on emploie de tels axes. Et, pour y répondre, il suffira de montrer que, si un point iiuiiginaire appartient à une ou plusieurs surfaces, il ne cessera pas de leur appartenir quand on changera de coordonnées. C'est ce qui aura lieu certainement si l'on convient d'appliquer aux

iG LIVRE I. — CHAPITRE I. — INTRODUCTION.

points imaginaires et aux points à l'infini les formules du changement de coordonnées, démontrées pour les points réels.

Considérons, en efîet, ces formules écrites sous la forme ordinaire

/ X = a Xx-^ h yx-^ c Zx + d^

(3) I jK= a'-z-i-H 6'j,-+-c'^i-(- <:/',

( z = a" Xi-^- h" yi-\- c" Zi-\- d"^

et écrivons-les sous forme liomogène en remplaçant x^ y, z par^?

^, ^el 57,, r,, 5, par ^, 7^, 7^-. Elles prendront la forme

eX = a X,+ 6 Y, + c Z, + ^ Ti, e\ = a'Xi + 6'Yi+c'Zi + 6?'T,, ^^^ ^ eZ =a"Xi+é"Yi+c"Zi-4-^"T,,

eT=:T„

e étant un facteur de proportionnalité qu'on peut supposer égal à l'unité.

Sous cette forme, elles s'appliquent évidemment aux points réels à l'infini. Car si l'on a T = o, il \ ient T, = o. Et comme, par hypothèse^ on les étend à tous les points imaginaires, elles doivent être considérées comme convenant à lous les cas. Or soit

une équation homogène quelconque. Elle deviendra, par le changement de coordonnées,

Et tous les points imaginaires qui appartenaient à la surface définie par la première équation ne cesseront pas de lui appartenir, après le chant^emcnt d'axes.