CHAPITRE Vf

J>éliiiilion du segment associé à un scgntenl donné. — Pour une lliéorie complèl*il faut associer à ces segments les segments diamétralement opposés. Relations entre ces segments. Cinq théorèmes fondamentaux. — Démonslratidn géo-

métrique du troisième théorème qui établit une relation entre Taire d'un triangle sphérique et le rapport des distances de l'un de ses sommets à deux points de la sphère. - Propriétés focales des coniques sphériques. — Courbes sphériques lieux des points tels que le rapport des produits de leurs distances à deux séries de pôles fixes, »n même nombre dans les deux séries, soit constant. — Une courbe sphérique peut être définie, soit par la propriété précédente, soit par celle-ci : elle sera le lieu des points M tels que les triangles sphériques formés par ce point avec n segments fixes aient des aires dont la somme algébrique soit constante. Quelle que soit celle des deux [propriétés par laquelle elle sera définie, elle pourra l'être par l'une et par l'autre d'une infinité de manières différentes. — Courbes sphériques lieux des points tels que les produits de leurs dislances à deux séries de diamètres de la sphère, en même nombre dans les deux séries, soient dans un rapport constant. ^ — Principales propriétés de la conique de <lhasles. — Systèmes orthogonaux formés avec les courbes définies par les diflérentes propriétés que l'on vient d'énumérer. — Application de la méthode des figures supplémentaires. — Indication de l'appui que la Géométrie sphérique peut apporter à la Géométrie plane.

IH2. Lh formule ( 44 ) <!*' "" 124, d'oii iioii.s avons pu déduire les lelalions fondainen laies de la Tiigonomélrie sphérique, va nous permetlre d'élendre à la Géométrie .sphérirpie les propriétés des points associés dans le plan que nous avons développées au Chapitre !'■' de ee Livre.

iÙHUt donnés d(!ux points A el l> sur la sphère, il passe par ces poiuls (pialie ;4<'n(''i"alr"ices rectilignes de celle surface qui se reneoulrent en deux autres points A'. B'. Nous dirons que le couple ( V'B'j esl associé au couple (ABh 11 est clair <|ue la relation entre ces deux couples est réciproque. Les deux droites VB. A'B'sont polaires réciproques, l'une de I auli-e, par rapport à la sphère. Si luii des couples esl formé de deux points réels, l'autre l'est de deux points imaginaires conjugués.

SKGMKNTS A^SOCUÎS StK LA SPHÈRE. Hy

< -<Ml;iiiies propriétés des segmenls associés sont aisées à démonirer. Voici la plus importante : désignons par d et 5, les génératrices, du premier et du second système respectivement^ qui passent vAï A; soient de même 6^2 et 5., les deux génératrices qui passent en B. Le point A' ser.i le point d'intersection des génératrices d,, o, et de même \o. point B' des génératrices d et Q3.

Si A et [j. désignent les paramètres des génératrices rectilignes d'un point (quelconque M de la sphère, les formules (.^6) du n" 122 nous donneront les relations suivantes :

. \\\ I >, — <ri() (u — 0| ) . liM ( A — <:/2 ) ( !Jt— Oï)

(Il Mil :— -^ ; — -, SIH- =1- — — i

I I. — '). < If/ 0| ) •? ( I. ^-- 'i ) ( d., - o, )

A 'AI {'K — d.,)\[x 0,) . ., H'iVI (A ^/m;/ — 03)

';•. O. — <J.) ( d-i—rj^ ) ■/ ""Ta — a)(r/ — ?x)

et

( V r s II I -

De là on déduit inimcdiiitiMiicnl I ciiiilité

\M . liiVI

'JL •}. ( r/o — - Oi ) ( d — (i;j ) an

. A'IVI . R'M {d--l,Md^^ 0:,) sin^ sin'^

Vax désignant par /\ la dislanco (K; M à un point \ , on peut donc ('■«riiT

. AM . liiM

Slll Slll

'A '1! '>■ 'i- AB

/•v /•!!' . A IVl . B'M >.

sin sin

(îiMIr formule (!sl analogue à 1 Une de ((^lles que nous avons établies dans le plan. Kn ('<'liani;eant l<s dnix segments, on sera coiidiiil à la relation

I \j eus co'i - I.

fjii»" non- lel i(Mi\ flous plus l<iin.

133. Pour laire une tliéoiie plus complète, il faut a^so<;ier aux points A, B, A', B' d'autres couples de points et, en particulier, les points diamétralement opposés. Nous d('signerons par la petite lettre a' le point diamétralement oppose- à \' cl, de même, par 6'

le point (liaiiK'li alrnienl opposi' à 15'.

'2l8 LIVRE H. — CHAPITRE VI.

INous avons déjà vu que, si ^/, o, sonl les deux généralrices, du premier et du second système respectivement, qui passent en A et, de même, d^: 03 celles qui passent en B, les points \', B' sont respectivement les intersections des génératrices d^^ 0, et d^ O;,. Ainsi, le Tableau suivant donnera les génératrices qui se croisent en chaque point

jNous désignerons par ô, f/i , Oo, d-n les généralrices respectivement opposées à d^ 0,, d.^^ §3, ce (|ui nous donnera en tout quatre génératrices du premier système d^ df, d^, d^, diamétralement opposées aux génératrices S,, Oo, Ô3, ô', du second. Ces génératrices se couperont en seize points, dont quatre seront à l'infini; et leurs douze points d'intersection à distance finie, respectivement, distribués évidemment sur trois grands cercles orthogonaux, seront définis <:omme il suit :

(ISi d^^s d20i rfSj diz <3?|0;{ diO ^.-(Oj di^z d^o d^Z d^r>^

A chaque point nous associons les génératrices <|ui le déterminent, et les points, diamétralement opposés, sont désignés [)ar les grandes et petites lettres qui se correspondent.

En permutant les généralrices de telle manière que leurs points d'intersection à l'infini restent à l'infini, c est-à-dire en permutant les indices o, 1,2, 3, on verra facilement qu'on peut effectuer sur les douze points des substitutions telles (pie les suivantes :

{Ka ) ( A'a") (B'B") ( A"a') ( // b" ) {k\'){WB)ik''a"){aa' ){bb' ) (A&")(B a")(B'è' )(k."b )(Wa ) (AA")(BB" )(\'a'){aa" ) (bb" )

OÙ chaque parenthèse indique une permutation de deux lettres.

On verra facilement que nos douze points forment six couples de points associés

AB \b X'b' ab rtB a'W

SEGMKNTS ^SSOCIÉS SUR LA. SPIIÈRK. 219

les points mis en cortesponclance étant sur une même généralrice rectiligne du premier système. Les trois grands cercles orthogonaux (|ni contiennent quatre des douze points sont ceux qui passent parAB, A'B', A"B".

134. En appli(|uanl les formules (i),(!2i, nous pourrions déjà olitenir des relations enire les dislances dun point M de la sphère aux douze points A/, a'. La niétiiode suivante nous donnera des résultats plus complets :

Soit M un point quelconque de la sphère. Pour ahréger, nous désignerons par A^, «a les arcs de grand cercle A*M, a^M et par aAi ^fik les ahscisses curvilignes, comptées à partir d'une origine (quelconque, des pôles des arcs A^M, O^IVI, tous situés sur le cercle polaire du point M.

Appliquons la relation fondamentale (44) <'" "" l^'^ ^^"^ quatre génératrices lectilignes (f, df, di^d^. iNous aurons les formules

e'» tang — = e'P lang — = e"* tang — ,

e-'*taiig — = e'* tans — = — e-'P'col — >

e'ptaiig — = e'* tane; — = — e'« col — ^ ■X % t.

L'élimination des tangentes nous conduit aux relations

(pii nous donnent, à des multiples près de 2-,

( <■> ) 2 a ■+• ■>. p = a a' -4- '2 !i' = X a" -+- ■>. 'il' .

Ces relations expriment évidemment que Um angle?, AMB, A' MB', A"MB" ont les mêmes bissectrices. Ce sera noive premier théorème fondamental.

On pourra toujours supposer (|ue les sens de trois cotés A.M, BM, ... aient été choisis de telle manière (|ue l'on ail

Alors, en désignant [)ar .>.H la valeur commune de ces sommes,

2><> I.IVHK II. — CHAIMTKE V(.

oj) |)(>nira pospf

el >.y, ?.y', oy" seiont les angles BMA, B'iMA', B"MA" sous lesquels on voil de M les trois segmenls AB, A/B', A"B". En substituant ces valeurs de a, p. ... dans les formules (5), on trouve aisément

ce qui permet d'écrire, en achevant de (ixer les sens,

lane: - ^ <e'(Y r \ lane- — «f-'^T 'Y"'.

Ces inconnnes une lois fixées, on peut établir le Tableau suivant :

l lanj;— = ie''~ -.' . lai»;; — =-. /r"T Y' lanfi — -- ^ ?^"Y-Y ',

/ tan^ - -— /r' V * 7 . tang - rrz;(?'(Y+Y, lanj; — rrz i<?'(Y+Y », \ ' ■}. :>. X

qui fournil déjà des ielali(M)s

entre les distances de M aux ditlérenls points fixes. iNous verrons pbis loin des résultats pins coinpiels : mais, dès à présent, la relatiou

tang —

lan^ -

1 aiii; — Tz-^

lanji —

laiif; -

lano-

col — -^

A" laii}!; —

eut —

lans —

cul — --.

A" laiiii —

tans —

lang A/ /•// 'A'

nons donne noire second théorème Jondatnenlal : >. y est l'angle sous lequel on voit du point M le segment AB, et cet angle s'exprime d'une manière très simple en fonction des distances de M aux points A', B' el aux points qui leur sont diamétralement ©pposés.

Si mainter)ant nous calculons AB par la formule

cos AB = cosAcosB + sin A sin B cosi-/.

nous aurons. «!n remplaçant les lignes Irigonomélriques de A et de B par leurs valeurs déduites des é(|ualioi)s (8).

. AB (('2'Y" e^'l ) ( tf^'Y"-- «--2'Y )

cos' . =: - -

, A B . A . li

COS'^ — cos"^ — SUl- — Slll* —

el. de inén)e

sin*— cos'^— cos^— sin' —

Ali 2 2 2 «

• B" „ A" sin- — cos^ —

en tenant compte des relations (9). Ces résultats sont bien d ;t( < ord avec la formule (3) déjà établie.

En extrayant les racines carrées et faisant les permutations indi- <|uées au n'^183. on obtient les formules comprises dans le Tableau suivant :

Ces relations entre les distances constituent noire troisième théorème fondamental. On en déduit les relations suivantes :