I -t- cos a -+- cos b -1- cos c

6, a, h^ c s'expriment, par les formules que nous avons données plus haut, en fonction des coordonnées des sommets A, B, G. Notre proposition est donc démontrée.

On peut donner à l'expression de/>' et, par conséquent, à celle de S, une forme extrêmement élégante en introduisant les coordonnées imaginaires a et ,3 étudiées plus liaul (n" 119). Si l'on pose / , - ^ I — a/, p/,- . I -\- a/, 8/, a/, -^ 3/,.

un calcul facile nous donnera

(«1— pi) (a2— P2) («3 — ^3) ! H- cosrt -i- cos 6 + cosc J

= 2(qt,- |i2)(«2- p3) ra.i- Pi) ^-?.(ai- 33)(a2- ^,)(a,- 3j),

ô(at,[3,)(a2-[i2)(a3-P3)

en sorte que la formule {/\\) nous conduira à la suivante :

(a,-P2)(a2-p..,Ha3-.3i)

Si l'on remplace le point C par le point diamétralement opposé, ce qui équivaut à échanger a., et ,^3, les formules (i5j montrent

TRIGONOMÉTRIE SPHÉBIQUK. 213

que, dans le triangle polaire, c' seul changera de signe. On aura donc

d'où, en divisant,

. , o . , ,-,, ( «1 - [^3) ( ^3 - 3.) ( lii- ::^3 ) (aa— ^-2)

^' ^ '^ («•2-?3)(a3-3,)(p2-p3)U3-ai)*

Ainsi, les doubles des côtés, eux aussi, auront leurs lignes Irigonométriques déterminées rationnellement.

Si, dans la formule (4^), on remplace ip' par son expression {\'>.) vn fonction de l'aire du triangle, il vient

On voit que les valeurs dé S changeraient de signe sans changer de valeur si l'on échangeait deux sommets, c'est-à-dire si le sens de rotation du triangle était changé.