COS

é'''^AB.M =:

sin^

ou encore

— ^JL

L'aire du triangle sphérique Sabm s'exprime très simplement, en fonction du rapport des dislances de IVI aux deux points de la sphère qui sont diamétralement opposés aux points associés des points A,B. C'est notre quatrième théorème fondamental. Il pourrait être immédiatement oblenu par l'application delà formule {\Çi) donnée an n" 131.

Si l'on remar(|ue (|ue l'on a

Sabm — S^,, m = — '>■ B M A ,

on obtiendra la i'ornuile

tang — C8) ^=:e-2/y^ '-A'^V/

tang — " "

qui a déjà été donnée plus haut.

SEGMKNTS ASSOCIKS SIR I.A SI'JIKRE. 223

Enlîn, la formule

Sabm + Sa,, m = '>. BAM -^- a MB.V = 2 X,

qui donne la somme S des angles à la base du Iriangle sphérique ABM. nous conduira à la relation

On a

/A' /li'

/•„ ri, la' l'h'

On a. de

même.

g/AJUt

o^A, <^ii désignant les distances du poiiil \f aux deux rayons qui vont aux [loinls A/ et B'.

C'est notre cinquième théorème fondamenlal .

136. En résumé, nous avons obtenu des propositions qui s énoncent comme il suit :

^= cos = const.;

r\v i-a' ' •'>" Sabm désignant l'aire du triangle s[)béiiquc ABM, on a

(■}.■}.) e- = — un — = r- ,

r,,- ''li

4** Enfin, la somme des angles A elB du triangle AB.M satisfait à la relation

^^^> ^' dy r^'/w sinA'M'

dx désignant, d'une manic-rc générale, la distance de M au diamètre ((ui passe en A.

137. De toutes ces propositions, la plus importante est la troisième. Nous allons donc montrer comment on peut l'obtenir directement par la géométrie, sans faire appel aux théories précédentes.

Considérons, sur la splière, un petit cercle (C) cl deux points A', B' dr ( f (■(■rcic. n'apiès le lliéorème de Lexell. Taire du

■A-i/i Livnii II. — cHAi'irui: vi.

iriangle sphérique a' b'M, qui a pour sommets un point M quelr conque du cercle et. les deux points a' . h' diamétralement opposés à A', !)', demeurera constante quand le point M se déplacera sur le cercle. Supposons que le point M \ienne en un des points V, B', en A' par exemple; le triangle se réduira évidemment iin Insean formé par le grand cercle A'Wa'b' et le grand cercle tangent en A' à (C). Ainsi, son aire sera égale an double de l'angle A' sous lequel la tangente à (C) en A' coupe la langente en ce point au grand cercle A'B' a'b'.

Considérons les deux points A, B associés ii A', B': si Ion fait une projection stéréographique de la sphère en prenant le point de vue sur le grand cercle A'B', le cercle (C)se transformera en un <;ercle (C), les points A'. B' deviendront deux points y.\ 3' du cercle (C) et les points A, B deviendront les deux points 7., |i associés à a', [3'. Quanta l'angle A', comme la projection conserve les angles, il sera égal à l'angle a' sous lequel le cercle YC) coupe la droite yJ [i' . Or, dans le plan, d'a| rès la ("ormide 1 38^ du n" 98.

où l'on peut évidemment remplacer lan^lc IVMA' pai- a . on a

/'a et /p désignant les distances d'un point quelronquc m du plan aux points a, ^.

Si l'on revient à la sphère, et si l'on ien)arqueque le point de \nv est dans le plan perpendiculaire sur le milieu de la droite ajîi, le rapport— sera remplacé par — > /a et /'b désit;nant les (lisi;in(<*s du

point M de la sphère dont m est la projection aux poinlN \ cl B : et comme a' est égale ;'i A', c'est-à-diie à la moitié de l'aire du Iriangle a'b'M, on retrouve bien l'équation

/•y -Sn»//>l

c'est-à-dire la formule (22).

Cette démonstration présente quelques difficultés (pianl aux signes, mais elle nous montre bien l'origine de la proposition : c^est le théorème de Lexell qui esL^ en Géométrie sphérique . Vanalogue de la propriété du segment capable dans le plan.

138. Les propositions précédenles nous permettraient d'appliquer, sans aucune modification, aux coniques sphériques la méthode qui nous a donné (n" 102) les propriétés focales des coniques planes. Nous allons montrer comment elles conduisent aux. propriétés de certaines courbes sphériques dont la définition est analogue à celle des courbes planes que nous avons étudiées précédemment (Livre II, C^hap. I).

Faisons, suivant les procédés habituels, la projection stéréographique de la sphère. Si P est le pôle et (E) le plan de l'équateur, désignons par d el B les deux génératrices rectilignes du premier et du second système qui passent en P. Tout plan passant par le pôle et par une génératrice recliligne du second sjslèine S, contiendra d. Par conséquent, les projections stéréographiques des génératrices du second sjstème seront des droites isotropes allant passer par le point à l'infi^ni sur d, c'est-à-dire par le point 1 de l'équateur; et, de même, les projections stéréographiques des génératrices du premier système seront des droites isotiopes qui iront passer par le point J de l'équateur. Ces remarques donnent tout de suite la propriété (ondamentale de la projection stéréographique. Car, si deux courbes se croisent en un point M de la sphère, le rapport anharmonique de leurs tangentes et des deux génératrices rectilignes qui se croisent en M devient, en projection, le rapport anharmonique des deux tangentes aux courbes planes qui sont la projection des courbes sphéricpies et des deux droites isotro|)es (|ui passent par leur point de concours; en d'autres termes, les angles sont conservés, au signe près, dans la projection stéréograpliique.

139. Considérons, dans le plan, les courbes définies par l'équalion

(24) K,R,...R„,--=/.rir2.../>,

où Ra, ri( désignent les distances du point de la courbe à des [)ôles lixcs. Pour fixer les idées, nous supposerons

Comme la dislance de deux points A, B sur la sphère est liée à D. i5

'il6 LIVRE II, — CHAPITRE V(.

celle de leurs projeclions stéréographiques a, b par la relation