OA.OB

= h ab^

OÙ O désigne le pôle et h une constante qui dépend du rayon de la sphère, on voit que l'équation précédente se transformera dans la suivante :

(25) RiR2...R,«=Â-,0M r,r....rp,

où Ra, f'k désignent de^ dislances à des points fixes de la sphère, et qui est pareille à celle que nous avons obtenue pour le plan.

Seulement la présence du fadeur OM nous montre que le point de vue O sera devenu un pôle multiple d'ordre m — /?; en sorte que, pour les courbes spliériques, nous devrons supposer que /e nombre des pôles est toujours le même dans les deux séries.

Au reste, si l'on prend, pour délerrniner les points, le système de coordonnées fourni par les génératrices rertilignes, on peut écrire sur la sphère l'équalion de la courbe définie |)ar l'équation

Ri R2 . . . R/« = A- rx r-2 . ■ . r,„.

Si u et (' sont les coordonnées de M, si a/c, '^k sont les coordonnées du pôle de rang k de la première série, yk-, oa celles «l'un pôle de la seconde, Téquation précédente prend la forme, tout à fait pareille à celle que nous avons obtenue dans le plan,

1[(« — a/,)ïJ(t>— p/,) ^ ,, ri(». — Y/,)II(p-S/,) ^ '^ Il(a,.-P/,) " n(Y/,-ô/,)

Mais il est inutile de recommencer la théorie. Il suffira de se rappeler les propriétés des courbes planes.

Nous avons vu que, si une courbe plane réelle est, définie par

l'équalion

Ri R2 . . . R/« = A" /'i . . . /'/H,

elle conserve cette définition : i" avec une infinité de systèmes de pôles réels dans les deux systèmes; 2" avec une inlinilé de systèmes de pôU'S imaginaires tels que chaque pôle A^ de la première série soit imaginaiie conjugué dun pôle Bk de la seconde. Ces résultats s'appli(|U<nt immédialenK-nt aux courbes sphériqiies.

Mais, avec le second système de pôles, on peut appliquer la formule

et, comme lorsque \/,, B/; sont imaginaires conjugués, a^ et b]^ sont réels, on voit que la définition se transforme et que la courbe devient le lieu d un point M formant avec m segments réels des triangles sphéri(|ues pour lesquels la somme des aires est constante. Ou [)eut donc énoncer la proposition suivante, simple conséquence des propositions établies pour le plan :

Une. courbe sphériqae peut être définie par Vuiie ou Vautre des propriétés suivantes :

Ou bien elle sera le lieu des points tels que le produit de leurs distances à n pôles fixes de la sphère soit proportionnel au produit de leurs distances à n autres pôles fixes de la même sphère.

Ou bien, elle sera le lieu des points M tels que les triangles sphériques formés par le point M avec n segments fixes aient des aires dont la somme algébricjae soit constante.

Ouidle que soit celle des deux propriétés par lesquelles elle sera définie., elle pourra Vêtre à volonté par V une et par Vautre., et dVune infinité de manières différentes.

Il résulte de «'e (|ue nous avons vu au n" 99 pour le plan que, dans la première définilion, on peut choisir arbitrairement un des pôles réels. Voyons re (|ui a lien pour la seconde. Si Ton considère un des triangles sphériques A/^By^M, il est généralement déterminé; mais il en est tout autrement si le point M vient coïncider avec un des points a^, b^ diamétralement opposés à A/t, Ba. Supposons, par exemple, (jue M coïncide avec a^; l'arc de grand cercle A^y^M ne sera pis déterminé en position et l'aire du tri-mgle sphérique sera indéterminée ; elle pourra donc être choisie de manière que ré(|uation de la courbe soil vérifiée. Ainsi, la courbe contiendra les extrémités de ton^ b-s segments diamétralement opposés aux segments A/v, B/i et noii> pouvons éiioncer le résultiil sni\ant :

> ans la seconde définition, les extrémités des segments A^, B^t doivent être prises sur la courbe diamétralement opposée à la

proposée^ et l'un de ces segments pourra être choisi arbitrairement.

Appliquons ces propositions à celle de nos courbes qui est Ja plus simple et pour laquelle il n'y a qu'un pôle dans chaque série. C'est un petit cercle de la sphère. On siiit, en effet, qu'il peut être défini d'une infinité de manières par l'équation

— = const..

et le théorème de Lexell nous apprend que, si A, B sont deux points de la sphère diamétralemenl opposés à deux points fixes du cercle, le triangle ABM conserve une aire conslanle quand le point M parcourt le cercle.

Le théorème général que nous avons établi doit donc nous apparaître ici encore comme une généralisation des deux propriétés fondamentales du cercle. Mais il y a des cas parliculiers propres à la Géométrie de la sphère et que nous devons examiner spécialement. Voici le premier.

140. Supposons que, dans chaque série, les pôles soient en nombre pair 2/1, et diamétralement opposés. En verlu de l'équation

RaR«= 2^A,

l'équation de la courbe prendra la forme

(27) D,D2...D„= Krf, ^2 ...«?«,

Da, d/f désignant les distances du point M à deux séries de diamètres fixes de la sphère.

Ces courbes particulières jouissent de toutes les propriétés générales de celles qui onl été définies plus haut. Elles peuvent êlrc définies avec une infinité de ssstèmes de 2/1 pôles ou de 2/1 segments; mais il J a lieu de se demander si leur équation peut conserver la forme (2^) avec d'autres systèmes de rayons.

En d'auires teimes, parmi les systèmes, en nombre doublement infini, de pôles que l'on peut substituer aux pôles primitifs, yen a-t-il pour les(|uels les pôles soient encore diamétralement opposés dans chacune des deux séries?

Pour répondre à cette qi^eslion, nous remarquons que, dans le cas qui nous occupe, l'équation (26) prend une forme particulière. Soienl par exemple cik-, ^k les valeurs de a et de v pour un pôle de la première série; pour le pôle diamétralement opposé, ces valeurs seront interverties fjk e\.o.k\ de là il suit qu'en posant

e même