MM) (M'M

La seconde de ces formules a une application intéressante. Si l'on y suppose les deux points M, M' infiniment voisins et si Ton y remplace x\ y' ^ z', t' par x -\- dx, y + dy., z-+-dz, t-\-dt, elle nous donnera Vêlement linéaire de Cespace dans la nouvelle (jiéométr ie, sous la forme

fl£ f{x. T) fidr, (lx)~f-^{:r, dx)

■Rï" ~ J'Hx,x)

S'il s'agir, maintenant de deux plans pi, ik', on devra, nous l'avons dit, déterminer leur angle en prenant la base formée |)ar les deux plans tangents à Vabsolii qui passent par leur intersection.

Soit

l'équation tangenlielie de V absolu; étendons les notations précédentes, en convenant de poser

(15) Cp(M, «')= -U'^',^{U,V, w^p)^Li>''f^-^ l.w'^[„-\- -p'^'p^i^,^').

On aura la formule

(16) (l-'r-c-ft')^ ^ oHu,,r)

où ê{.' désigne le rapport anliarmonique des deux plans a, a' et des deux plans tangents à Vabsolu menés par leur intersection. Ici, nous prendrons toujours la constante G' égale à ar et nous poserons

(17) e'^'\>-V-' = M', ce qui donnera

(18) cos^ixti'—^^ — i— — ^ r — ^ V rr ; —

o(u, u) cp(w. , ?/ ) ([-l[-t)([J. [-1 )

183. La même méthode peut être appliquée enfin à deux droites concourantes. Il suffira de prendre pour- base les deux tangentes menées de leur point de concours, et dans leur plan, à Vabsolu. Le calcul peut se faire comme il suit.

Soit A le point de concours de deux droites d, d' , et soient B, C deux points pris arbitrairement sur les droites. Le rapport anliarmonique ^' des deux droites et des tangentes menées par A à Vabsolu dans leur plan est évidemment égal au rapport anharmonique des deux |)oints B, C et des deux points où la droite BC coupe le cône de sommet A circonscrit à Vabsolu. Pour calculer ce rapport, il suffira donc d'appliquer la formule (10) en substituant à Vabsolu ce cône circonscrit.

En adoptant les notations précédentes, l'équation de ce cône est

(AA)(MIV1) — rAM)5= o.

IVapplication de la formule (lo) nous donnera donc

(i4-c-r)^ ,x\ [(AA)(BG)-(AR)(AG)l-^